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1、专题七 不等式,目 录 CONTENTS,考点一 不等式的性质与基本不等式,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,必备知识 全面把握,考点一 不等式的性质与基本不等式,1实数的有关基本性质 (1)正数大于零，零大于一切负数，负数小于正数即 a是正数 a0； a是负数 a0； ab. (2)正数中，绝对值较大的数较大；负数中，绝对值较大的数较小即 当a0，b0时，|a|b|ab； 当a0，b0时，|a|b|ab. (3)正数的相反数是负数，负数的相反数是正数即 a0 a0； a0 a0.,(4)两个实数比较大小的定义 两个实数比较大小的几何形式的定义：在数轴上，右边的点表示
2、的数比左边的点表示的数大 两个实数比较大小的代数形式的定义：对于任意的a，bR，有 ab0 ab； ab0 ab； ab0 ab. (5)两个正数的和仍是正数；两个负数的和仍是负数即 a0，b0 ab0； a0，b0 ab0.,考点一 不等式的性质与基本不等式,6,考点一 不等式的性质与基本不等式,(6)两数积为正，则两数同号；两数积为负，则两数异号，其逆亦真即 ab0 a0，b0或a0，b0； ab0 a0，b0或a0，b0. (7)除0外的任何数与它的倒数同号即 a与 同号(a0) (8)一个正数与另外任意一个实数的积、商，都与另外那个数同号即 当a0时，对任意实数b(b0)，则ab，与b
3、同号,考点一 不等式的性质与基本不等式,2不等式的性质(包括“单向性”和“双向性”两个方面) (1)单向性： 传递性：ab，bc ac. 同向相加：ab，cd acbd. 乘法单调性： ab，c0 acbc；ab，c0 acbc. 正同向相乘： ab0，cd0acbd.,考点一 不等式的性质与基本不等式,乘方性：ab0anan(nN，且n1) 开方性：ab0 (nN，且n1) (2)双向性： 对称性：ab ba. 加法单调性：ab acbc.,考点一 不等式的性质与基本不等式,3重要结论,考点一 不等式的性质与基本不等式,应注意的几个问题： 要注意不等式性质成立的条件，不要“随心所欲”地弱化或
4、强化条件 例，在应用“ab，ab0 ”时，易弱化成“ab ”或强化成“ab0 ” 要注意条件的放宽和加强及条件和结论之间的相互联系. 例，乘法法则：ab0，cd0acbd.把这一条件放宽为ab，cd，a，b，c，d中有三个正数时，acbd仍成立类似这样性质的研究能加深对不等式性质的认识，才能深刻理解不等式的性质的“可靠性”，性质应用的“广泛性”和性质的“局限性” 单向性主要应用于证明不等式；双向性是解不等式的基础,考点一 不等式的性质与基本不等式,4一些常用的性质,考点一 不等式的性质与基本不等式,5基本不等式,考点一 不等式的性质与基本不等式,考点一 不等式的性质与基本不等式,考点一 不等式
5、的性质与基本不等式,考点一 不等式的性质与基本不等式,6基本不等式与最值,设x，y是正数，则有 (1)若 （和为定值），则当xy时，积xy取得最大值 ； (2)若 （积为定值），则当xy时，和x+y取得最小值 . 结论可简记为“和定积最大，积定和最小”，即两个正数的和为定值时，则可求其积的最大值；积为定值时，可求其和的最小值,考点一 不等式的性质与基本不等式,(1)a2b22ab与2(ab) 成立的条件是不一样的，前者a，b可以是任意实数，后者a，b只能是正数两者中等号成立的条件均为ab. (2)要适当注意链式不等式： (其中a，b(0，)，即调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数，且等号成
6、立的条件都是ab.,方法1 不等式的性质及其应用 1、不等式的性质是后面学习的基础，只有透彻理解不等式性质的条件和结论，才能找到正确、合理地答案. 2判断有关不等式命题真假的方法： (1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题与不等式的性质联系起来，运用与命题相关的性质进行推理、判断,核心方法 重点突破,考点一 不等式的性质与基本不等式,考点一 不等式的性质与基本不等式,3. 比较实数(代数式)大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 (3)构造函数法 (4)中间值法、特殊值验证法,(2)利用函数的单调性：当直接运用不等式的性质不能比较大小时，可运用函数(指数函数、对数函数、幂函数等)的单调性进行
7、判断 (3)特殊值验证法：对所要判断的几个式子中涉及的变量先赋值再比较、判断,考点一 不等式的性质与基本不等式,【解析】方法一：ab0，ab0，a0， a(ab)0. 将 两边同乘a(ab)，可得aab. b0，这与已知条件矛盾，故选B.,考点一 不等式的性质与基本不等式,方法二：(排除法)由ab0知ab0，于是有 ， A成立；由ab0知ab0，|a|b|，C成立；由ab0知ab0，于是(a)2(b)2，即a2b2，D成立故选B. 或者由 0得 ，故B不成立故选B.方法三： (特殊值法)令a2，b1，代入A，B，C，D中，可知选B. 【答案】B,考点一 不等式的性质与基本不等式,考点一 不等式
