2022年不等式性质的应用 .pdf

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1、学习必备欢迎下载不等式性质的应用不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。1不等式性质成立的条件运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。例 1：若0ba，则下列不等关系中不能成立的是（）Aba11Baba11C|baD22

2、ba解：0ba，0ba。由ba11，ba11，（ A）成立。由0ba，|ba，（ C）成立。由0ba，22)()(ba，22ba，（ D）成立。0ba，0ba，0baa，0aba，)(11baa，baa11，（ B）不成立。故应选 B。例 2：判断下列命题是否正确，并说明理由。（1）若0ba，则0ba； （2）若0ba，则0ba；（3）0ba，0ba，则0ba； （4）若0ba，则0ba。分析：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件。解： （1）错误。当0c时不成立。（2）正确。02c且02c，在22cbca两边同乘以2c，不等式方向不变。ba。（3）错

3、误。baba11，成立条件是0ab。（4）错误。ba，bdacdc，当a，b，c，d均为正数时成立。2不等式性质在不等式等价问题中的应用例 3：下列不等式中不等价的是（）（1）2232xx与0432xx（2）138112xxx与82x（3）357354xxx与74x（4）023xx与0)2)(3(xxA （2）B （3）C （4）D （2） （3）解： （1）04322322xxxx。（2）482xx，44, 1138112xxxxxx。（3）47357354xxxx且3x，4774xx。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学

4、习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（4）不等式的解均为23|xx应选 B。3利用不等式性质证明不等式利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的八条性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。例 4：若0ba，0dc，0e，求证：dbecae。分析：本题考查学生对不等式性质的掌握及灵活应用。注意性质的使用条件。解：0dc，0dc，又0ba0dbca，故dbca11。而0e，dbecae4利用不等式性质求范围利用几个不等式的范围来确定某个不

5、等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）” ，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径。例 5：若二次函数)(xf图像关于y轴对称，且2)1(1f，4)2(3f，求)3(f的范围。解：设caxxf2)(（0a） 。cafcaf4)2()1 (3)2() 1(43)1 ()2(ffcffa3) 1(5)2(83)2()1(4)1(3)2(39)3(ffffff

6、caf2)1(1f，4)2(3f，10)1 (55f，32)2(824f，27)1(5)2(814ff，93)1 (5)2(8314ff，即9)3(314f。5利用不等式性质，探求不等式成立的条件不等式的性质是不等式的基础，包括五个性质定理及三个推论，不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化才能正确地加以运用，利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用。例 6：已知三个不等式：0ab；bdac；adbc。以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成_个正确命题。解：对命题作等价变形：0abadbcbdac于是，由0ab，ad

7、bc，可得成立，即；若0ab，0abadbc，则adbc，故；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载若adbc，0abadbc，则0ab，故。可组成 3 个正确命题。例 7：已知ba，bbaa11同时成立，则ab应满足的条件是_。解：ababbabbaa)1)()1()1(，由ba知0)1(abab，从而0)1(abab，0ab或1ab。不等式的证明不等式的证明是高中数学的一个难点，

8、证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。注意abba222的变式应用。常用2222baba(其中Rba,)来解决有关根式不等式的问题。1、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。1 已知 a,b,c均为正数，求证：accbbacba111212121证明： a,b 均为正数，0)(4)(44)()(14141)(2baabbaababbaababbababa同理0)(414141)(2cbbccbcbcb，0)(414141

9、)(2caacacacac三式相加，可得0111212121accbbacbaaccbbacba1112121212、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。2a、b、),0(c，1cba，求证：31222cba证：2222)(1)(3cbacba2222)()(3cbacba0)()()(222222222222accbbacabcabcba3 设a、b、c是互不相等的正数，求证：)(444cbaabccba证： 22442baba22442cbcb22442acac222222444accbbacbacabcbbacbba222222

10、22222同理：abcaccb222222bcabaac222222)(222222cbaabcaccbba4 知 a,b,cR，求证 :)(2222222cbaaccbba名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载证明：)(22222222)(22babababaabab即2)(222baba，两边开平方得)(222222bababa同理可得)(2222cbcb)(2222acac三式

