不等式的性质及应用.pdf

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1、学习必备欢迎下载一.教学内容：3.1 不等关系与不等式3.2 均值不等式二.教学目的1.理解不等号的意义和不等式概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系。理解实数大小与实数运算的关系，会用比差法比较两个实数的大小关系。2.能根据实数的基本性质得出不等式的基本性质，并会证明。会运用不等式的基本性质进行推理和变形。3.探究成立的条件和证明方法，等号成立的条件和几何解释，会用这个基本不等式解决简单问题。4.通过实例学会运用基本不等式求最值的方法。理解用不等式求最值的条件，并能求实际问题的最大值或最小值。三.教学重点、难点重点：（1）用比差法比较两个实数的大小关系；（2）不等式的性质及其应用；（3）

2、理解不等式（4）运用基本不等式和求最值。求最值。的意义，应用这些不等式解决简单问题；难点：不等式的性质及其应用；运用基本不等式四.知识分析（一）不等关系与不等式1.用数学符号“”、“”、“”、“”、“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式。2.数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。3.对于任意两个实数 a 和 b，在4.三种关系中有且只有一种关系成立。这组关系告诉我们比较两个实数的大小，可以通过判断它们的差的符号来确定。学习必备欢迎下载5.若a、bR，则这组关系告诉我们比较两个正实数的大小，可以通过判断它们的商与“1”的大小关系来确定

3、。（二）不等式的性质不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础，证明这些性质必须是严格的，不能盲目地乱用。保证每一步推理都有理论根据，否则可能导致推理错误。1.等式两边同乘以同一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数a（或代数式），结果有三种：（1）当 a0 时，得同向不等式。（2）当 a0 时，得等式。（3）当 a0 时，得异向不等式。2.不 等 式 性 质，有 同 向 不 等 式 相 加，得 同 向 不 等 式，并 无 相 减。若或.这个结论常用，不妨记为：“大数减小数大于小数减大数。”3.不等式性质，有均为正 数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相 除。若，这个结论也常用。不妨记为：“

4、大正数除以小正数大于小正数除以大正数。”4.不等式性质有这个条件，即由5.由不一定成立。事实上（三）均值不等式成立。但。.不能忽略 a、b 均为正数是不一定成立的。不一定成立。反过来也学习必备欢迎下载1.对于任意实数 a，b 都有2.对于任意正实数 a，b 都有，当且仅当 a b 时等号成立。，当且仅当 a b 时等号成立。3.对于任意正实数 a,b 都有4.不等式，当且仅当 a b 时等号成立。的几何解释：如图，AB 是O 的直径，C 是 AB 上任意一点，DE，Rt是过 C 点垂直于 AB 的弦。若 ACa,BC b 则 ABab，O 的半径ACDRtBCD，,。考虑到 CDr。5.设 x

5、，y 是正实数，当且仅当 C 点与 O 点重合时，CDr，即（1）若 xy s（和 s 为定值），则当 x y 时，积 xy 有最大值为；（2）若 xy p（积 p 为定值），则当 x y 时，和 x y 有最小值为 2；6.利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：（1）x，y 必须是正数；（2）求积的最大值时，和必须为定值；求和的最小值时，积必须为定值；（3）重要不等式中的等号必须成立，且等号成立的条件是x y。即：利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值。两次使用重要不等式求最值时，必须使两次等号成立的条件同时成立

6、，否则不可。3.使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法，如可 令：t，此 时。在，上 是 增 函 数；故【典型例题】【典型例题】例 1.已知，试比较的大小学习必备欢迎下载解析：解析：当故当 ab 时，时，故点评：点评：比较法是证明不等式中最基本最重要的方法，其步骤为：作差（或 n 次方作差）变形确定符号得出结论。其中，作差是依据，变形是手段，确定差的符号是目的，至于证题的思路体现了数学中的转化思想。这里，关键的步骤是对差式的变形，常用的变形方法有：配方法、因式分解法及通分等，从而将差变形为常数，或变形为常数与几个平方和的形式，或变形为几个因式积的形式。总之，变形到能确定出差的符号

7、即可。对于不等式两边都是正数的情形，尤其是指数型的问题，也常常用作商法比较，步骤为：作商变形与 1 比较得出结论。例 2.已知解析：解析：，试将下列各数按从大到小的顺序排列。由二次函数性质得学习必备欢迎下载综上可得点评：点评：在已知多个条件判断实数大小时要注意各个条件相互结合起来，一步一步探求问题 的 结 论，如 本 题 可 根 据a的 范 围，取 特 殊 值时，这 时，猜想CABD，然后用比较法证明猜想的正确性，这种从特殊到一般的推理形式是很重要的。例 3.对于实数 a、b、c，有下列命题若若，则，则；若；若。，则，则；若其中真命题的个数是（）A.2B.3C.4D.5解析：解析：c 的正、负

8、或是否为零未知，因而判断ac 与 bc 大小缺乏依据，故该命题是假命题。由，是真命题。故该命题为真命题。，学习必备欢迎下载两边同乘以又故该命题为真命题。由已知条件知：，得。又。故该命题为真命题。综上可知，命题、都是真命题。故选 C。点评：点评：通过本题的练习，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论。在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘（除）以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定。另外，若要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若判断命题是假命题只需举一反例。例 4.证明下列不等式已知若解析：解析：得