8、的性质与基本不等式,考点一 不等式的性质与基本不等式,例3 已知奇函数f(x)在区间(，)上是单调递减的，R，且0，0，0，试说明f()f()f()的值与0的关系,【解】0，. 又函数f(x)在区间(，)上是单调递减的， f()f() 又函数f(x)在区间(，)上是奇函数， f()f()f()f() 同理：由0f()f()， 0f()f() 将左右两边分别相加，得 f()f()f()f()f()f() 2f()f()f()0， 即f()f()f()0.,考点一 不等式的性质与基本不等式,例4 已知二次函数yf(x)的图像过原点且1f(1)1，3f(1)5，求f(2)的取值范围 【分析】用待定系
9、数法或解方程组思想，由f(1), f(1)求出f(2)的取值范围,考点一 不等式的性质与基本不等式,例4 已知二次函数yf(x)的图像过原点且1f(1)1，3f(1)5，求f(2)的取值范围,考点一 不等式的性质与基本不等式,方法2 基本不等式及其应用,1、基本不等式有常用的变形公式，应注意各个公式的适用范围. 2、基本不等式的应用是求最值，需要注意：一正、二定、三相等 积定和最小，和定积最大.,3、解法技巧：(1)已知恒等式，求最值问题，注意给出目标式子与恒等式的关系若目标式子是恒等式的一部分，则直接应用基本不等式求解；否则，可以尝试“1”的代换、“减元”等方法的应用 (2)构造利用基本不等
10、式的形式，再对照基本不等式的使用条件，“一正”不满足时要乘1变为正数，“二定”不满足时要凑定值，“三相等”不满足时要改用函数的图像或单调性求最值,考点一 不等式的性质与基本不等式,28,考点一 不等式的性质与基本不等式,【答案】B,29,考点一 不等式的性质与基本不等式,30,考点一 不等式的性质与基本不等式,例7 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元 (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ (2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其
11、价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由,31,考点一 不等式的性质与基本不等式,【解】(1)设该厂应每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)62619x(x1)元 设每天所支付的总费用为y1元，则,所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少,32,考点一 不等式的性质与基本不等式,考法例析 成就能力,考点一 不等式的性质与基本不等式,考法例析 成就能力,本考点是高考的热点，常以不等式为载体与函数相结合考查，注意不等式的等价变形；一般以选择题和填空题的形式出现，难度不大,考法1 不等式性质
12、的应用,高考中对不等式性质的考查常与函数的单调性、命题、充要条件等结合，多为判断不等式是否成立，实数(代数式)大小的排序，命题真假判断或充要条件的判断,34,例1 课标全国201812设alog0.20.3，blog20.3，则 () Aablog0.210，blog20.3log210，ab0. log0.30.2log0.32log0.30.4(0，1)， 即0 1. 又ab0，abab0.故选B.,考点一 不等式的性质与基本不等式,35,考点一 不等式的性质与基本不等式,例2 课标全国20168若ab1，0c1，则() Aacbc Babcbac Calogacblogac Dlogac
13、logbc,【答案】C,36,考点一 不等式的性质与基本不等式,考法2 基本不等式的应用,高考中基本不等式的应用多为求代数式的最值，或与函数、平面向量、三角形等结合求代数式的最值，或在实际生活中的应用,37,考点一 不等式的性质与基本不等式,考点二 不等式的解法及应用,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,必备知识 全面把握,考点二 不等式的解法及应用,解不等式是求函数定义域、值域，参数的取值范围时的重要手段，是研究数学的基本手段之一解不等式的过程是不等式的同解变形不等式的同解变形是等价转化思想在不等式中的具体体现主要理论依据是不等式的同解变形和函数的单调性,40,考点二
14、 不等式的解法及应用,1不等式的同解变形原理 (1)不等式f(x)g(x)与不等式f(x)F(x)g(x)F(x)同解(F(x)为整式) (2)若m0，则不等式f(x)g(x)与不等式mf(x)mg(x)同解；若m0，则不等式f(x)g(x)与不等式mf(x)mg(x)同解,41,考点二 不等式的解法及应用,2常见不等式解法 (1)一元一次不等式 一元一次不等式axb的解集情况：,42,考点二 不等式的解法及应用,(2)一元二次不等式 设a0，x1，x2是方程ax2bxc0的两根，且x1x2，则一元二次不等式的解集如下表所示：,考点二 不等式的解法及应用,要准确、熟练地掌握一元二次不等式的解法
15、，这是解其他不等式的基础一元二次不等式解集的确定可以借助二次函数yax2bxc的图像与x轴的关系来进行，注意a的正负 (3)一元高次不等式常用“数轴标根法” 一般地，设多项式f(x)a(xa1)(xa2)(xan)(a0)，它的n个实根的大小顺序为a1a2an，把数轴分成n1个区间：(，a1)，(a1，a2)，(an1，an)，(an，)自右至左给这些区间编上顺序号，则当a0时，有： 在奇数区间内，f(x)0；在偶数区间内，f(x)0.,考点二 不等式的解法及应用,“数轴标根法”解一元高次不等式的步骤： 将f(x)的最高次项的系数化为正数； 将f(x)分解为若干个一次因式的积； 将每一个一次因