11、相加，得)(2222222cbaaccbba5),0(yx、且1yx，证：9)11)(11(yx。证：)1)(1 ()11)(11(yyxxyxyx)(25)2)(2(yxxyyxxy92256 已知.9111111,babaRba求证：策略 :由于的背后隐含说明1,4121,2baRbaabbaabbaRba.41ab着一个不等式证明：411,abbaRba。.91111.981211111111111baabababbaabbaba而3、分析法分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。7 已知a、b、c为正数，求证：)3(3)2(23ab

12、ccbaabba证： 要证：)3(3)2(23abccbaabba只需证：332abccab即：332abcabc3333abcababcababc成立原不等式成立8),0(cba、且1cba，求证3cba。证：3cba3)(2cba即：2222acbcabbaab2cbbc2caac2即2)()()(222cacbbaacbcab原命题成立4、换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。9，1b，求证：1)1)(1(22baab。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选

13、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载证明： 令sina2kksinb2kk左coscossinsincoscossinsin1)c o s(1)1)(1 (22baab10：122yx，求证：22yx证： 由122yx设cosx，siny2,2)4sin(2sincosyx22yx11 知 abc, 求证：.411cacbba证明： ab0, bc0, ac0 可设 ab=x, bc=y (x, y0) 则 ac= x + y, 原不等式转化为证明yxyx411即证4)11)(yxy

14、x，即证42xyyx2xyyx原不等式成立（当仅x=y 当“ =”成立）12 知 1 x2y2 2，求证：21 x2xyy2 3证明：1 x2y2 2，可设 x = rcos，y = rsin，其中 1 r2 2，02 x2xyy2= r2r2sin2= r2(121sin2)，21 121sin223，21r2 r2(121sin2)23r2，而21r221，23r2 321 x2xyy2 313 已知 x22xyy2 2，求证： | x y |10证明：x22xyy2= (xy)2y2，可设 xy = rcos，y = rsin，其中 0 r2，0 2 | xy | =| xy 2y |

15、= | rcos2rsin| = r|5sin(ractan21)|r51014 解不等式15xx21解：因为22)1()5(xx=6，故可令x5=6sin，1x6cos， 0，2则原不等式化为6sin6cos21所以6sin21+6cos由 0，2知21+6cos0，将上式两边平方并整理，得48 cos2+46cos230 解得 0cos246282所以 x6cos21124724，且 x 1，故原不等式的解集是x|-1x124724. 15： 121xx2证明：1x2 0，1 x 1，故可设 x = cos，其中 0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -

16、 - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载则21xx =2cos1cos= sincos=2sin(4)，4443， 12sin(4)2，即 121xx2增量代换法在对称式 (任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序 (如 abc)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简16a，bR，且 ab = 1，求证： (a2)2(b2)2225证明：a，bR，且 ab = 1，设a =

17、21t，b=21t， (tR) 则(a2)2(b2)2= (21t2)2(21t2)2= (t 25)2(t25)2= 2t2225225 (a2)2(b2)2225利用“ 1”的代换型17.9111, 1,cbacbaRcba求证：且已知策略：做“ 1”的代换。证明：ccbabcbaacbacba111922233cbbccaacbaab. 5、反证法反证法的思路是“假设矛盾肯定” ，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。18 若 p0，q0，p3q3= 2，求证： pq 2证明：反证法假设 pq2，则 (pq)38，即 p3q33pq (pq)8

18、， p3q3= 2， pq (pq)2故 pq (pq)2 = p3q3= (pq)( p2pqq2)，又 p0，q0 pq0， pqp2pqq2，即 (pq)20，矛盾故假设pq2 不成立，pq 219 已知a、b、c（0，1），求证：ba)1(，cb)1(，ac)1(，不能均大于41。证明： 假设ba)1(，cb)1(，ac)1(均大于41)1 (a，b均为正2141)1 (2)1(baba同理2141)1(2)1(cbcb212)1 (ac2121212)1 (2)1 (2)1(accbba2323不正确 假设不成立 原命题正确20 已知 a,b,c （ 0，1） ，求证：（1a）b,

19、（1b）c, （1c）a 不能同时大于41。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载证明：假设三式同时大于410a1 1a0 2141)1(2)1(baba21 a、b、Rc，0cba，0cabcab，0cba，求证：a、b、c均为正数。证明： 反证法：假设a、b、c不均为正数又 0cbaa、b、c两负一正不妨设0a，0b，0c又 0cba0)(bac同乘以)(ba2)()(babac