9、求证：，求证：，两边同乘以正数。，。故。点评：点评：对于不等式的性质，关键是要正确理解和运用，要弄清每一性质的条件和结论，性质 4 及推论均有较强的条件，在运用时要特别注意。例 5.已知解析：解析：又，求证：学习必备欢迎下载又点评：点评：应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣基本不等式成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则。例 6.已知解析：证法一解析：证法一 令即证法二证法二 对证法三证法三 证法四证法四 要证只要证：只要证：只要证：对于任意对于任意都成立。都成立。，即成立，根据不等式的性质，成立。，探求不等式，对任意也成立。的证明方法。成立。即时有证法五证法五 如图

10、所示 RtABC，C 为直角，O 为斜边 AB 中点，作 CDAB 于 D。学习必备欢迎下载则 RtABCRtBCD，从而令则连接 OC，则点评：点评：本例从五个角度对基本不等式给予证明，证法一是换元法，即借用0，通过换元得证；证法二是综合法，即从，这一事实出发，通过恒等变形得证；证法三是比较法，即通过作差变形、变号得证；证法四是分析法，即通过逐步寻求使不等式成立的充分条件得证，证法五是几何法，即利用直角三角形的平面几何性质获得证明，除此之外，还可探求其三角证法和解析法。例 7.设比较 A、G、H、Q 的大小。解析：解析：。学习必备欢迎下载又点点评评：本题 证明 方法很 多，可 以探 求其 它

11、证明 方法，注意 充分 运用基 本不等 式及其变形。例 8.甲、乙二人沿同一条道路同时从 A 地向 B 地出发，甲用速度 vl与 v2（vlv2）各走一半路程，乙用vl与 v2各走全程所需时间的一半，试判断甲、乙两人谁先到达B 地？证明你的结论。解析：解析：设全程为 2s，则甲走完全程所用时间乙走完全程所用时间为t2，则又，即即所以，乙先到达 B 地。点评：点评：从实际问题中抽象出数学表达式，再用基本不等式比较大小，也可以作差比较大小，即由得例 9.已知，求函数的最大值。学习必备欢迎下载解析：解法一解析：解法一 当且仅当，即时，等号成立。时，函数取最大值解法二解法二 当且仅当，即时，等号成立。

12、当时，y 取最大值为。点评：点评：如果一个函数的解析式可看成关于自变量的两个式子的积的形式，并且通过变形能够满足“一正、二定、三相等”条件则可用基本不等式求其最大值，解题的关键是构造和为定值这个条件，本题可用二次函数求最值，即，当例 10.已知解析：解法一解析：解法一，且。，求的最小值。当且仅当又当 x4，y12 时，即时，取等号。取最小值 16。学习必备欢迎下载解法二解法二 由得当且仅当，即 y12 时，取等号，此时，x4，当 x4，y12 时，xy 取最小值 16。解法三 由，得当且仅当 x1y9 时取等号。又当时，取最小值 16。点评：点评：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对

13、式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察学会变形。另外解法二，通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围的影响。例 11.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。（l）现有可围 36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为 24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？学习必备欢迎下载解析：解析：（1）设每间虎笼长 x m，宽为 y m，则由条件知：4x6y36，即 2x3y18。设每间虎

14、笼面积为 S，则 Sxy。解法一解法一 由于即，得，当且仅当时，等号成立。，由，解得。故每间虎笼长为 4.5m，宽为 3m 时，可使面积最大。解法二解法二 由。，得当且仅当，即时，等号成立，此时故每间虎笼长 4.5m，宽 3m 时，可使面积最大。（2）由条件知设钢筋网总长为 l，则解法一解法一 当且仅当时，等号成立。由，解得故每间虎笼长 6m，宽 4m 时，可使钢筋网总长最小。解法二解法二 由当且仅当y，即 y4 时，等号成立，此时 x6。故每间虎笼长 6m，宽 4m 时，可使钢筋网总长最小。学习必备欢迎下载点评：点评：在使用极值定理，求函数的最大值或最小值时要注意：x,y 都是正数；积 xy

15、（或和 xy）为定值；x 与 y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论。【模拟试题】【模拟试题】1.A.ab0B.ab0aD.a0b2.若 a0 且 a1，pA.pqB.pqC.pqD.pq3.已知 1x lgx2 lglgx B.lglgx lgx2 lg2xC.lgx2 lg2x lglgxD.lg2x lglgx lgx24.设 ba0，且 ab1，则此四个数，2ab，a2b2，b 中最大的是（）（），则 p、q 的大小关系是（）A.bB.a2b2C.2abD.5.ab 没有最大值的条件是（）A.a2b2为定值B.a，bR，且 ab 为定值C.a，b*6.当 x，且 ab 为定值D.abb 且_，则 a2b2;2)若 a2b2且_，则 ab0 且_，则8.当 x1 时，函数 y9x9.若 lgxlgy2，则的最小值为_;的最小值为_;10.函数的最大值为_。11.已知 a2，求证：loga(a1)loga(a1)0（2）abx0 或 x0y8.339.11.10.12.均为正数，13.提示 1：应用左边;提示 2：应用同理14.当即 x0 时等号成立，三式相加即可，