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1、专题五 平面向量,目 录 CONTENTS,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,必备知识 全面把握,1平面向量的概念,(1)正确理解向量的概念 向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小,(2)共线向量与平行向量,共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反当然，向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义正确理解共线向量的定义，也就领会了共线向量与相等向量的关系，即共
2、线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量,2平面向量的线性运算,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,6,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,7,3.向量共线的判定定理和性质定理,(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一实数，使得ba，则向量b与a共线,(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数，使得ba.,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法与方程思想的运用,8,在学习中，常用到如下方法或技巧： (1)实数与向量的积的定义可以看成是实数与实数的积的定义的一个推广，对由这一定义得到的实数与向量的积的运算律
3、，也可以按照实数的相应运算律去记忆和理解其中(a)()a是实数乘向量的结合律，()a a a是实数乘向量的第一分配律，(ab) a b是实数乘向量的第二分配律；,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,(2)运用向量的方法证明三点共线时，可以用两个向量共线的充要条件去证，也可以用以下结论去证： 若点O不在直线AB上，则A，B，P三点共线的充要条件是：存在一对实数，使得 ，且1.,9,核心方法重点突破,方法1 向量基本概念的应用,要注意向量与其他量的联系与区别：,(1)数量与向量的联系与区别：向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量是既有大小，又有方向的量；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，
4、只有它们的模才能比较大小,(2)零向量0与实数0：零向量的模为0，是有方向的，而且方向任意；0与任一向量平行；零向量与零向量相等,(3)向量的图示与线段：向量的图示有起点、终点、方向带箭头，而线段无方向,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,10,例1、陕西西安中学2018期中给出下列四个命题： 若|a|b|，则ab； 若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ” 是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件； 若ab，bc，则ac； “ab”的充要条件是“|a|b|，且ab” 其中正确命题的序号是() A B C D,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,11,【解析】|a|b|，表示的是a，b大
5、小相等，但方向不一定相同，故两个向量不一定相等，故错误； 若A，B，C，D是不共线的四点，则 能推出AB与CD平行，且ABCD，所以四边形ABCD为平行四边形，反之也成立，故正确； 若ab，则a，b大小相等，方向相同；若bc，则b，c大小相等，方向相同，故a，c大小相等，方向相同，则ac，故正确； “ab”的充要条件是“|a|b|，且a，b同向”，故错误 故正确命题的序号是.,【答案】B,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,12,例1、江西抚州临川一中2018高三月考已知O是ABC所在平面内一点，若mR，恒有 ，则ABC一定是() A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定,【答案】
6、B,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,13,方法2 向量的线性运算,（1）掌握向量的加减运算、理解向量加减的几何意义,（2）理解实数与向量的积的定义、实数与向量的积的运算律、向量共线的充要条件和平面向量基本定理；,（3）准确理解平面向量坐标表示的概念与意义，灵活、熟练地进行平面向量坐标运算,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,14,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,方法2 向量的线性运算,15,例4 湖北武汉2019届摸底测试如图，在直角梯形ABCD中, 且 则2r3s() A1 B2 C3 D4,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,16,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,【答
7、案】C,17,考法例析 成就能力,考法 平面向量的有关概念与线性运算,例1、课标全国20186 在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 (),A. B. C. D.,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,18,【答案】A,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,19,例2、黑龙江2019届模拟设P是ABC内一点，且 0 , ,则 ( ),考点一 平面向量的有关概念及线性运算,20,【答案】A,考点一 平面向量的有关概念及线性运算,21,考点二平面向量基本定理及坐标表示,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,22,必备知识 全面把握,1平面向量基本定理,如果e1
8、，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成基底的两个向量是不共线向量，因此，零向量和共线向量不能作为基底.,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,23,2平面向量坐标运算的应用,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标，即设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 (x2x1，y2y1),(1)向量共线的坐标表示 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab
9、x1y2x2y10.,若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成 ，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10. 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是ab(b0)，这与x1y2x2y10在本质上没有差异，只是形式上不同,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,24,(2)向量的坐标运算 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)； 若a(x1，y1)，R，则a(x1，y1),(3)坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁 在学习中，要准确理解平面向量坐标表
10、示的概念与意义，灵活、熟练地进行平面向量坐标运算，会根据向量的坐标来判定向量的平行与共线,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,25,3平面向量中的重要结论,在运用向量的坐标表示解决问题时，要注意点的坐标表示与向量的坐标表示之间的区别与联系，记住向量运算的定义和向量坐标运算的法则，结合图形分析，灵活选用不同的方式进行向量的运算； 在处理有关向量平行或向量共线的问题时，要善于与平行条件的坐标表示相联系,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,26,核心方法 重点突破,方法1 向量共线的相关计算,两个向量平行的判定和应用的主要依据： (1)abab(R，b0)； (2)a(x1，y1)，b(x2，y2)
11、，则abx1y2x2y10； (3)对于 (，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.反之也成立,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,27,例1、已知a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，且abc，求x，y的值,【分析】根据向量平行的充要条件建立关于x，y的方程求解,【解】由ab 得4x0，x4. 由ac得2y30，y . x4，y .,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,28,例2、四川绵阳2019届质量检测如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若 则的取值范围是() A(，1) B(1，0) C(0，1) D(1，),考点二 平面向量基本定理及坐
12、标表示,29,【答案】B,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,30,方法2 坐标法在平面向量中的应用,首先通过建立适当的平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后结合三角函数、解析几何或函数等知识进行求解引入向量的坐标运算使得部分平面向量的问题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,31,例3、江苏南通2018月考如图，半径长为1的扇形AOB的圆心角为120， 点C在弧AB上，且COB30，若 ，则 _,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,32,【答案】,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,33,方法3 平面向量基本性质的应用,(1)
13、应用平面向量基本性质表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；,(2)用平面向量的基本性质解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式， 再通过向量的运算来解决；,(3)在使用三点共线的推论时，注意1的使用,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,34,例4、陕西咸阳2019届质量检测如图，在四边形ABCD中， A4 B2 C4 D2,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,35,【答案】A,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,36,例5、如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，若 ，则mn
14、的最大值为_,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,37,【答案】1,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,38,考法例析 成就能力,考法1 平面向量的共线问题,例1、课标全国201513设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.,【解析】a与b不平行，a2b0. ab与a2b平行， 存在实数t，使得abt(a2b),【答案】,【点拨】本题考查向量共线的性质，利用待定系数法得到参数的关系是解题的关键,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,39,例2、北京201410已知向量a，b满足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，则|_.,【解析】ab0，ab，,【答案】,考点二 平面向量基本定理
15、及坐标表示,40,考法2 平面向量的基本定理与坐标运算,例3、课标全国20163已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(a b)b，则m() A8B6C6D8,【解析】ab(4，m2)，(ab)b， (ab)b0， 即43(m2)(2)0， 解得m8.故选D.,【答案】D,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,41,例4、北京201513在ABC中，点M，N满足 ，则x_；y_,【答案】,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,42,例5、江苏201713在平面直角坐标系xOy中，A(12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2y250上若 20，则点P的横坐标的取值范围是_,【答案】5 ，1,考点二
16、 平面向量基本定理及坐标表示,44,【答案】3,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,45,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,46,1两个向量的数量积,(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab，即 ab=|a|b|cos.,对数量积概念的理解： (1)两个向量的数量积是一个数量，它的值可正、可负、可为零，其符号由夹角的余弦值确定计算数量积的关键是正确确定两向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则要通过平移，使两向量符合以上条件,(2)两向量a，b的数量积ab与代数中a，b
17、的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,必备知识 全面把握,(3)b在a方向上的投影|b|cos 是一个数量，它可正、可负，也可以等于0.,47,(2)对两向量夹角的理解,两向量夹角的范围为0， ，特别地，当两向量共线且同向时，其夹角为0；共线且反向时，其夹角为.,在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围.,在ABC中， 与 的夹角不是ABC而是其补角,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,48,当a0时，由ab0不一定推出b0，这是因为对任意一个与a垂直的向量b，都有ab0. 当a0时，abac也不一定推出bc，因为由abac，得a(
18、bc)0，即a与bc垂直，也就是向量的数量积运算不满足消去律,对于实数a，b，c，有(ab)ca(bc)，但对于向量来说，(ab)c与a(bc)不一定相等，这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(ab)c与a(bc)不一定相等,(3)对数量积运算律的理解,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,49,2平面向量数量积的性质与运算律,当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a| , ab ab0. cos , |ab|a|b|.,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,(1)设a，b都是非
19、零向量，是a和b的夹角，则,50,abba. (a)b(ab)a(b)，其中是任意实数 (ab)cacbc.,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,(2)运算律,51,3向量的应用,求夹角问题，利用夹角公式：,已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，则,证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：abab(R)x1y2x2y10(b0),证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： abab0 x1x2y1y20.,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,52,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,53,核心方法重点突破,方法1 平面向量的数量积
20、问题和几何意义问题,例1、河南2019届模拟若等边三角形ABC的边长为3，平面 内一点M满足 ，,的值为_,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,54,【答案】2,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,55,例2、在ABC中，BAC120，AB2，AC1，D为线段BC上任一点(包含端点)，则 的最大值为_,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,方法1 平面向量的数量积问题和几何意义问题,56,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,例2、在ABC中，BAC120，AB2，AC1，D为线段BC上任一点(包含端点)，则 的最大值为_,57,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,例2、在ABC中，BA