20、即0)(22babaabbcac，与已知0cabcab矛盾 假设不成立a、b、c均为正数6、放缩法放缩时常用的方法有：1 去或加上一些项2 分子或分母放大（或缩小）3 用函数单调性放缩4 用已知不等式放缩22 已知 a、b、c、d 都是正数，求证：1cbabdcbcadcdbada2证明：dcbabcbabbab，dcbacdcbcdcc，dcbadadcddcd，dcbaabadabaa，将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1cbabdcbcadcdbada223 *Nn，求证：12131211)11(2nnn。证明：) 1(21221kkkkkkk)1( 21221kkkkkkk)1(2

21、)23(2)12(211211nnn12 n)1(2)23(2)12(21211nnn)11(2n判别式法24A、B、C 为ABC的内角，x、y、z为任意实数，求证：Ayzzyxcos2222CxyBxzcos2cos2。证明： 构造函数，判别式法令)cos2cos2cos2()(222CxyBxzAyzzyxxf)cos2()coscos(2222AyzzyCyBzxx为开口向上的抛物线)cos2(4)coscos(4222AyzzyCyBz)cos2coscos2sinsin(42222AyzCByzCyBz)sinsincos(cos2coscos2sinsin42222CBCByzCB

22、yzCyBz名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载sinsin2sinsin42222CByzCyBz0)cossin(42CyBz无论y、z为何值，0Rx0)(xf 命题真构造函数法构造函数法证明不等式24 设 0 a、b、c 2，求证： 4ab2c2abc 2ab2bc2ca证明：视 a 为自变量，构造一次函数)(af= 4ab2c2abc2ab2bc2ca = (bc2b2c4

23、)a(b2c22bc)，由 0 a 2，知)(af表示一条线段又)0(f= b2c22bc = (bc)2 0，)2(f= b2c24b4c8 = (b2)2(c2)2 0，可见上述线段在横轴及其上方，)(af 0，即 4ab2c2abc 2ab2bc2ca构造向量法证明不等式根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系mn |m| |n|，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握25 设 a、b R，且 ab =1，求证： (a2)2(b2)2225证明：构造向量m= (a2，b2)，n= (1，1

24、)设m和n的夹角为，其中 0 |m| =22)2()2(ba，|n| =2，mn= |m| |n|cos=22)2()2(ba2 cos；另一方面，mn= (a2) 1(b2) 1 = ab4 = 5，而 0 |cos| 1，所以22)2()2(ba2 5，从而 (a 2)2(b2)2225构造解析几何模型证明不等式如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决26 设 a0，b0，ab = 1，求证：12a12b 22证明：所证不等式变形为：21212ba

25、 2这可认为是点A(12a12b)到直线xy = 0 的距离但因 (12a)2(12b)2= 4，故点 A 在圆 x2y2= 4 (x0，y0)上如图所示， AD BC，半径 AOAD ，即有：21212ba 2，所以12a12b 22浅谈不等式恒成立问题1 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。y x xy = 0 2 A B D C O 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - -

26、 - - - 学习必备欢迎下载例 1：若不等式2x1m(x2-1)对满足 2m2 的所有 m 都成立，求x 的取值范围。解：原不等式化为(x21)m(2x1)0 记 f(m)= (x21)m(2x1) (2m2) 根据题意有：01)-(2x-1)-2(xf(2)01)-(2x-1)-2(xf(-2)22即：01-2x2x03-2x2x22解之：得 x 的取值范围为231x2712 化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。例2 ： 在R上 定 义 运 算： xy (1 y) 若 不 等 式 (x a)(x a)1对 任 意 实 数x成 立 ，

27、则( ) (A)1a1 (B)0a2 (C)2321a (D) 3122a解：由题意可知(x-a)1-(x+a) 0 对 xR 恒成立记 f(x)=x2-x-a2+a+1 则应满足 (-1)2-4(-a2+a+1)0 化简得4a2-4a-30 对满足 0 x1 的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。解：设 f(x)=x2-2mx+2m+1 本题等价于函数f(x)在 0 x1 上的最小值大于0，求 m 的取值范围。(1)当 m0 时， f(x) 在0,1 上是增函数，因此f(0)是最小值，解012mf(0)0m得21m1 时， f(x)在0,1 上是减函数，因此f(1)是最小值名师归纳总结 精

28、品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解02f ( 1 )1m得 m1综合 (1)(2)(3) 得21m注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3 求解。3 分离参数法在题目中分离出参数，化成af(x) （afmax(x) （aan-1恒成立，求 a0的取值范围。解：依题意：513n+(-1)n-12n+(-1)n2na0513n

