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1、专题十 圆锥曲线,目 录 CONTENTS,考点一 椭圆,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,必备知识 全面把握,1椭圆的定义,(1)注意：若2a|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a|F1F2|，则动点的轨迹不存在 (2)定义是解决椭圆问题的常用工具，如果题目中的条件能转化为动点到两定点距离和为常数的问题可考虑能否利用椭圆的定义求解，或者有关椭圆上的点到焦点的距离问题，也可考虑利用椭圆的定义求解,平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 集合语言：PM|MF1|MF2|
2、2a，2a|F1F2|，|F1F2|2c，其中ac0，且a，c为常数,考点一 椭圆,2.椭圆的标准方程,考点一 椭圆,3椭圆的几何性质,考点一 椭圆,7,考点一 椭圆,3椭圆的几何性质,8,(1)椭圆的焦点总在长轴上；离心率表示椭圆的扁平程度当e越大时，椭圆越扁；当e越小时，椭圆越圆 (2)椭圆的几何性质分类 椭圆本身固有的性质(与坐标系无关)，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等； 与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等 在解题时要特别注意第类性质，先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，然后再进行求解,考点一 椭圆,3椭圆的几何性质,4椭圆中的特殊量,考点一 椭圆,10,对
3、于椭圆 由焦半径公式 可得，椭圆上任一点P到焦点F1的最小距离为ac，最大距离为ac，此时点P在长轴的两端点处；由椭圆的对称性知，点P到焦点F2也有相同的结论,(2)椭圆的焦点弦 当直线和椭圆相交时，截在椭圆内的线段(包括端点)叫做椭圆的弦当弦过焦点时，称其为焦点弦 设 是椭圆 上两点，若弦AB过左焦点F1，则,考点一 椭圆,11,(3)椭圆的焦点三角形 设F1，F2为椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上异于左、右顶点的点，则PF1F2为焦点三角形 如图所示，,考点一 椭圆,12,焦点三角形的周长是2(ac) 若焦点三角形的内切圆圆心为I，延长PI交线段F1F2于点Q， (角平分线定理)， 所以 (
4、和比定理) (4)椭圆的通径长 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被椭圆截得的弦叫做椭圆的通径设点P(x0，y0)是椭圆通径的一个端点，将 代入相应的焦半径公式，计算得 ，通径是最短的焦点弦,考点一 椭圆,13,核心方法 重点突破,方法1 求椭圆方程的方法,1椭圆标准方程的求法,(1)定义法：根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的标准方程其中常用的关系有 b2a2c2； 椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a； 椭圆上一短轴端点到椭圆两焦点的距离相等且等于实半轴长a.,用此种方法求动点轨迹时，有时需根据题意舍去一些不符合题意的点，有时可能要分类讨论，不要漏解,考点一 椭
5、圆,14,(2)待定系数法 如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定出关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程(求得的方程可能是一个，也可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解) 当焦点位置不确定时，有两种方法可以解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；一种是已知椭圆的中心在原点，可以设椭圆的一般方程为mx2ny21(m0，n0，mn),求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法所谓定位，就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点在x轴上还是在y轴上；所谓定量就是求出椭圆的a，b，c，从而写出椭圆的方程,考点一 椭圆,15,2
6、椭圆系方程,考点一 椭圆,16,例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(12，0)，(12，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于26； (2)焦点在坐标轴上，且经过点A( ，2)和B(2 ，1)； (3)焦距是2，且经过点P( ，0),【分析】根据题意，先判断椭圆的焦点位置，再设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a，b即可若判断不出焦点在哪个坐标轴上，可设椭圆的一般方程,考点一 椭圆,17,考点一 椭圆,18,考点一 椭圆,19,考点一 椭圆,20,考点一 椭圆,21,考点一 椭圆,22,方法2 椭圆定义的应用,椭圆定义的应用类型及方法 (1)利用定义确定平面内的动点
7、的轨迹是否为椭圆； (2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值问题利用定义和余弦定理可求得|PF1|PF2|，再结合 进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积其中|PF1|PF2|2a两边平方是常用技巧,考点一 椭圆,23,考点一 椭圆,例3、,【答案】C,24,考点一 椭圆,例4、,【答案】D,25,考点一 椭圆,例5、,【答案】3,26,方法3 椭圆的几何性质,1求椭圆离心率的方法,考点一 椭圆,27,2求椭圆离心率的 取值范围的方法,考点一 椭圆,28,例6、(1)安徽定远重点中学2018模拟在等腰梯形ABCD中， ABCD, tanABC2, AB6, CD2.若以A，B为焦
8、点的椭圆经过C，D两点，则此椭圆的离心率为(),考点一 椭圆,29,考点一 椭圆,30,考点一 椭圆,31,考点一 椭圆,32,【答案】(1) A (2) C (3) A,考点一 椭圆,33,例7、(1)河南名校2018压轴第二次考试已知椭圆E： 的右焦 点为F，短轴的一个端点为M，直线l：5x12y0交椭圆E于A，B两点若|AF| |BF|6，点M到直线l的距离不小于 ，则椭圆E的离心率的取值范围是(),(2)江苏盐城中学2018考前热身已知 为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上一点，且 则此椭圆离心率的取值范围是_.,考点一 椭圆,34,考点一 椭圆,35,方法4 有关直线与椭圆位置关系的问题,
9、(1)位置关系的判断：直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程 直线与椭圆相交0； 直线与椭圆相切0； 直线与椭圆相离0. (2)当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求，利用弦长公式 (k为直线的斜率)计算弦长；涉及求平行弦中点的轨迹，求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化其中判别式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据,考点一 椭圆,36,例8、已知椭圆C： 试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不 同的点关于直线y4xm对称,考点一 椭
10、圆,37,考点一 椭圆,38,方法5 椭圆的综合问题,1椭圆中的取值范围和最值问题,利用判别式构造不等式，利用椭圆的有界性及变量间的相互关系挖掘题目中存在的隐含条件，计算中应注意应用函数的思想及参变量的范围对最值问题产生的影响.,考点一 椭圆,39,例9、天津201819设椭圆 的右顶点为A，上顶点为B.已知椭 圆的离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)设直线 与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限若BPM的面积是BPQ面积的2倍，求k的值,考点一 椭圆,40,考点一 椭圆,41,2椭圆中的定值、定点、定线问题,从特殊入手，求出定点、定值，再证明定点、定值与变量无关
11、； 直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值 在此类问题中，运用设而不求、整体思想和消元思想可有效地化简运算,考点一 椭圆,42,例10、课标全国201720已知椭圆 中恰有三点在椭圆C上 (1)求C的方程； (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点,考点一 椭圆,43,考点一 椭圆,44,3椭圆中的探索性问题,解决这类问题往往采用“假设反证法”或“假设检验法”，也可先由特殊情况得到所求值，再给出一般性的证明,考点一 椭圆,45,例11、四川201620已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个 端点是直角三角形的三
12、个顶点，直线 与椭圆E有且只有一个公共点T. (1)求椭圆E的方程及点T的坐标； (2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得 并求的值,考点一 椭圆,46,考点一 椭圆,47,考法例析 成就能力,考法1 求椭圆的标准方程,例1、课标全国201310已知椭圆 (ab0)的右焦点为 过 点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为 则E的方程为(),考点一 椭圆,48,考点一 椭圆,49,【答案】D,考点一 椭圆,50,考法2 椭圆定义的应用,例2、辽宁201415已知椭圆 点M与C的焦点不重合若M关于C的 焦点的对称点分别为A，
13、B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.,【答案】12,考点一 椭圆,51,考法3 椭圆的几何性质及其应用,例3、课标全国201812已知F1，F2是椭圆 的左、右焦 点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， F1F2P120，则C的离心率为(),考点一 椭圆,52,考点一 椭圆,53,考点一 椭圆,考点二 双曲线,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,必备知识 全面把握,1双曲线的定义,平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线两定点F1，F2是焦点，两焦点间的距离|F1F2|是焦距，用2c表
