2022年不等式性质的应用.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载 不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据；教材中列举了不等式的性质,由这些性质是可以连续推导出其它有关性质；教材 中所列举的性质是最基本、最重要的,对此,不仅要把握性质的内容,仍要把握性质的证明方法,懂得把握性质成立的条件,把握性质之间 的关联；只有懂得好,才能坚固记忆及正确运用；1不等式性质成立的条件运用不等式的基本性质解答不等式问题,要留意不等式成立的条件,否就将会显现一些错误；对表达不等式性质的各不等式,要留意“ 箭头” 是单向的仍是双向的,也就是说每条性质是

2、否具有可逆性；例 1：如ab0,就以下不等关系中不能成立的是（）b2A1 aa1bBa0,1b a1bC|a|b|Da2ba0；解：由1 a1,11,（ A ）成立；bab,由ab0,|a|b|,（ C）成立；由ab0,a2b2,a2b2,（ D）成立；ab0,ab0,aab0,aba011b,1a1b,（ B）不成立；aaa故应选 B；例 2：判定以下命题是否正确,并说明理由；（1）如abb00,就ab0；（2）如ab0,就ab0；b0；（3）a,ab0,就ab0；（ 4）如ab0,就a分析：解决这类问题,主要是依据不等式的性质判定,其实质就是看是否满意性质所需要的条件；解：（1）错误；当c

3、0时不成立；ab；（2）正确；c20且c20,在ab两边同乘以c2,不等式方向不变；c2c2（3）错误；ab,c1d1,成立条件是ab0；ab（4）错误；abacbd,当 a , b , c , d 均为正数时成立；2不等式性质在不等式等价问题中的应用例 3：以下不等式中不等价的是（）,4x7,1xx47x4； 第 1 页,共 14 页 （1）x23x22与x23x40（2）2xx118x31与2x8（3）4xx537x53与4x7（4）x30与x3 2x02xA（2）B（3）C（4）D（ 2）（ 3）解：（1）x23x22x23x40；（2）2 x8x4,2xx118x31（3）4xx537

4、x53x7且x3x；44细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（4）不等式的解均为x|3x2 学习必备欢迎下载应选 B；3利用不等式性质证明不等式 利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式；解决此类问题肯定要在懂得的基础上,记准、记熟不等式的八条性质并留意在解题中 敏捷精确地加以应用；例 4：如ab0,cd0,e0,求证：aecbed；分析：此题考查同学对不等式性质的把握及敏捷应用；留意性质的使用条件；解：cda0,0ca

5、dc0,又a；b0acbdc,故11dbee而e0,db4利用不等式性质求范畴 利用几个不等式的范畴来确定某个不等式的范畴是一类常见的综合问题,对于这类问题要留意：“ 同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）” ,这种转化不是等价变形,在一个解题过程中多次使用这种转化时,就有可能扩大真实的取值范畴,解题时务必当心谨慎,先建立待求范畴的整体与已知范畴的整体的等量关系,最终通过“ 一次性不等关系的运算,求得待求的范畴”f 3,是防止犯错误的一条途径；例 5：如二次函数fx图像关于 y 轴对称,且1f 1 2,3f24,求的范畴；解：设fx ax2c（a0）；f1 acaf2 3f1 f 2 4 a

6、cc4f 13f2 f3 9ac3f2 3f 1 4f 1 3f28f2 35f11f 1 2,3f24,55f1 10,248f2 32,148f25f 1 27,148f235f1 9,3即14f39；35利用不等式性质,探求不等式成立的条件 不等式的性质是不等式的基础,包括五个性质定理及三个推论,不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据,只有正确地懂得每 条性质的条件和结论,留意条件的变化才能正确地加以运用,利用不等式的性质,寻求命题成立的条件是不等式性质的敏捷运用；例 6：已知三个不等式：ab0；cd；bcad；以其中两个作条件,余下一个作结论,就可组成_个正ab确命题；解：对命题

7、作等价变形：cdbcad0； 第 2 页,共 14 页 abab于是,由ab0,bcad,可得成立,即如ab0,bcad0,就bcad,故；ab细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如bcad,bcad0,就学习必备欢迎下载ab0,故；ab可组成 3 个正确命题；b1同时成立,就 ab 应满意的条件是_；例 7：已知ab,a1ab解：a1b1abab1 ,由ab知ab1 0,abab0abab从而abab1 0,或ab1；不

8、等式的证明不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考显现较为形式较为活跃,证明中常常需与函数、数列的学问综合应用,敏捷的把握运用各种方法是学好这部分学问的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举；留意a2b22ab的变式应用；常用a22b 2a2b其中a,bR来解决有关根式不等式的问题；1、比较法比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径；1 已知 a,b,c均为正数,求证：111111c14abaab 202a2 b2 cabbca证明： a,b 均为正数,111babaab 4a4 bab0,14abab c4 abbbc 2a2同理11b

9、1c1104b4c4 bcbc4 c4aca4ac ac三式相加,可得11111102a2b2 cabbcca111a1b12a2b2 cbcca2、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论；2a、 b、c0 ,abc1,求证：a2b2c21bc2b42 a22 b22 c22 ab22 bc2 ca3证：3a2b2c21abc23 a2b2c2aab 2bc 2ca20abcabc2a4c4a2b2b2c2ca23 设a 、 b 、 c 是互不相等的正数,求证：a4b4c4证： a4b42a2b2b4c42b2c2c4a42c2a2a2b

10、2b22 c2a2b2b2c22 2 abc同理：b2c2c2a2bc2ac2a2a2b22ca2ba2b2b2c2c2a2abcabca22abc 第 3 页,共 14 页 4 知 a,b,cR ,求证 :a2b2b2c2c2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -5证明：2 a2 b2 ab2 2 a2 b 2 a学习必备欢迎下载91.2189.2 ab2 bab 2即2 a2 ba2b 2,两边开平方得a2b22ab2a

11、b 222ca 三式相加,得同理可得2 bc22bc2 ca222a2b2b2c22 ca22abcx、y0 ,且xy1,证： 11119；xy2y2x52yx522证： 11111xxy 1xyyxyxyxy6 已知a,bR,ab1求证：11111 9.ab策略 :由于a ,bR,ab1ab1说明a ,baba2b2R,ab1 的背后隐含着一个不等式ab44证明：a,bR,ab1ab1；而111111111ab11abababababab11119.4ab3、分析法分析法的思路是“ 执果索因”：从求证的不等式动身,探究使结论成立的充分条件,直至已成立的不等式；ac 2原命题成立7 已知a 、

12、b、 c 为正数,求证：2 a2bab3abc3 abc3证： 要证：2a2bab3 abc3 abc只需证：2abc33abc3即：c2ab33abccabab3 3cabab33abc成立原不等式成立8a、b、c0,且abc1,求证abc3；证：abc3abc23即：2ab2bc2ac22abab2bcbc2acac即2ab2bc2acab bc4、换元法换元法实质上就是变量代换法,即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换,以达到化难为易的目的；9,b1,求证：ab 1a2 1b21； 第 4 页,共 14 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -

13、- - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载rb21证明： 令asink2kbsink2k左sinsincoscossinsincoscosc o s 1ab1a2 110：x2y21,求证：2xy214证： 由x2y21设xcos,ysinxycossin2sin42,22xy211 知 abc, 求证：a1bb1ca4c.证明： a b0, b c0, ac0 可设 ab=x, bc=y x, y0 就 a c= x + y, 原不等式转化为证明1xyxy即证xy 114,即证2x

14、y4xy2原不等式成立（当仅x=y 当“=” 成立）xyyxyx2 12,3r212 知 1x2y22,求证：1x2 xy y232证明：1x2 y2 2,可设 x = rcos, y = rsin,其中 1r2 2,0 2x2 xy y2 = r2 r2 sin 2= r2 11sin 21 ,211sin 2321,2r2 r2 11sin23 2r2 ,而12222231x2 xy y2 3213 已知 x2 2xy y2 2,求证： | x y | 10 证明：x22xy y2= xy2y2,可设 x y = rcos, y = rsin,其中 0r 2 , 0 2| xy | =|