29、-1+(-1)n-22n-1+(-1)n-12n-1a0化简，得(-1)n32n-1a0-523n-1+53(-1)n2n-1(1)当 n=2k-1 kN*时 a0152(23)n-1+51设 g1(n)= 152(23)n-1+51g1(n) 在 nN*时且 n=2k-1,kN*时是增函数g1(n) 的最小值为g1(1) 31a0-152(23)n-1+51设 g2(n)=- 152(23)n-1+51g2(n) 在 nN*且 n=2k,kN*时是减函数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

30、 - - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载g2(n) 的最大值为g2(2) 0a00 综上可知 0a00。设 x0(0,)，y=kx+m 是曲线 y=f(x) 在点 (x0，f(x0)处的切线方程并设函数g(x)=kx+m （）用 x0，f(x0)，f(x0)表示 m；（）证明：当x(0,)时， g(x)f(x) （）若关于x 的不等式 x2+1ax+b2332x在0,）上恒成立，其中a、b 为实数。求b 的取值范围及a 与 b 所满足的关系。本题（）应用了此方法。（）解： 0b1，a0 是不等式成立的必要条件。以下讨论设

31、此条件成立。x2+1ax+b 即 x2-ax+(1-b)0 对任意 x 0,)成立的充要条件是a21b)-2(1令(x)=ax+b-2332x，于是 ax+b2332x对任意 x0,)成立的充要条件是(x)0由(x)=a-31x=0 得 x=3a当 0 x3a时，(x) 3a时，(x) 0,所以，当 x3a时，(x) 取最小值。因此，(x)0 成立的充要条件是(3a)0。即 a21(2b)综上，不等式x2+1ax+b2332x对任意 x0,成立的充要条件是21(2b)a122(1-b)显然，存在 a、b 使式成立的充要条件是：不等式21(2b)122(1-b)有解。解不等式得422b422因此

32、，式即为b 的取值范围，式即为实数a 与 b 所满足的关系。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4.数型结合法例 7：如果对任意实数x，不等式kx1x恒成立，则实数k 的取值范围是1k 0解析：画出 y1=1x,y2=kx 的图像，由图可看出0k1例 8：已知 a0且 a1, 当 x(-1 ，1) 时，不等式 x2-ax21恒成立，则a 的取值范围2 , 11 ,21解析：不等式

33、x2-ax x2-21画出 y1= ax,y2= x2-21的图像。由图可看出21a1 或 1 0) 取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则a 的 值为（）A、 3B 、 3C 、 1D 、 1解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线l ： x+ay 0 ， 要 使 目 标 函数z=x+ay (a0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则 将 l 向 右 上 方 平 移 后与 直 线x+y 5重 合 ， 故 a=1 ， 选D五 、 求 非 线 性 目 标 函 数 的 最 值例5、 已 知x、 y满 足 以 下 约 束 条 件22024033

34、0 xyxyxy， 则z=x2+y2的 最 大值 和 最 小 值 分 别 是（）A 、 1 3， 1B 、 1 3， 2C 、 13 ，45D 、13，2 55解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 , x2+ y2是 点 （ x， y） 到 原 点 的 距离 的 平 方 ， 故 最大 值 为 点 A （ 2,3） 到 原 点 的 距 离 的 平 方 ， 即 |AO |2=1 3，最 小 值 为 原 点 到直 线 2x y 2=0 的 距 离 的 平 方 ， 即 为45， 选 C六 、 求 约 束 条 件 中 参 数 的 取 值 范 围例 6、 已 知 |2 x y m | 3 表 示 的 平

35、 面 区 域 包 含 点 （ 0 ,0） 和（ 1,1 ） ， 则m 的x y O O 2x y = 0 y 2x y + 3 = 0 x + y = 5 x y + 5 = 0 O y x x=3 2x + y 6= 0 = 5 xy 3 = 0 O y x A B C M y =2 2x + y - 2= 0 = 5 x 2y + 4 = 0 3x y 3 = 0 O y x A 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载取 值 范 围 是（）A 、 （ -3 ,6 ）B 、 （ 0 ,6）C、 （ 0 ,3 ）D 、 （ -3 ,3）解 ： |2 x y m| 3 等 价 于230230 xymxym由 右 图 可 知3330mm,故0 m 3， 选 C 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -