【600分考点-700分考法】高考理科数学：专题（6）数列ppt课件.pptx

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1、专题六 数列,目 录 CONTENTS,考点一 数列的概念与简单表示法,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,必备知识 全面把握,1数列的概念,按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项,例如，前后项之间形成固定关系的有序的一列数； 自变量仅取正整数，图像是离散点的特殊函数； 每一项都与其项数及某定值形成固定关系的一列数； 每一项与其对应的前n项和形成固定关系的一列数； 可以通过归纳的方法，找到表达式，并且对于每一项的检验都恒成立的一列数,考点一 数列的概念与简单表示法,5,图像法；列表法；通项公式法；递推公式法 通项公式：如果数列an中的第n项a

2、n与n之间的关系可以用一个公式 来表示，则称此公式为数列的通项公式.,2数列的表示方法,an与an是两种不同的表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式；而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系 递推公式：如果从数列an的第2项起，任一项an与它的前一项an1(或前n项和Sn)间的关系可以用某个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,考点一 数列的概念与简单表示法,6,按项数分类：有穷数列，无穷数列 按项与项间的大小关系分类：递增数列，递减数列，常数列，摆动数列,3数列的分类,考点一 数列的概念与简单表示法,7,一方面，数列是一种特殊的函数

3、，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题 另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，因为它的定义域是N*或它的有限子集1，2，n，所以它的图像是一系列孤立的点，而不是连续的曲线,4函数与数列的联系与区别,考点一 数列的概念与简单表示法,8,已知数列为等差或等比数列，用等差、等比数列的公式、性质等解决；,5解决数列问题的一般方法,形似函数的数列，可以应用函数的方法，同时注意与函数的区别,形似等差、等比的数列，可以联想、类比、派生、转化为等差、等比 数列；,考点一 数列的概念与简单表示法,9,核心方法重点突破,方法1 由an与Sn的关系求通项an,数列an的前

4、n项和Sn与an的关系为 先通过anSnSn1(n2)和题目中的已知条件消去an或Sn，再构造等差数列或者等比数列求解,(1)若消去Sn，应利用已知递推公式，把n换成n1得到另一个式子，两式相减即可求得通项,考点一 数列的概念与简单表示法,10,(2)若消去an，只需把anSnSn1代入递推式得到Sn，Sn1的关系，求出Sn后再利用an与Sn的关系求通项,在求解时一定要记住：(1)当n1时，a1S1；(2)当n2时，anSnSn1. 将n1时的表达式与n2时的表达式综合在一起，若a1适合n2时an的通项公式，则可以合并在一起，否则写成分段形式,方法1 由an与Sn的关系求通项an,考点一 数列

5、的概念与简单表示法,11,【解】(1)当n1时，a1S11； 当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5. 又a11也适合上式，因此an4n5(nN*),例1 已知数列an的前n项和Sn，求an的通项公式 (1)Sn2n23n； (2)Sn3nb.,(2)当n1时，a1S13b； 当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1. 当b1时，a1适合上式；当b1时，a1不适合上式 当b1时，an23n1(nN*)； 当b1时，an,考点一 数列的概念与简单表示法,12,【解析】当n1时，a16； 当n2时， 由a12a23a3nann(n1)(n2)得a12a23

6、a3(n1)an1(n1)n(n1)，两式相减得 nann(n1)(n2)(n1)n(n1)3n(n1)，所以an3n3，当n1时也成立，故an3n3.,例2 数列an满足a12a23a3nann(n1)(n2)(nN*)， 则这个数列的通项公式an_,【答案】3n3,考点一 数列的概念与简单表示法,13,【解】(1)由S1A2Ba15，S2A4Ba1a29，得A2，B1.,例3 在数列an中，a15，a24，数列an的前n项和SnA2nB(A，B为常数) (1)求实数A，B的值； (2)求数列an的通项公式,(2)因为Sn2n11，所以an 当n1时，a1S12215； 当n2时，anSnS

7、n12n11(2n1)2n. 所以an,考点一 数列的概念与简单表示法,14,方法2 数列的单调性、最值、周期性等性质的应用,(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法： 作差比较法：根据 an+1-an的符号进行判断； 作商比较法：当an中各项都同号时，根据 与1的大小关系进行判断； 结合相应函数的图像直观判断,(3)解决数列周期性问题的方法：根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值,(2)数列的最值通常利用函数最值的方法或者数列的单调性求解,考点一 数列的概念与简单表示法,15,【解析】an 且数列an是递增数列，则 2a3，实数a的取值范围是(2，3),【答案】(2，

8、3),例4 已知数列an满足an 且an是递增数列，则实数a的取值范围是_,考点一 数列的概念与简单表示法,16,【解析】由任意连续三项的和都是15得anan1an2an1an2an3，则anan3，所以a12a35，且a2a3a415，则a29，所以a2 018a36722a29.,例5 在数列an中，若a41，a125，且任意连续三项的和都是15，则a2 018_,【答案】9,考点一 数列的概念与简单表示法,17,例6 等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_,【答案】49,考点一 数列的概念与简单表示法,18,考法例析成就能力,本考点是高考的热点，主要

9、考查,(3)利用数列的函数性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度有所下降,(2)由an与Sn的关系求通项公式；,(1)由数列的递推关系求通项公式；,考点一 数列的概念与简单表示法,19,例1 课标全国201814记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.,考法1 由an与Sn的关系求值,【解析】方法一：Sn2an1(n1)， Sn12an11(n2) 当n2时，得an2an2an1，an2an1. 当n1时，S1a12a11，解得a11. 数列an是以1为首项，2为公比的等比数列 S6 =-63,考点一 数列的概念与简单表示法,20,方法二：由题知当n2时，Sn2(SnS

10、n1)1， Sn2Sn2Sn11，Sn2Sn11. 构造Sn2(Sn1)，Sn2Sn12， Sn2Sn1. 两式对应项相等，1. 当n1时，S1a12a11，解得a11， S112. Sn1是以S112为首项，2为公比的等比数列 Sn122n12n， Sn12n，S612663.,【答案】63,考点一 数列的概念与简单表示法,21,例2 课标全国201516设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.,【解析】an1SnSn1，Sn1SnSnSn1. 两边同时除以SnSn1，得 1. 又 1， 是首项为1，公差为1的等差数列 1(n1)(1)n，Sn,【答案】,考点一 数

11、列的概念与简单表示法,22,例3 课标全国文201717设数列an满足a13a2(2n1)an2n. (1)求an的通项公式； (2)求数列 的前n项和,【解】(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1) 两式相减得(2n1)an2.所以an (n2) 又由题设可得a12，满足an ， 从而an的通项公式为an .,考点一 数列的概念与简单表示法,23,考点一 数列的概念与简单表示法,例3 课标全国文201717设数列an满足a13a2(2n1)an2n. (1)求an的通项公式； (2)求数列 的前n项和,24,(1)求数列an的通项公式； (2)

12、记数列 的前n项和为Tn，求使得|Tn1| 成立的n的最小值,例4 四川201516设数列an(n1，2，3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列,考点一 数列的概念与简单表示法,25,【解】(1)由已知Sn2ana1，得 anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2) 从而a22a1，a32a24a1. 又因为a1，a21，a3成等差数列， 所以a1a32(a21)， 即a14a12(2a11)，解得a12. 所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列 故an2n.,考点一 数列的概念与简单表示法,26,考点一 数列的概念与简单表示法,27,考法2

13、 利用数列的单调性求最值,例5、已知数列an满足a12a222a32n1ann，nN*. (1)求数列an的通项公式； (2)求数列(2n13)an的最大项,【解】(1)a12a222a32n1ann， 当n2时，a12a222a32n2an1n1， 得2n1an1，an ，n2. 又n1时，a11也适合， an ，nN*.,考点一 数列的概念与简单表示法,28,考点一 数列的概念与简单表示法,29,考法3 数列的新定义问题,例6 课标全国201612定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“

14、规范01数列”共有() A18个 B16个 C14个 D12个,考点一 数列的概念与简单表示法,30,【解析】当m4时，数列共有8项，由题可知，a10，a81，分类考虑： 当前四项全为0时，后四项全为1，满足条件，有1个； 当前四项有三项为0时，第2，3，4项任取两项为0，第5，6，7项任取一项为0，共有C32C319(个)； 当前四项有两项为0时，则第2或3项为0，第5项一定为0，第6，7项有一项为0，共有C21C214(个) 综上，共有19414(个),【答案】C,考点一 数列的概念与简单表示法,31,考点二 等差数列及其前n项和,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力

15、,32,必备知识 全面把握,考点二 等差数列及其前n项和,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示,1等差数列的定义,如果a，b，c成等差数列，那么b为a，c的等差中项，其中b= .,2等差中项,33,(1)等差数列的定义具有两重性，既可以判定一个数列是否为等差数列，也可以作为等差数列的一个性质 (2)a，b，c成等差数列是2bac的充要条件 (3)等差中项的推广： (n2，np),考点二 等差数列及其前n项和,34,(1)在通项公式中包含四个量，a1(首项)、d(公差)、n(序号)、an

16、(第n项)，知三求一；,3等差数列的通项公式,通项公式：ana1(n1)d (nN*),(2)由通项公式可推出.,注意把握：,考点二 等差数列及其前n项和,35,(3)用函数观点理解通项公式 an是定义在N*或其有限子集1，2，3，n上的一次函数(d0)或常数函数(d0)反之，若anndb，则an1and(n1)bndbd，可知数列an为等差数列 因此有结论：数列an是等差数列 anndb. 这个结论深刻揭示了等差数列的本质特征：当d0时，an是定义在N*或1，2，3，4，n上的一次函数；当d0时，an是一个常数函数 等差数列的图像是均匀分布在直线ydxb上的离散的点(当x取正整数时对应的点)

17、，即点的坐标为(n，an)，这样可把一次函数的某些性质用于等差数列an,考点二 等差数列及其前n项和,36,通项公式：ana1(n1)d和anam(nm)d的变式为 ，由此可联想点列(n，an)所在直线的斜率,由数列的单调性定义，易得 an为递增数列 d0； an为递减数列 d0； an为常数列 d0.,4等差数列的单调性,考点二 等差数列及其前n项和,37,5等差数列的前n项和公式,考点二 等差数列及其前n项和,前n项和公式： 等差数列的前n项和公式整理得 从函数观点理解前n项和公式，得到结论： 数列an是等差数列 SnAn2Bn(其中A，B为常数) 这个结论深刻揭示了等差数列前n项和的本质

18、特征：当d0时，Sn是定义在N*或1，2，3，4，n上的二次函数，且常数项为0；当d0时，Sna1n是一个一次函数或常数0.因此，当d0时，等差数列的前n项和的图像是分布在抛物线yAn2Bn上的一系列离散的点(当n取正整数时对应的点)于是，我们就可以借助抛物线来研究Sn的变化规律,38,考点二 等差数列及其前n项和,39,6关于等差数列an的常用结论,(1)对于任意正整数n，都有an1ana2a1.,(2)对于任意正整数m，n，p，q，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.,(3)对于任意正整数p，q，r，若pr2q，则有apar2aq.,(4)对于任意非零实数b，若数列ban是等差数列

19、，则数列an也是等差数列,(5)若数列an，bn都是等差数列且项数相同，则kbn，anbn，anbn，panqbn都是等差数列,考点二 等差数列及其前n项和,40,(10)若数列an为等差数列，则SnAn2Bn，当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值,(9)若数列an为等差数列，且Spq，Sqp，则Spq(pq)，pq.,(8)若数列an为等差数列，且SnSm(mn)，则Smn0.,(7)若数列an为等差数列，则S3m3(S2mSm),(6)在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列,考点二 等差数列及其前n项和,41,(11)若数列an为等差数列

20、， 若数列的项数为2n1(nN*)，设S奇，S偶分别为所有奇数项的和与所有偶数项的和，则S奇S偶S2n1 (a1a2n1)(2n1)(2n1)an1(an1为中间项)，S奇S偶an1，,若数列的项数为2n(nN*)，则S2n (a1a2n)2nn(anan1)(an，an1为中间两项),考点二 等差数列及其前n项和,42,(12)若数列an是等差数列，前n项和为Sn，则数列 也是等差数列，其首项与数列an的首项相同，公差是数列an的公差的 .,(13)若数列an，bn都是等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则,(15)等差数列an的前n项和为Sn，且Sm，S2m，S3m，S4m，分别为数列a

21、n的前m项，前2m项，前3m项，前4m项，的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列,(14)若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为xd，x，xd；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为x3d，xd，xd，x3d.,考点二 等差数列及其前n项和,43,核心方法 重点突破,方法1 等差数列的判定与证明,等差数列的判定与证明方法： (1)定义法：用定义法时常采用的两个式子anan1d和an1and有差别，前者必须加上“n2”，否则n1时a0无意义；,(3)通项公式法：anpnq(p，q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列；,(2)等差中项法：2anan1an1(n2，n

22、N*)成立an是等差数列；,考点二 等差数列及其前n项和,44,(6)若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项an，an1，an2，使得这三项不满足2an1anan2即可,(5)an为等比数列，an0 logaan为等差数列(a0且a1)；,(4)前n项和公式法：验证数列an的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列；,考点二 等差数列及其前n项和,45,例1 (1)已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证：数列an是等差数列； (2)已知 成等差数列，求证： 也成等差数列,【证明】(1)当n1时，a1S1321. 当n2时，anSnSn13n22n3(n1

23、)22(n1)6n5. 当n1时，也满足上式，an6n5. 首项a11，anan16n56(n1)56(常数)， 数列an是等差数列，且公差为6.,考点二 等差数列及其前n项和,46,考点二 等差数列及其前n项和,例1 (1)已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证：数列an是等差数列； (2)已知 成等差数列，求证： 也成等差数列,47,例2 设数列an的前n项和为Sn，且Sn1Sn(n1)an1 an1，nN*，a26，求证：数列an是等差数列,考点二 等差数列及其前n项和,48,方法2 等差数列的基本运算,(1)方程思想：等差数列的基本量有首项a1，公差d，项数n，通项an，前n项和S

24、n，通常利用条件和通项公式、前n项和公式建立方程组求解,(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求利用通项公式、求和公式都用a1和d表示，寻求两者之间的联系，整体代换求解,解决等差数列运算问题的常用数学思想：,考点二 等差数列及其前n项和,49,例3 苏锡常镇四市2018调研已知公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，若,【答案】2,考点二 等差数列及其前n项和,50,方法3 等差数列的性质及其应用,(1)在等差数列an中，若mnpq，m，n，p，qN，则amanapaq.特殊地，若mn2p，m，n，pN，则aman2ap.,(2)等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则Sk，S2

25、kSk，S3kS2k也成等差数列，且公差为k2d.,考点二 等差数列及其前n项和,51,例4 山东菏泽单县第五中学2018第一次月考已知等差数列an，Sn是它的前n项和，若S160，且S170，则当Sn取最大值时的n值为() A7 B8 C9 D16,【解析】由题意得 8(a1a16)8(a8a9)0，故a8a90.又 17a90，即数列an的前8项为正数，所以数列的前8项和最大故选B.,【答案】B.,考点二 等差数列及其前n项和,52,例5 在等差数列an中，Sn为其前n项和 (1)若a1a4a739，a2a5a833，则a3a6a9_； (2)若a2a7a8a136，则S14_； (3)若

26、S1166，则a6_； (4)若a1a4a8a12a152，则a3a13_； (5)若a7a8a9a10a1145，且S678，则a12a13a14a15_； (6)若a4a6a4a9a9a11a6a1181，则S14_.,考点二 等差数列及其前n项和,53,【解析】(1)数列a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9也是等差数列， 2(a2a5a8)(a1a4a7)(a3a6a9) a3a6a92333927.,(2)由等差数列的性质得a2a13a7a83， S14 (a1a14)147(a2a13)7321.,(3)S11 66， ，a1a1112. 2a6a1a1112，即a66.,考点二

27、 等差数列及其前n项和,54,(4)方法一：设数列an的公差为d， 由条件可得a1(a13d)(a17d)(a111d)(a114d)2， 化简，得a17d2. a3a132a82(a17d)4.,方法二：2a8a1a15a4a12， 由a1a4a8a12a152得a82. a3a132a84.,考点二 等差数列及其前n项和,55,(5)方法一：化成a1，d(公差)的式子，列方程求解(略),Sn2n225n. S152152251575. a12a13a14a15S15S117533108.,方法二：设SnAn2Bn，则由S678，a7a8a9a10a11S11S6 45，得S1133.,考点

28、二 等差数列及其前n项和,56,方法三：由已知，可得a99，S1133，a63. 由a6，a9，a12，a15是等差数列，得公差为12. a1221，a1533. 2(a12a15)108， 即a12a13a14a15108.,(6)a4a6a4a9a9a11a6a11a4(a6a9)a11(a9a6)(a4a11)281， a4a119，,【答案】(1)27(2)21(3)6(4)4(5)108(6)63,考点二 等差数列及其前n项和,57,方法4 等差数列前n项和及其最值,(1)函数法：等差数列前n项和SnAn2Bn(A，B都为常数)，通过配方，借助求二次函数最值的方法求解,求等差数列前n

29、项和Sn最值的两种方法：,(2)邻项变号法： a10，d0时，满足 的项数m使得Sn取得最小值Sm.,考点二 等差数列及其前n项和,58,例6 在等差数列an中，a129，S10S20，则数列an的前n项和中最大的为() AS15 BS16 CS15和S16 DS17,【答案】A,考点二 等差数列及其前n项和,59,考法例析 成就能力,例1 天津201618已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的nN*，bn是an和an1的等比中项 (1)设cnbn12bn2，nN*，求证：数列cn是等差数列；,【证明】(1)因为等差数列an的公差为d，由题意得bn2anan1， 则cnbn12b

30、n2an1an2anan12dan1，所以cn1cn2d(an2an1)2d2.所以数列cn是等差数列,考法1 等差数列的证明与判断,考点二 等差数列及其前n项和,60,考点二 等差数列及其前n项和,61,考法2 等差数列的基本运算,例2 北京201710若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则 _,【答案】1,【解析】an是等差数列，a11，a48， 公差d3，a2a1d2. bn为等比数列，b11，b48， 公比q2，b2b1q2. 故 1.,考点二 等差数列及其前n项和,62,例3 北京20189设an是等差数列，且a13，a2a536，则an的通项公式为_,【答案】a

31、n6n3,【解析】设等差数列an的公差为d，由a13，a2a52a15d36，d6，则an36(n1)6n3.,考点二 等差数列及其前n项和,63,例4 课标全国20174记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为() A1 B2 C4 D8,【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d， 则由,【答案】C,故选C.,考点二 等差数列及其前n项和,64,考法3 等差数列的性质,例5 陕西201513中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_,【解析】当这一列数有2n1个时，则中位数为an11 010，由对称性得a1a2n12an1

32、2 020，a15.当这一列数有2n个时，中位数为 1 010，同样由对称性得a1a2nanan12 020，a15.,【答案】5,考点二 等差数列及其前n项和,65,【答案】6,例6 北京201612已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a16，a3a50，则S6_.,【解析】方法一：由等差数列的性质可得a3a52a40，a40， d3(a4a1)2，a36222，S63(a3a4)326.,方法二：由等差数列的性质，得a3a5a2a62a40.S6a16.,考点二 等差数列及其前n项和,66,66,考点三 等比数列及其前n项和,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,

33、67,1等比数列的定义 对于数列an，若 则数列an是等比数列，其中q为常数，叫做公比,2等比中项 若a，b，c成等比数列，则b为a，c的等比中项，即b2ac(ac0),考点三 等比数列及其前n项和,必备知识 全面把握,68,(1)等比数列的定义具有两重性，既可以判定一个数列是否为等比数列，也可以把它作为等比数列的一个性质 (2)a，b，c成等比数列是b2ac的充分不必要条件 (3)推广：等比数列an中，an是与an前后等距离的两项anp，anp的等比中项，即an2anpanp(n2且np),考点三 等比数列及其前n项和,69,3等比数列的通项公式,通项公式：,(1)在通项公式中包含了四个量，

34、a1(首项)、q(公比)、n(序号)、an(第n项)，只要知道其中任意三个量，即可求出第四个量,注意把握：,(2)由通项公式可推出,(3)函数观点理解通项公式,考点三 等比数列及其前n项和,70,因此有结论：数列an是等比数列ancqn. 这个结论深刻揭示了等比数列的本质特征：当q1时，点(n，an)在函数ycqx的图像上；当q1时，点(n，an)在函数ya1的图像上 这样可把指数函数的某些性质用于等比数列an,三个数成等比数列，则可设这三个数为 ，a，aq； 同号四个数成等比数列，则可设这四个数为 ， ，aq，aq3.,考点三 等比数列及其前n项和,71,4等比数列的单调性,由数列的单调性定

35、义，易得,考点三 等比数列及其前n项和,72,5等比数列的前n项和公式,前n项和公式：,(1)注意掌握等比数列求和公式的推导方法 (2)通项公式与前n项和公式共含五个量，知三求二 (3)在运用公式进行计算时，要考虑q是否等于1，若不能确定，要分类讨论,考点三 等比数列及其前n项和,73,(4)如果an0，则logaan(a0且a1)是等差数列；如果数列logaan是等差数列，则an成等比数列；,6关于等比数列an性质的常用结论,(1)对于任意正整数n，均有,(2)对于任意正整数m，n，p，q，若m+np+q；则 ; 若mn2p，则有amanap2；,(3)对任意正整数n1，有an2an1an1

36、；,考点三 等比数列及其前n项和,74,(5)构造新数列： 若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)， ，an2，anbn，仍是等比数列； 若an是等比数列，且an0，则logaan(a0且a1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列； 已知公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列，其公比为qn.若不限定q1，则仍有关系式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，但不能说Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列,考点三 等比数列及其前n项和,(6)项数为2n的等比数列中， q；项数为2n1的等比数列中，,75,核心方法重点突破,方

37、法1 等比数列的判定与证明,等比数列的判定与证明有以下几种方法：,(1)定义法：在an0(nN*)的前提下，若 (q为非零常数)或 (q为非零常数，n2且nN*)，则an是等比数列,(2)等比中项法：数列an中，an0，如果根据已知条件能得到an12anan2(nN*)，那么数列an是等比数列,考点三 等比数列及其前n项和,76,(3)通项公式法：观察已知信息，或者是计算出数列的通项公式，若可以写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列,(5)性质法：利用等比数列的性质进行判断或证明,(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0且q1)

38、，则数列an是等比数列,考点三 等比数列及其前n项和,77,例1 内蒙古呼和浩特2018调研设数列an各项均为正数，且a24a1，an1an22an(nN*) (1)证明：数列log3(1an)为等比数列； (2)令bnlog3(1a2n1)，数列bn的前n项和为Tn，求使Tn345成立时n的最小值,考点三 等比数列及其前n项和,78,考点三 等比数列及其前n项和,79,考点三 等比数列及其前n项和,80,例2 广西南宁2018第二次适应性测试已知数列an的前n项和为Sn，且满足an1Snn1(n1，2，3，)，a11. (1)求证：an1为等比数列 (2)数列an中是否存在不同的三项，适当排

39、列顺序后构成一个等差数列？并说明理由,考点三 等比数列及其前n项和,81,(1)【证明】因为an1Snn1(n1，2，3，)， 所以anSn1n(n2) 因为anSnSn1(n2)， 所以可得an1anan1(n2)，即an12an1(n2) 所以an112(an1)(n2)，即 (n2) 又因为a11，所以a23， 故an1为等比数列,考点三 等比数列及其前n项和,82,(2)【解】不存在理由如下： 由(1)得an2n1. 假设能得到一个等差数列，不妨设满足条件的3项分别为ar，as，at，则2(2s1)2r12t1，即2s12r2t. 所以2rs12ts11. 因为an是递增数列，所以rs

40、10，ts10中必有一个成立 则2rs12ts11，与2rs12ts11矛盾 故数列an中不存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列,考点三 等比数列及其前n项和,83,方法2 等比数列的基本运算,等比数列有五个基本量a1，n，q，an，Sn，可以“知三求二” (1)若已知n，an，Sn，首先验证q1是否成立，若q1，则可以通过列方程组 求出关键量a1和q，使问题迎刃而解,(2)若已知数列an中的两项an和am，可以利用等比数列的通项公式，得到方程组 两式相除可以先求出q，然后再代入其中一式求得a1，进一步求得Sn.另外，还可以利用公式anamqnm直接求得q，减少运算量,考点三 等比数

41、列及其前n项和,84,(1)等比数列求和要讨论q1和q1两种情况 (2)计算过程中，若出现方程qnt，则要看qn中的n是奇数还是偶数若n是奇数，则 ；若n是偶数，则t0时，q t0时，无解 解决等比数列有关问题的常用数学思想方法： (1)方程思想：等比数列中有五个基本量a1，q，n，an，Sn，利用通项公式、求和公式建立方程组求解，即“知三求二” (2)分类讨论思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当公比q1和q1时的求和公式不同,考点三 等比数列及其前n项和,85,例3 (1)设等比数列an的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a83，则a5的值为_,考点三 等比数

42、列及其前n项和,86,(2)已知an是等比数列，Sn是其前n项和若a32，S124S6，则a9的值为_,【答案】(1)6(2)2或6,考点三 等比数列及其前n项和,87,方法3 等比数列的性质及应用,(1)在等比数列an中，若mnpq，m，n，p，qN*，则amanapaq；特殊地，若mn2p，m，n，pN*，则amanap2.,(2)已知等比数列an的公差为q，前n项和为Sn，则q1时，Sk，S2kSk， S3kS2k也成等比数列，且公比为qk.,(3)项的个数的“奇偶”性质：已知等比数列an的公比为q. 若共有2n项，则S偶S奇q；,考点三 等比数列及其前n项和,88,例4 已知等比数列a

43、n的前n项和为Sn. (1)若a3a4a58，则a2a3a4a5a6_； (2)若a1a2324，a3a436，则a5a6_； (3)若S42，S86，则a17a18a19a20_.,【解析】(1)由a3a5a42，得a42， a2a3a4a5a6a452532.,考点三 等比数列及其前n项和,89,考点三 等比数列及其前n项和,【答案】(1)32(2)4(3)32,90,例5 已知an是首项为正数的等比数列，前n项和Sn80，前2n项和S2n 6 560，在前n项中数值最大的项为54，求a1与q.,考点三 等比数列及其前n项和,91,例6 辽宁五校2018期末等比数列an的前n项和记为Sn，