15、x y 2y | = | rcos 2rsin| = r|5 sin ractan1|5r 10 214 解不等式5xx11. 2解：由于5x2x1 2=6,故可令5x=6sin,x16cos, 0,2就原不等式化为6sin6cos1 所以 26sin1+6cos2由 0,2知1+6cos 0,将上式两边平方并整理,得2 48 cos+46cos230 2解得 0cos2826所以 x 6cos2 1241247,且 x 1,故原不等式的解集是x|-1x2412472415： 112 xx 2 第 5 页,共 14 页 证明：1 x20,1x1,故可设 x = cos,其中 0细心整理归纳 精

16、选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -就1x2x =12 cos cos= sin2学习必备欢迎下载,4434, cos=2 sin41 2 sin4 2 ,即 11xx 2 增量代换法在对称式 任意互换两个字母,代数式不变 和给定字母次序 如 a bc的不等式,常用增量进行代换,代换的目的是削减变量的个数,使要证的结论更清楚,思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简16a, bR,且 ab = 1,求证： a 22 b 22 252R

17、 2 = 2t2 2525229. 证明：a,bR,且 a b = 1,设 a =1t,b=1t, t22就a 22 b 22 = 1 t22 1 t22 = t 52 t 522222a22 b 22 252利用“1” 的代换型已知 17a ,b ,cR,且abc,11 求证：a119 .bc策略：做“1” 的代换；322证明：111abcabcabc3bacacbabcabcabacbc5、反证法反证法的思路是“ 假设 冲突 确定” ,采纳反证法时,应从与结论相反的假设动身,推出冲突的过程中,每一步推理必需是正确的；3 318 如 p 0,q0,p q = 2,求证： pq2证明：反证法假

18、设 pq2,就 pq 3 8,即 p 3 q 3 3pq pq8,p 3 q 3 = 2,pq pq 2故 pq pq 2 = p 3 q 3 = p q p 2 pqq 2 ,又 p0,q 0 p q 0,pqp 2 pq q 2 ,即 pq 2 0,冲突故假设 p q 2 不成立,p q2119 已知 a、b、c（0,1）,求证： 1 a b, 1 b c, 1 c a,不能均大于 4；1 1 a b1 a b 1 1证明： 假设 1 a b, 1 b c, 1 c a 均大于 41 a , b 均为正2 4 2 1 b c 1 b c 1 1 1 c a 1 1 a b 1 b c 1

19、c a 1 1 1同理 2 4 2 2 22 2 2 2 2 23 32 2 不正确 假设不成立 原命题正确20 已知 a,b,c （ 0,1）,求证：（1a） b, （ 1 b）c, （ 1 c）a 不能同时大于 1 ；4细心整理归纳 精选学习资料 第 6 页,共 14 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -21 学习必备欢迎下载1bab2即证明：假设三式同时大于1 0 a1 1a 0 41ab1ab1242a 、 b 、cR,abc0,abbc

20、ca0,abc0,求证： a 、 b 、 c 均为正数；ac证明： 反证法：假设 a 、 b 、 c 不均为正数又 abc0a 、 b 、 c 两负一正ca不妨设a0,b0,c0又 abc0cab 0同乘以abbcaba2abb20,与已知abbcca0冲突 假设不成立 a 、 b 、 c 均为正数6、放缩法放缩常常用的方法有：1 去或加上一些项2 分子或分母放大（或缩小）3 用函数单调性放缩4 用已知不等式放缩k 12 n122 已知 a、b、 c、d 都是正数,求证：1abcbcdcdadab2bcda证明：abbcdabcabb,abccdbcdccd,bcabdcdcdacdd,aba