16、式对应方程的根标在数轴上，从右上方依次穿过每一个根点画曲线； 根据曲线显现出f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集,45,考点二 不等式的解法及应用,要注意掌握规律： 最高次项的系数为正； 右上走线，“奇”穿“偶”切 (4)分式不等式 分式不等式的等价变形：,46,考点二 不等式的解法及应用,解分式不等式为避免讨论，可采取“移项、通分、转化为整式不等式”的做法 (5)含有绝对值的不等式 两个基本定理 定理1：|a|b|ab|a|b|(a，bR) 定理2：|a|b|ab|a|b|(a，bR),47,考点二 不等式的解法及应用,绝对值不等式适用范围较广，向量、距离等定义都涉及绝对值不等式；应理解
17、其含义，掌握证明思路以及“”成立的条件 解绝对值不等式的一般方法： ()根据实数绝对值的意义，即,48,考点二 不等式的解法及应用,()两边平方：|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2. ()零点分段法 (6)含参数不等式 对于解含参数不等式，要充分利用不等式的性质，对参数的讨论要注意分类， 做到不“重复”不“遗漏”,49,考点二 不等式的解法及应用,3不等式解法的补充,(1)指数不等式、对数不等式的解法： 利用相应指数函数与对数函数的单调性解题时，必须注意它们的“底”及它们的定义域 (2)无理不等式的解法：,无理不等式解法的基本思路是将其等价地转化为整式不等式组求解，应注意讨论.,核心方
18、法 重点突破,考点二 不等式的解法及应用,解不等式需要注意下面几个问题： (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法； (2)掌握用数轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法； (3)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式； (4)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论,方法1 常见不等式的解法,51,考点二 不等式的解法及应用,考点二 不等式的解法及应用,52,考点二 不等式的解法及应用,53,考点二 不等式的解法及应用,例3 设函数f(x) ax. (1)解不等式f(x)1； (2)求a的取值
19、范围，使函数f(x)在区间0，)上是单调函数,54,考点二 不等式的解法及应用,考点二 不等式的解法及应用,方法2 不等式恒成立或有解的解法,1、一元二次不等式在R上的恒成立或有解问题：考虑相应二次函数图像的开口方向、判别式 2、不等式在给定区间上的恒成立或有解问题(不含等号)，首先考虑分离参数，若不能分离参数，则利用函数的最值或图像求解通过分离参数，恒成立问题可转化为af(x)，xD恒成立，进而转化为af(x)max，xD.若函数的最值取不到(即无限趋近于某个值)，则需添加等号有解问题可转化为af(x)，xD有解，进而转化为af(x)min，xD.若函数的最值取不到(即无限趋近于某个值)，则
20、不需添加等号,55,考点二 不等式的解法及应用,例4 已知函数f(x)x ，若存在x1，2，使得f(x)2，则实数a的取值范围是_,56,考点二 不等式的解法及应用,例5 已知函数f(x)x2mx1. (1)若对于任意的xm，m1，都有f(x)0成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的不等式f(x) m有解，求实数m的取值范围,57,考点二 不等式的解法及应用,例6 已知函数f(x)x22axa2. (1)若对于xR，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围； (2)若对于x1，1，fx)0恒成立，求实数a的取值范围； (3)若 1，1，f(x)0成立，求实数a的取值范围； (4)若对于a1，
21、1，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围,58,考点二 不等式的解法及应用,【解】(1)由题意得4a24(a2)0，即a2a20，解得2a1，所以实数a的取值范围是2，1,（2)因为对于x1，1，f(x)0恒成立，所以f(x)min0，x1，1函数f(x)图像的对称轴方程为xa.当a1，即a1时，f(x)在区间1，1上单调递增，则f(x)minf(1)33a.解33a0得a1，所以a1.当1a1，即1a1时，f(x)minf(a)a2a2.解a2a20得2a1，所以1a1.当a1，即a1时，f(x)在区间1，1上单调递减，则f(x)minf(1)a3.解a30得a3，所以3a1.综上可得，实数
22、a的取值范围是3，1,59,考点二 不等式的解法及应用,(3) 存在x1，1，f(x)0成立，则f(x)max0，x1，1函数f(x)图像的对称轴方程为xa.当a0，即a0时， f(x)maxf(1)a3.解a30得a3，所以a0.当a0，即a0时，f(x)maxf(1)33a.解33a0得a1，所以a0.综上可得，实数a的取值范围是R.,(4)因为对于a1，1，f(x)0，令g(a)(2x1)ax22，则g(a)0在1，1上恒成立，所以 解得x1，故实数x的取值范围是x|x1,60,方法3 不等式的应用,考点二 不等式的解法及应用,1不等式与函数的综合 不等式在理论方面的应用主要表现在两个方
23、面： 把不等式作为一种工具应用于其他问题之中，表现形式是不等式的解法的应用如：求函数的定义域、值域、单调区间，讨论一元二次方程的实根的分布规律等 运用不等式求函数的最大(小)值 (1)不等式在函数中的应用 由于函数yf(x)与不等式f(x)0，f(x)0和方程f(x)0的关系可表示为(x，y)|yf(x)(x，y)|yf(x)0(x，y)|yf(x)0(x，y)|yf(x)0 由此可知，讨论函数的部分性质可以通过对不等式、方程的研究去实现，这就是局部与整体，等量关系与不等量关系的辩证统一,61,考点二 不等式的解法及应用,(2)不等式在函数“单调性”问题中的应用 不等式在函数“单调性”问题中的
24、应用，主要表现形式：根据函数的单调性去掉具体的或抽象的函数关系符号，使两个函数值的不等关系转化为两个复合自变量的不等关系 如：已知lg(x21)lg(x2x)，则必有x21x2x.这样就去掉了函数ylg x的关系符号“lg”；又如，已知f(x)是R上的减函数，且f(2a)f(a1)，则必有2aa1.这样就去掉了抽象符号“f ”只有函数的单调性能使上面的问题得以解决,62,考点二 不等式的解法及应用,考点二 不等式的解法及应用,例7 已知函数y 的定义域是R，求参数k的取值范围 【解】要使函数y的定义域为R，必须满足 k0且(6k)24k(k8)0， 或k0. 由，解得0k1， 由得0k1.,6
25、3,考点二 不等式的解法及应用,例8 江苏如东高级中学2018期中已知函数f(x)ax22ax2b(a0)在区间2，3上有最大值5，最小值2. (1)求a，b的值； (2)若b1，g(x)f(x)2mx在2，4上是单调函数，求实数m的取值范围,64,考点二 不等式的解法及应用,65,考点二 不等式的解法及应用,66,考点二 不等式的解法及应用,2不等式在实际问题中的应用 解答不等式应用题，一般可分为如下四步： (1)阅读理解材料 应用题语言多为文字语言，符号语言，图形语言并用，而且不少应用题文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，
26、确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向,67,考点二 不等式的解法及应用,(3)讨论不等关系 根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值 (4)作出问题结论： 根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论,(2)建立数学模型 根据(1)中的分析，把实际问题用符号语言、图形语言抽象成数学模型，并且建立所得数学模型与已知模型的对应关系,68,考点二 不等式的解法及应用,例10 (1)江苏南通中学2018考前冲刺某小型服装厂生产一种风衣，日产量x件(xN*)与货价p元/件之间的关系为p1602x，生
27、产x件所需成本为C50030 x元要使日获利不少于1 300元，则该厂日产量的最小值为_件,【解析】(1)由题意可得pxC1 300，即(1602x)x(50030 x)1 300，化简得x265x9000，解得20 x45，故该厂日产量的最小值为20件,【答案】(1)20,69,考点二 不等式的解法及应用,【答案】 (2)72,例10 (2)湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学2018联考现为一球状巧克力设计圆锥形包装盒，若该球状巧克力的半径为3，则其包装盒的体积的最小值为_,考法例析 成就能力,考点二 不等式的解法及应用,考法例析 成就能力,考法1 常见不等式的求解,例1 江苏20157不等式
28、2x2x4的解集为_ 【解析】2x2x4，即2x2x22，x2x20，解得1x2，即不等式2x2x4的解集为(1，2) 【答案】(1，2),71,考点二 不等式的解法及应用,例2 浙江201815已知R，函数f(x) 当2时，不等式f(x)0的解集是_ 若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_,72,考点二 不等式的解法及应用,函数yx4与yx24x3的图像如图所示 结合图像可知，当1时函数f(x)有1个零点，当14时函数f(x)有2个零点所以当f(x)有2个零点时,的取值范围是(1，3(4，) 【答案】(1，4)(1，3(4，),例2 浙江201815已知R，函数f(x) 当2时，不等式
29、f(x)0的解集是_ 若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_,73,考点二 不等式的解法及应用,考法2 恒成立问题求参数的取值范围、最值,【答案】A,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,必备知识 全面把握,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,1二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)直线与坐标平面 一般地，直线l：AxByC0把直角坐标平面分成了三个部分： 直线l上的点(x，y)的坐标满足AxByC0； 直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足AxByC0； 直线l另一侧的平面区域内的点(x，
30、y)的坐标满足AxByC0. 综上可知，所分成的三部分即直线上的点集及直线两侧的点集，构成不同的平面区域,76,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,(2)二元一次不等式表示的平面区域及判定方法 一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0(或0)表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界不等式AxByC0(或0)表示的平面区域包括边界，把边界画成实线,77,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,判定方法1：特殊点法,只需在直线的某一侧任取一点(x0，y0)，根据Ax0By0C的正负即可判断AxByC0(或0)表示
31、直线的哪一侧区域 若直线不过原点(即C0)，常把原点(0，0)作为特殊点若直线经过原点(即C0)，常选(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，1)等特殊点代入判断,78,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,判定方法2：一般式（A0），大为右，小为左 当A0时， AxByC0表示直线右方区域； AxByC0表示直线左方区域 判定方法3：一般式，同为上，异为下 观察B与不等式的符号， 若B的符号与不等式符号相同，则表示直线上方区域； 若B的符号与不等式符号相异，则表示直线下方区域,79,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,判定方法4：直线 将平面分成三部分，则有“同正
32、异负” A(x1，y1)，B(x2，y2)在l：AxByC0的同侧 (Ax1By1C)(Ax2By2C)0； A(x1，y1)，B(x2，y2)在l：AxByC0的异侧 (Ax1By1C)(Ax2By2C)0； A(x1，y1)或B(x2，y2)在l：AxByC0上 (Ax1By1v)(Ax2By2C)0.,80,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,2线性规划问题 对于变量x，y的约束条件，都是关于x，y的一次不等式，称为线性约束条件当f(x，y)是x，y的一次解析式时，zf(x，y)叫做线性目标函数求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题,(3)二元一
33、次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分,81,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,简单线性规划问题的求解方法 (1)利用目标函数z的几何意义 目标函数为zaxby(b0)型时，把目标函数等价转化成y x z的形式，它表示斜率为 ，在y轴上的截距为 ，并随z变化的一族平行直线这时，z可以看成是直线y x z在y轴上截距的b倍，当b0时，直线过可行域且在y轴上的截距越大，z的值越大，在y轴上的截距越小，z的值越小；当b0时，直线过可行域且在y轴上的截距越大，z的值越小，在y轴上的截距越小，z的值越
34、大,82,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,(2)图解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求”，即 作图：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线axby=0 (目标函数为zaxby)； 平移：平移直线axby=0，确定使zaxby取得最大值或最小值的点； 求值：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值,83,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,(1)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误 (2)在可行域内求最优解时，通常转化为直线在y轴上截距的最值问题来研究，故
35、一定要注意b的正负，否则求出的结果可能恰好相反 (3)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点的坐标 (4)值得注意的是，有些问题中可能要求x，yZ(即整点)，所以最优解不一定在边界上 (5)特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行(kki)时，其最优解可能有无数个,84,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,3常见的线性规划的实际问题，主要涉及以下类型,(1)物资调运问题求怎样设计调运方案，能使总运费最少； (2)产品安排问题求如何组织生产，能使利润最大； (3)下料问题求如何下料，能使损耗最少，利用率最高.
36、,85,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,方法1 确定二元一次不等式(组)所表示的平面区域的方法,二元一次不等式AxByC0(或0)表示直线AxByC0一侧所有点组成的平面区域，一般采用“直线定界，特殊点定域”的方法确定它所表示的平面区域 确定不等式AxByC0(0，0，0)表示直线AxByC0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点(x0，y0)，把它代入AxByC0(0，0，0)中，若不等式成立，则和点(x0，y0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式AxByC0(0，0，0)所表示的区域当C0时，常选原点(
37、0，0)作为特殊点；当C0时，直线过原点(0，0)，常选点(1，0)，(0，1)，(1，0)或(0，1)作为特殊点这种方法称为“直线定界，特殊点定域” 特别值得注意的是在坐标系中画不等式AxByC0(0)所表示的平面区域时，把直线AxByC0画成虚线以表示区域不包括边界直线；画不等式AxByC0(或0)所表示的平面区域时，把直线AxByC0画成实线以表示区域包括边界直线,核心方法 重点突破,86,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,例1 内蒙古呼和浩特2018质量督查调研 已知x，y满足条件 则目标函数zxy从最小值连续变化到1时，所满足条件的点(x，y)构成 的平面区域的面积为
38、(),【解析】如图，可行域是以点(0，2)，(0，0)和(2，0)为顶点的三角形区域，面积是2.z表示直线yxz在y轴上的截距，截距越小，z越小，所以目标函数从最小值连续变化到1时，满足条件的点(x，y)构成的平面区域如图中阴影部分所示，面积是2 1 .故选A.,【答案】A,87,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,方法2 求线性目标函数在线性约束条件下的最值的方法,求在线性约束条件下的线性目标函数taxby(a，b不同时为0)的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线axby0，平移直线axby0，此时，在经过可行域内的点且平行于axby0的直线中，
39、找出对应于t最大(或最小)时的直线，最后求其最值,88,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,例2 广东东莞2018模拟已知 则z22xy的最小值是() A1 B16 C8 D4 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，设m2xy，则y2xm，平移直线y2xm，由图像可知，当直线y2xm经过点A时，直线在y轴上的截距最小，此时m取得最小值，z也取得最小值由 解得y1，x1，得A(1，1)， 此时m2113，z22xy238.故选C.,【答案】C,89,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,例3 山东济南2018教学质量调研记不等式组 的解集为D，若(x，y
40、)D，不等式a2xy恒成立，则实数a的取值范围是() A(，3 B3，) C(，6 D(，8,【解析】不等式组的解集D对应的平面区域如图中阴影部分所示，设z2xy，当直线y2xz经过点A(1，4)时，z取得最小值6.根据题意，得a(2xy)min6，所以实数a的取值范围是(，6故选C.,【答案】C,90,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,方法3 线性规划中的参数问题,含有参数的线性规划问题可能是约束条件中含参数的问题、目标函数中含参数的问题或约束条件和目标函数中都含参数的问题，也可能是已知最值或最优解，求参数的取值(范围)的问题解决问题的关键是正确画出可行域和理解目标函数的几何
41、意义,91,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,例4 山西五校2018第三次联考已知变量x，y满足约束条件 若目标函数zxty(其中t0)仅在点(2，2)处取得最大值，则实数t的取值范围是() A(0，1)B(1，2)C(2，)D(1，) 【解析】可行域是以点(0，2)，(2，2)和(4，0)为顶点的三角形区域，目标函数可化为y x z.因为目标函数仅在点(2，2)处取得最大值，所以11，所以实数t的取值范围是(1，)故选D. 【答案】D,92,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,例5 辽宁大连第二十四中学2018模拟已知x，y满足 且z2xy的最大值与最小值的比值
42、为2，则实数a的值是_ 【解析】作出可行域，如图中的三角形区域所示，将z2xy变换为y2xz，当目标函数线y2xz经过点(1，1)时，z取得最大值1，经过点(a，2a)时，z取得最小值3a2，则 2，解得a .,【答案】,93,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,方法4 线性规划的实际应用,线性规划在实际问题中的解题步骤： (1)从实际问题中抽象出约束条件和目标函数，设元并用不等式组、代数式分别表示约束条件和目标函数； (2)画出可行域，求出最优解和目标函数的最值； (3)回代检验并得出实际问题的结果 在实际解题中常常会遇到让我们求整数解的问题若最优解(x，y)不是整数解，求整数
43、解常用下面的两种方法：一是画方格法，即过x轴上的整数点作y轴的平行线，过y轴上的整数点作x轴的平行线；二是代入比较法，即把边界线附近的可行解代入目标函数，求值比较,94,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,例6安徽合肥2018第一次教学质量检测某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时，A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为() A320千元B360千元
44、C400千元D440千元,【解析】设该企业每月生产 甲产品x件，乙产品y件，则 利润z2xy.画出可行域，可知(150，60)为最优解，所以z215060360，则z的最大值为360千元故选B. 【答案】B,95,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,96,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,97,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,98,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,方法5 简单的非线性目标函数的最值问题,解决非线性目标函数的最值问题时，首先画出可行域，然后将非线性目标函数进行转化，利用其几何意义解题常见代数式的几何意义有：,99,
45、考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,例8 重庆巴蜀中学2018适应性月考设实数x，y满足 则x2y2的最小值为() A4 B2 C. D.,【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，目标函数表示可行域内的点到坐标原点距离的平方 显然点A 到原点的距离最小，所以(x2y2)min .,【答案】C,100,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法例析 成就能力,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法例析 成就能力,本考点是高考的重点，命题稳定，难度适中主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值(取值范围)、参数的值(取值范围)以及实际应用，目标函数大多是线性
46、的，偶尔也会出现斜率型和距离型的非线性目标函数，主要以选择题和填空题的形式出现,102,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法1 平面区域的表示,例1 浙江20163在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域 中的点在直线xy20上的投影构成的线段记为AB，则|AB|() A2 B4C3 D6,103,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,【答案】C,104,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法2 求线性目标函数的最值(取值范围),例2 北京201812若x，y满足x1y2x，则2yx的最小值是_,105,考点三 二元一
47、次不等式(组)与简单的线性规划问题,例3 天津20182设变量x，y满足约束条件 则目标函数z3x5y的最大值为() A6 B19 C21 D45,【答案】C,106,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法3 利用线性规划的最值或最优解求参数的取值(范围),利用线性规划的最值或最优解求参数的取值(范围)是线性规划的一个考点，主要考查根据线性规划求最值或最优解、根据目标函数的最值或最优解求参数的取值(范围)，试题的难度不大,107,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,例4 山东20156已知x，y满足约束条件 若zaxy的最大值为4，则a() A3 B2 C2 D3
48、,【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由xy2(xy0，)得A(1，1)，zaxy可变形为yaxz.因为z的最大值为4，所以直线yaxz的纵截距最大为4.若zaxy在A(1，1)处取得最大值，则纵截距必小于2，故只有yaxz过点(2，0)且a0时符合题意，所以4a20，即a2.故选B.,108,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法4 线性规划知识在实际生活中的应用,解决这类问题需要理解题意后将其转化为数学问题，引入相关字母将其转化为线性规划问题，然后按照线性规划的知识解决考查时常以填空题、选择题的形式出现，也可能以解答题的形式出现,109,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,例5 课标全国201616某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 g，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元,110,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,111,考点三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法5 非线性规