44、若 _,考点三 等比数列及其前n项和,【答案】,92,考法例析成就能力,考法1 等比数列的判定与证明,例1 课标全国201617已知数列an的前n项和Sn1an，其中0. (1)证明an是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5 ，求.,考点三 等比数列及其前n项和,93,考点三 等比数列及其前n项和,94,考点三 等比数列及其前n项和,例2 课标全国文201817已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn . (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由； (3)求an的通项公式,95,考法2 等比数列的基本运算,例3 江苏20179等比数列an的各项

45、均为实数，其前n项和为Sn.已知S3 ，S6 ，则a8_,【答案】32,考点三 等比数列及其前n项和,96,例4 课标全国201817 等比数列 an 中，a11，a54a3. (1)求an的通项公式； (2)记Sn为 an 的前n项和若Sm63，求m.,由Sm63得2m64，解得m6. 综上，m6.,考点三 等比数列及其前n项和,97,考法3 等比数列的性质,例5 大纲全国201410等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于() A6B5C4D3,【答案】C,【解析】由题意知a1a8a2a7a3a6a4a510，数列lg an的前8项和等于lg a1lg a2lg a8

46、lg(a1a2a8)lg(a4a5)44lg(a4a5)4lg 104.,考点三 等比数列及其前n项和,98,例6 课标全国201615设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_,【答案】64,考点三 等比数列及其前n项和,99,考点四 数列的综合应用,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,100,必备知识全面把握,一、求通项公式的方法,1观察归纳法：通过观察数列的前几项与对应项数之间的关系，归纳猜想出通项公式的方法 2递推归纳法：已知数列的递推公式，可利用递推公式写出数列的前几项，进而归纳出通项公式，或者通过对递推公式变形，得出一个新的等差(

47、比)数列，从而得出数列的通项公式我们可以根据具体情况采用下列方法： (1)累加法 一般地，对于已知条件形如“an1anf(n)”的题目求通项公式，若f(1)f(2)f(n)容易求出，我们可以采用此方法来求an，即an(anan1)(an1an2)(a2a1)+ a1(n2),考点四 数列的综合应用,101,(3)构造法 当数列前一项和后一项，即an和an1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列(等比数列或等差数列)具体有以下几种常见方法,考点四 数列的综合应用,102,考点四 数列的综合应用,103,考点四 数列的综合应用,104,

48、(4)归纳猜想法 当我们在求数列通项无从下手时，归纳猜想法不失为一种权宜之计，观察数列特征，找出各项的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式 利用归纳法求数列的通项公式可抓住以下特征： 项与次数的变化特征，如平方关系、倍数关系等； 相邻项的变化特征； 拆项后的特征，变化部分和不变化部分的规律分开看； 分式中分子、分母的特征：分子、分母分别找通项，同时注意观察分子、分母间的关系； 各项的符号特征和绝对值特征，如奇、偶项正、负交替，用(1)n或(1)n1调节； 借助一些基本数列的通项公式变形,考点四 数列的综合应用,105,3利用an与Sn的关系 若数列an的前n项和为Sn，,这是求通项公式的非常重要的一种方法，显然已知Sn求an，必须分两步，最后要看能否合二为一，若不能则写成分段式,4公式法：若已知数列为等差数列或等比数列，则可利用它们的通项公式直接求出 等差数列an的通项公式：ana1(n1)d. 等比数列an的通项公式：ana1qn1.,考点四 数列的综合应用,106,(1)给定一个数列的通项公式，这个数列就唯一确定，但并不是每个数列都可以写出通项公式，即使有通项公式也并非唯一 (2)有的数列是用递推公式给出的，递推公式确定，数列也就确定，