21、cddabaab,dadab 2将上述四个同向不等式两边分别相加,得：1abcbcdcdabcda23 nN*,求证：2n11 11112n1；23n2k12k1证明：1k2kk2k12 kk11k2kkkk1111221 2322nn12n111221 2322 n1n2n2 n1 判别式法24A、B、 C 为ABC 的内角, x 、y、 z 为任意实数,求证：x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC；证明： 构造函数,判别式法令fx x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosCcosBcosC2yzcosAx22xzcosBycosCy2z22yzcosA为开口向上

22、的抛物线4 zcosBycos C24 y2z22yzcosA4z2sin2By2sin2C2yz4 z2sin2By2sin2C2yzcosBcosC2yz cosBcosCsinBsinC 第 7 页,共 14 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4 z2sin2By2sin2C2yzsinBsinC0学习必备欢迎下载C204 zsinBycos无论y、 z 为何值,0xRfx 命题真构造函数法构造函数法证明不等式

23、 24 设 0a、b、 c2,求证： 4a b 2 c 2 abc2ab2bc2ca证明：视 a 为自变量,构造一次函数 f a = 4a b 2 c 2 abc 2ab 2bc 2ca = bc 2b 2c 4a b 2 c 2 2bc,由 0a2,知f a 表示一条线段又 f 0 = b 2 c 2 2bc = b c 2 0,f 2 = b 2 c 2 4b 4c 8 = b 2 2 c 2 2 0,可见上述线段在横轴及其上方,f a 0,即 4ab 2 c 2 abc2ab2bc 2ca构造向量法证明不等式 依据已知条件与欲证不等式结构,将其转化为向量形式,利用向量数量积及不等式关系

24、m n |m | |n |,就能防止复杂的凑配技巧,使解题过程简化应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式,思路清楚,易于把握25 设 a、bR,且 ab =1,求证： a 22 b22 2522 22 cos；2 证明：构造向量 m = a2, b2, n = 1, 1设 m 和 n 的夹角为,其中 0|m | = a2 2 b2 2, |n | =2 ,m n = | m | | n |cos=a2 2 bD O C 另一方面, m n = a 2 1b 2 1 = ab4 = 5,而 0|cos|1,y B 所以a2 2 b2 22 5,从而 a 22 b22 252A 构造解析几何

25、模型证明不等式x 假如不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系,就可依据已知式的结构挖掘出它的几xy = 0 何背景,通过构造解析几何模型,化数为形,利用数学模型的直观性,将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决26 设 a0,b0, ab = 1,求证：2a 12b 12 2 2 a 1 2 b 1证明：所证不等式变形为：2这可认为是点 A 2a 1 2b 1 到直线 x y = 0 的距离22 2 2 2但因 2a 1 2b 1 = 4,故点 A 在圆 xy = 4 x 0,y0上如下列图, AD BC,半径 AO AD ,即有：2 a 1 2 b 12,所以 2a 12b 12 2

26、2浅谈不等式恒成立问题1 转换主元法确定题目中的主元,化归成初等函数求解；此方法通常化为一次函数；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载例 1： 如不等式 2x1mx 2-1 对满意 2 m 2 的全部 m 都成立,求 x 的取值范畴；解：原不等式化为 x 21m2x 10 记 fm= x 2 1m 2x1 2 m 2 2f-2-2x-1-2x-1 0依据题意有：2f2 2x-1-

27、2x-1 022x 2x-3 0即：22x 2x-1 0解之：得 x 的取值范畴为 1 7 x 1 32 22 化归二次函数法依据题目要求,构造二次函数；结合二次函数实根分布等相关学问,求出参数取值范畴；例2 ： 在R上 定 义 运 算： xy 1 y 如 不 等 式 x ax a1对 任 意 实 数x成 立 , 就 3 2 D 3a1A 1a1 B0a2 C1a222解：由题意可知x-a1-x+a 0 对 xR 恒成立记 fx=x2-x-a2+a+1 就应满意 -12-4-a2+a+10 化简得4a2-4a-30 对满意 0x解：设 fx=x2-2mx+2m+1 此题等价于函数fx 在 0x1 上的最小值大于0,求 m 的取值范畴； 第 9 页,共 14 页 - - - - - - - - - 1当 m0 时, fx 在