14、示，常数用2a表示 (1)若|MF1|MF2|2a，则曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线 (2)若|MF1|MF2|2a，则曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线 (3)若2a2c，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1，F2为端点向外的两条射线 (4)若2a2c时，动点的轨迹不存在 特别地，若a0，则动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,考点二 双曲线,56,2双曲线的标准方程,(1) 它表示焦点F1(c，0)，F2(c，0)在x轴上的双曲线， 且c2a2b2. (2) 它表示焦点F1(0，c)，F2(0，c)在y轴上的双曲线， 且c2a2b2.,考点二 双曲线,57,(1)通过比较两种不同类型
15、的双曲线方程 和 可以看出，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上双曲线方程中a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪个坐标轴上这一点与椭圆的判断方法不同 (2)对于方程Ax2By2C(A，B，C均不为零)，只有当AB0，n0，mn时为椭圆(特别地，当mn0时为圆)；当mn0时为双曲线，而m，n的符号决定了双曲线焦点的位置,考点二 双曲线,58,3双曲线的几何性质,考点二 双曲线,59,考点二 双曲线,60,(1)离心率e的取值范围为(1，).当e越接近于1时，双曲线开口越小；e越接近于时，双曲线开口越大. (2)双曲线的焦
16、点永远在实轴上 (3)双曲线的渐近线方程可以看成是将标准方程中等号右侧的1换成0后得到的两个方程双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且关于x轴、y轴对称,考点二 双曲线,61,4两种特殊的双曲线,(1)等轴双曲线 定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线其方程为x2y2(0) 性质：ab；e ；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项 (2)共轭双曲线 定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线. 性质：它们有共同的渐近线；它们
17、的四个焦点共圆；它们离心率倒数的平方和等于1.,考点二 双曲线,62,5双曲线中的特殊量,(1)双曲线的焦半径 双曲线上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1，或右(上)焦点F2之间的线段长度称作焦半径，分别记作r1|PF1|，r2|PF2|. 若点P在右支上，则 若点P在左支 上，则 若点P在上支上，则 若点P在下支 上，则,考点二 双曲线,63,(2)双曲线的通径 过双曲线的焦点与双曲线实轴所在直线垂直的直线被双曲线截得的线段，称为 双曲线的通径，其长为 (3)双曲线的焦点三角形 设F1，F2为双曲线 的左、右焦点，P为双曲线上异于顶点的点， 则PF1F2为焦点三角形，如图所示,考点二 双
18、曲线,64,考点二 双曲线,65,考点二 双曲线,66,(1)椭圆焦点位置与双曲线焦点位置的判断：判断椭圆的焦点位置是看分母的大小，双曲线的焦点位置由二次项系数的正负来确定 (2)椭圆中a，b，c与双曲线中a，b，c的关系：椭圆中a，b，c的关系是a2b2c2，其中ab，ac；双曲线中a，b，c的关系是c2a2b2，其中ca，cb，a与b之间没有大小要求,考点二 双曲线,67,核心方法 重点突破,双曲线和椭圆一样，都是解析几何的重要部分，双曲线的学习可通过与椭圆的对比去掌握它与直线、圆联系密切，涉及距离公式、弦长问题、面积公式及方程中根与系数的关系等知识，也是高考的重点内容,方法1 求双曲线方
19、程的方法,1定义法,根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： c2a2b2；双曲线上任意一点到双曲线两焦点距离的差的绝对值等于2a.,求轨迹方程时，满足条件：|PF1|PF2|2a(02a|F1F2|)的双曲线为双曲线的一支，应注意合理取舍,考点二 双曲线,68,例1、山东济南2018第二次模拟已知F1，F2分别为双曲线 的左、右焦点， P为双曲线上的一点， PF2与x轴垂直， PF1F230，且虚轴长为 ，则双曲线的标准方程为(),【分析】利用双曲线的定义及虚轴长列方程组即可求出双曲线的标准方程,【答案】D,考点二 双曲线,69,2待定系数法,根据双
20、曲线的某些几何性质求双曲线的方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式，善于利用双曲线的对称性简化作图步骤和减少运算量综上可简记为：“巧设方程立好系，待定系数求a，b；结合图形用性质，避免烦琐用定义”,考点二 双曲线,70,例2、已知双曲线的一条渐近线方程是x2y0，且过点P(4，3)，求双曲线的标准方程,【分析】思路一：已知渐近线方程，即知道a与b的比值，可用a，b中的一个作为未知数表示出双曲线的标准方程，但要判断焦点的位置，才能确定双曲线方程的类型，再由点P在双曲线上，用待定系数法求出该双曲线的方程 思路二：已知渐近线方程可用双曲线系写出标准方程，
21、再把P点的坐标代入方程可求出参数，从而求出双曲线的方程,考点二 双曲线,71,考点二 双曲线,72,考点二 双曲线,73,方法2 双曲线几何性质的应用,1求双曲线的离心率,考点二 双曲线,74,2求双曲线离心率的取值范围,(1)几何法：借助平面几何图形中的不等关系(线段长度、角度、斜率等)，如焦半径 或 三角形中两边之和大于第三边、渐近线等； (2)不等式法：借助题目中给出的不等信息； (3)代数法：借助函数的值域求解范围,3求渐近线,(1)与渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点 (2)双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：,考点二 双曲线,75,例3、已知F1，F2分别是双曲线 的左、右焦点，
22、以线段F1F2为 边作等边三角形MF1F2.若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是(),【答案】D,考点二 双曲线,76,例4、双曲线 的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点 (1，0)到直线l的距离与点(1，0)到直线l的距离之和 求双曲线的离心率e的取值范围,考点二 双曲线,77,方法3 焦点三角形中的常用关系,例5、已知F1，F2是双曲线 的两个焦点，点P在双曲线上，且 |PF1|PF2|32，求证：PF1PF2.,【分析】要证PF1PF2，首先容易想到的方法是证明两直线斜率之积为1，这需要先求出点P的坐标(x0，y0)或x02与y02，但计算相当麻烦，再一个方法是
23、用勾股定理，这需要先求出|PF1|与|PF2|，可以考虑用双曲线的定义解决.,考点二 双曲线,78,例6、证明：等轴双曲线x2y2a2(a0)上任意一点P到它的两个焦点的距离的积等于点P到双曲线中心的距离的平方,【分析】本题证法较多，如利用双曲线的焦半径公式证明或直接用两点间的距离公式求出距离后证明,考点二 双曲线,方法4 双曲线的焦半径公式,79,方法5 直线与双曲线位置关系问题的求解,(1)有关直线与圆锥曲线的位置关系问题、通常转化为一元二次方程的问题来讨论，从而可以利用根与系数之间的关系转化为含有特定系数的方程来求解 (2)当直线与双曲线只有一个公共点时，只讨论二次项系数不为0且判别式等
24、于0是不够的，还应讨论二次项系数等于0的情况，此时得到的斜率k恰好等于双曲线渐近线的斜率，这样的直线l与双曲线相交，但交点只有一个，所以直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件 (3)求解直线与双曲线相交的弦长问题时，常结合“根与系数的关系”，利用弦长公式 (k为直线的斜率)进行求解,考点二 双曲线,80,(1)过定点(定点在双曲线外且不在渐近线上)的直线与双曲线交点个数的问题： 设斜率为k的直线l过定点P(s，t)(t0)，双曲线方程为 过点P与双曲线相切的直线的斜率为k0. 当 时，直线l与双曲线有两个交点，且这两个交点在双曲线的两支上； 当 时，直线l与双曲线只有一个交
25、点； 当 时，直线l与双曲线有两个交点，且这两个交点在双曲线的同一支上；,考点二 双曲线,81,当|k|k0|时，直线l与双曲线只有一个交点； 当|k|k0|时，直线l与双曲线没有交点 (2)过双曲线上点的切线方程 过双曲线C： 上一点Q(x0，y0)的切线方程为 (3)点差法求斜率 若直线AB(不过坐标原点)是双曲线 的不平行于对称 轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则 整理可得,考点二 双曲线,82,例7、若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(),【答案】D,考点二 双曲线,83,例8、已知双曲线 过点A(1，1)是否存在直线l，使l与双曲线交于P，Q
26、两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由,考点二 双曲线,84,考法1 求双曲线的方程,例1、天津20187已知双曲线 (a0，b0)的离心率为2，过右焦点且 垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距 离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为(),考点二 双曲线,考法例析 成就能力,85,考点二 双曲线,86,例2、课标全国20175已知双曲线C： (a0，b0)的一条渐近线方程为 且与椭圆 有公共焦点，则C的方程为(),考点二 双曲线,87,【答案】B,考点二 双曲线,88,考法2 双曲线的定义和性质,例3、课标全
27、国20165已知方程 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(),【答案】A,考点二 双曲线,89,例4、课标全国201715已知双曲线C： (a0，b0)的右顶点为A，以A 为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点 若MAN60，则C的离心率为_,【答案】,考点二 双曲线,90,考法3 有关双曲线的综合问题,例5、北京201814已知椭圆M： (ab0)，双曲线N： 若双曲 线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_,【答案】,考点二 双曲线,91,例6、山东201515
28、平面直角坐标系xOy中，双曲线C1： 的渐 近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则 C1的离心率为_,考点二 双曲线,92,【答案】,考点二 双曲线,考点三 抛物线,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,必备知识 全面把握,1抛物线的定义,平面上到定点F和到定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线 与椭圆和双曲线不同的是，在抛物线中，只有一个焦点和一条准线,(1)定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准
29、线；一个定值，即点M到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1. (2)定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线如：到点F(1，0)和到直线l：xy10的距离相等的点的轨迹方程为xy10，轨迹是一条直线 (3)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可以相互转化，这一转化在解题中有着重要作用,考点三 抛物线,95,2抛物线的标准方程、类型及几何性质,考点三 抛物线,96,考点三 抛物线,97,(1)抛物线的标准方程y22px(p0)或x22py(p0)的特点是等号一边是某变元的平方，等号另一边是另一变元的一次项这个形式与位
30、置特征相对应：当对称轴为x轴时，方程中的一次项就是x的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即开口向着x轴的正方向时，该项取正号，开口向着x轴的负方向时，该项取负号当对称轴为y轴时，方程中的一次项就是y的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向可简记为“对称轴要看一次项，符号决定开口方向” (2)准线与焦点所在的坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距 离都等于一次项系数绝对值的 ，即 .,考点三 抛物线,98,3抛物线的焦点弦,考点三 抛物线,99,考点三 抛物线,100,4抛物线的通径,过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线相交于两点，连接这两 点的线段叫做抛物线的通径对于抛物线y
31、22px(p0)，将 代入y22px 得yp， 这就是抛物线标准方程中2p的一 种几何意义通径是所有焦点弦中最短的弦,考点三 抛物线,101,核心方法 重点突破,方法1 利用抛物线的定义解决有关问题的方法,抛物线是到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹，利用抛物线的定义解决问题时，可以巧妙运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，是解决抛物线焦点弦等有关问题的有效途径 总体来说，利用抛物线的定义可解决如下两类问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线 (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到
32、准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的等价转化,考点三 抛物线,102,例1、福建厦门2018第二次质量检查已知拋物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线与曲线C交于A，B两点，|AB|6，则AB中点到y轴的距离是(),A1B2 C3 D4,【分析】将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，可得|AB|AF|BF|(x11)(x21)6，从而求出中点横坐标，进而可得结果 【解析】由y24x，得F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|等于点A到准线x1的距离x11；同理，|BF|等于点B到准线x1的距离x21.所以|AB| |AF|BF|(x11)(x21)6，得x1x2
33、4，中点横坐标为x0 所以AB中点到y轴的距离是|x0|2，故选B.,【答案】B,考点三 抛物线,103,方法2 求抛物线标准方程的方法,在学习抛物线及其标准方程时，如何利用已知的抛物线方程研究其性质，以及已知某些性质求抛物线的方程是考查的重点主要方法有定义法、待定系数法等 (1)定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程抛物线标准方程有四种形式，要注意选择 (2)待定系数法 对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y22px(p0)和y22px(p0)两种情况求解 焦点在x轴上的抛物线方程可设成y2mx(m0)，若m0，开口向右
34、；若m0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个同理，焦点在y轴上的抛物线的方程可以设成x2my(m0)如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑x轴、y轴两种情况分别设方程,考点三 抛物线,104,例2、求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(3，2)； (2)焦点在直线x2y40上； (3)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值,【分析】(1)(2)根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式；解(3)的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5，列出关于m，