21、C120，AB2，AC1，D为线段BC上任一点(包含端点)，则 的最大值为_,58,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,例2、在ABC中，BAC120，AB2，AC1，D为线段BC上任一点(包含端点)，则 的最大值为_,59,方法2 利用向量的数量积解决有关长度、角度的问题,(1)由aa|a|2，即|a| 可知向量的模可以转化为向量的数量积运算；,(2)ab|a|b|cos(a0，b0，0180) cos ，因此，用向量的数量积可以解决两个向量的夹角问题,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,60,例3、(1)四川成都2019届一诊已知平面向量a，b的夹角为 ，且|a|1，|b| ， 则a2
22、b与b的夹角是_,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,61,例3 (2)陕西西安交大附中2019届模拟已知正方形ABCD，点E在边BC上， 且满足2 = ,设向量 , 的夹角为 ，则cos _,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,【答案】(1) （2）,62,例4、已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么| a3b | () A . B . C . D. 4,【解析】方法一：因为| a3b | 2 a2 6ab9b216 913，所以| a3b |,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,63,方法二：利用向量加法的平行四边形法则如图，AD|a|, AB|3b|，AC| a3b|，再由
23、余弦定理，可知AC2BC2AB22ABBCcos 12013，即AC,【答案】C,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,64,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,65,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,66,方法3 利用向量的数量积解决有关平行、垂直的问题,(1)两个向量平行的充要条件： abab|a|b|或ab|a|b|； ab存在实数，使ba(a0) (2)两个非零向量垂直的充要条件： abab0； 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,67,例6、已知平面向量a，b满足|a|b|1，a(a2b)，则|ab|() A0
24、 B. C2 D.,【解析】向量a，b满足|a|b|1，a(a2b)，a(a2b)a22ab0，2ab1，|ab|2a22abb21113，|ab| ，故选D.,【答案】D,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,68,例7、安徽宣城2019届调研已知在ABC中， A120，且AB3, AC4，若 则实数的值为() A. B. C.6 D.,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,【答案】A,69,例8、已知a，b是两个单位向量， 且|kab| |akb|(其中k0) (1)a与b是否垂直？ (2)若a与b的夹角为60，求k的值,【分析】从向量的数量积与向量的模、夹角之间的关系入手,考点三 平面向
25、量的数量积及向量的应用,70,【解】(1)|kab|akb|， (kab)23(akb)2，即k2a22kabb23a26kab3k2b2， 且由|a|b|1，可得ab k210, ab0，a与b不垂直 (2)a与b的夹角为60，且|a|b|1， ab|a|b|cos 60 = ，k1.,【反思】(1)在向量的数量积运算中，注意向量的模与夹角的关系；(2)注意向量的数量积与平行、垂直的关系；(3)在解题过程中要注意等价转化,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,71,方法4 利用平面向量解决平面几何问题,例9、四川成都外国语学校2018月考设P是ABC所在平面内一点，若 则点P是ABC的(),
26、A外心 B内心 C重心 D垂心,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,72,【答案】A,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,73,例10、若O为ABC所在平面内任一点，且满足， ， 则ABC的形状为() A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,【答案】A,74,方法5 平面向量与解三角形的综合问题,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,75,方法5 平面向量与解三角形的综合问题,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,76,考法例析成就能力,考法1 平面向量的数量积,例1、课标全国201712已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面A
27、BC内一点，则 ，的最小值是() A2 B C D1,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,77,【答案】B,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,78,例2、天津20188如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则 的最小值为() A. B. C. D3,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,79,图(1),考点三 平面向量的数量积及向量的应用,80,图(2),【答案】A,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,81,例3、福建20159已知ABAC，|AB| ，|AC|t.若点P是ABC所在平面内的一点，且 则 的最大值等于(),A
28、13 B15 C19 D21,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,82,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,【答案】A,84,考法2 平面向量的模,例5、浙江20189已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是() A. 1 B. 1 C2 D2,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,85,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,86,【答案】A,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,87,例6、北京20164已知向量a，b，则“|a|b|”是“|ab|ab|”的() A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件
29、 D既不充分也不必要条件,【解析】若|a|b|，则(ab)(ab)0，不一定有|ab|ab|，故充分条件不成立；若|ab|ab|，则ab0，不一定有|a|b|，因此必要条件也不成立故选D.,【答案】D,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,88,例7、课标全国201613设向量a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_,【解析】方法一：a(m，1)，b(1，2)，ab(m1，3)，|a|2m21，|b|25，|ab|2(m1)29.|ab|2|a|2|b|2，(m1)29m215，m2. 方法二：|ab|2|a|2|b|2，2ab0，即ab0，又a(m，1)，b(1，2)
30、，abm20，m2.,【答案】2,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,89,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,90,【答案】B,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,91,考法3 平面向量的夹角,例9、课标全国20163已知向量 ， 则ABC() A30B45C60D120,【答案】A,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,92,例10、四川20147平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m() A2 B1 C1 D2,【答案】D,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,93,考法4 平面向量共线问题,例11、课标全国201712在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若 ，则的最大值为() A3 B C. D2,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,94,考点三 平面向量的数量积及向量的应用,