35、p的方程组，再解关于m，p的方程组；其二利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，直接得p的关系式，求出p的值,考点三 抛物线,105,考点三 抛物线,106,考点三 抛物线,107,方法3 抛物线中最值或取值范围的问题,设P(x0，y0)是抛物线y22px(p0)上的动点，则点P到某定点或某定直线的距离的最大(小)值问题，可利用两点间的距离公式或点到直线的距离公式建立距离d关于x0或y0的函数，再求最值，而抛物线的范围则决定了函数的定义域，因此研究最值时要注意抛物线的范围,考点三 抛物线,108,例3、已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的一个动点，又有点A(3，2)，求|PA|PF
36、|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标,【分析】根据已知条件画出草图，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d.由图可知，求|PA|PF|的问题可转化为求|PA|d的问题,考点三 抛物线,109,考点三 抛物线,110,例4、已知斜率为 的直线l与抛物线y22px(p0)交于x轴上方的不同两点A，B， 记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1k2的取值范围是_,【答案】,考点三 抛物线,111,方法4 抛物线的焦点弦的有关性质,抛物线的定义能将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，起到“化斜为直”的作用，使问题变得比较直观且减少运算量因此涉及焦半径、焦点弦问题
37、时应突出数形结合、等价转化等思想方法的运用若直线l过抛物线y22px(p0)的焦点F且交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则焦半径 弦长|AB|x1x2p.另外，通径是最短的焦点弦,(1)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式及有关结论求解，解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是与交点横坐标有关还是与交点纵坐标有关，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键 (2)抛物线的定义在解决点到焦点距离及点到准线距离的问题时经常用到，要学会转化(互化)，见准线联想焦点，见焦点联想准线，许多抛物线问题均可根据定义直接求解,考点三 抛物线,112,
38、例5、过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，求证：以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切,【分析】本题考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，可根据抛物线的定义、直线与圆相切的条件，从几何的角度进行证明 【证明】设M为AB的中点，即圆心如图，过A，B，M分别作准线l的垂线，垂足分别为D，C，N，则由梯形中位线的性质及抛物线的定义，有 即圆心M到准线l的距离等于以AB为直径的圆 的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线 相切,考点三 抛物线,113,方法5 直线与抛物线的位置关系的求解方法,(1)直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切，相离判断方法：把直线方程和抛物线方程联
39、立若得到的是一元二次方程，则 若方程的判别式0，则直线与抛物线相交； 若方程的判别式0，则直线与抛物线相切； 若方程的判别式0, 则直线与抛物线相离若得到的是一元一次方程，则直线与抛物线交于一点，此时直线与抛物线的对称轴平行(或重合) (2)直线与抛物线相交时，常采用根与系数的关系和点差法求解；直线与抛物线相离时，常考查最值问题，利用数形结合法进行求解；直线和抛物线相切时，切线的斜率可以用导数求解 (3)当求解直线与抛物线相交的弦长问题时，利用弦长公式 (k为直线的斜率，k0)进行求解,考点三 抛物线,114,例6、北京201718已知抛物线C：y22px过点P(1，1)过点(0， )作直线l
40、与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点 (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点,考点三 抛物线,115,考点三 抛物线,116,考法例析 成就能力,考法1 抛物线的定义、方程与几何性质,例1、课标全国201716已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.,考点三 抛物线,117,【答案】6,考点三 抛物线,118,例2、江苏201622如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0) (1)若直线
41、l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程 (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. 求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)； 求p的取值范围,考点三 抛物线,119,考点三 抛物线,120,例3、课标全国201816已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_,考法2 抛物线的综合应用,考点三 抛物线,121,【答案】2,考点三 抛物线,122,例4、浙江201721如图，已知抛物线x2y，点 抛物线上 的点P(x，y) 过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|PQ|的最大值,
42、考点三 抛物线,123,考点三 抛物线,124,例5、课标全国201819设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8. (1)求l的方程； (2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.,考点三 抛物线,125,考点三 抛物线,考点四 曲线与方程,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,必备知识 全面把握,1曲线与方程的关系及定义,在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作符合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标
43、的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形),考点 曲线与方程,128,“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说，曲线上所有点的坐标都符合这个方程而毫无例外(纯粹性) “以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性) 如果曲线C的方程是f(x，y)0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是 f(x0，y0)0. 只有满足了上面两个条件，才能称“方程f(x，y)0是曲线C的方程”和“曲线C是方程f(x，y)0的曲线” 求曲线的方程与求点的轨迹是有不同要求的，求“轨迹”时，
44、首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形是什么样的、在何处，即图形的形状、位置、大小都需说明，最后补漏和去掉多余的点，若轨迹有不同的情况，则应分类讨论，以保证它的完整性,考点 曲线与方程,2曲线的交点与方程组的关系,两条曲线有交点的充要条件是这两条曲线的方程组成的方程组有实数解，方程组解的组数，就是两曲线交点的个数；两曲线若无交点，则方程组也必无解 点P0(x0，y0)既在曲线C1：f(x，y)0上，又在曲线C2：g(x，y)0上的充要条件 是点P0的坐标是方程组 的解.,考点 曲线与方程,3曲线的交点与方程组的关系,(1)建立适当的坐标系，用有序实数对例如(x，y)表示曲线上任意一点
45、M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0； (4)化方程f(x，y)0为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点,其中步骤(2)和(5)可以省略因此，求曲线方程的步骤可简化为： （1）建系设标；（2）列式表标；（3）化简求果.如果化简的过程是恒等变形，那么证明的过程往往可以省略，如果不是恒等变形，则应剔除不合条件的点，增添漏掉的点另外，写条件这一步，如果比较简单，或包含在坐标之中，亦可省略,考点 曲线与方程,131,求轨迹时，如果题设条件中未给出坐标，要建立适当的坐标系，选择适当坐标系的原则是“避
46、繁就简”，一般地， 若条件中只出现一个定点，常以该点为坐标原点； 若已知两定点，常以这两定点连线的中点为原点，以两定点的连线所在的直线为x轴建立直角坐标系； 若已知两条互相垂直的直线，常以它们为坐标轴建立直角坐标系； 若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以点到直线的垂线段所在直线为x轴建立直角坐标系； 若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线所在的直线为x轴建立直角坐标系.,考点 曲线与方程,132,核心方法 重点突破,方法1 定义法求轨迹方程,若动点运动的几何条件恰好与某圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程用定义法求解可先确定曲线的类型与方程
47、的具体结构式，再用待定系数法求之,例1、已知B，C是两个定点，|BC|6，且ABC的周长等于16，建立适当的坐标系，求顶点A的轨迹方程,【分析】在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系为选择适当的坐标系，常常需要画出简图如图，由ABC的周长等于16，|BC|6可知，点A到B，C两点的距离的和是常数，即|AB|AC|16610，因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出简图,考点 曲线与方程,133,考点 曲线与方程,134,例2、已知动圆过定点 且与直线 相切，其中p0.求动圆圆心的轨迹方程,考点 曲线与方程,135,方法2 直接法求轨迹方程,直接将动
48、点满足的几何等量关系“翻译”成动点坐标所满足的关系式，得方程f(x，y)0，即为所求动点的轨迹方程，用直接法求解问题，列式容易，但在对等式进行等价变形与化简过程中，应特别留心是否需要讨论,考点 曲线与方程,136,例3、动点P与两定点A(a，0)，B(a，0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线,【分析】本题考查曲线方程的求法，可用直接法,考点 曲线与方程,137,方法3 参数法求轨迹方程,如果动点P(x，y)的坐标x，y之间的关系不易找到，可先考虑将x，y用一个或几个参数表示，再消去参数得轨迹方程，此法称为参数法参数法中常选变角、变斜率等为参数 注意参数的取值范围对方程中的x和y的范围的影响,考点 曲线与方程