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1、优秀学习资料欢迎下载CEODBA三角形全等【知识要点】1两个能够重合的三角形叫做全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等2全等三角形的判定方法有（1）SAS；(2)ASA ；(3)AAS ；(4)SSS （ 5）HL3两个三角形的两边和一角对应相等，或两个三角形的三个角对应相等，这两个三角形不一定全等【复习指导】1应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）； （4）对顶角是对应角； （5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边
2、（角）全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若ABC DEF ，说明 A 与 D，B 与 E，C 与 F 是对应点，则ABC 与 DEF 是对应角，边AC 与边 DF 是对应边2判定两个三角形全等的解题思路：找夹角 SAS 已知两边找另一边 SSS边为角的对边 找任一角 AAS找夹角的另一边 SAS已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角 ASA 找边的对角 AAS找夹边 ASA已知两角找任一边 AAS3运用三角形全等可以证明两线段或两角相等，在直接找不到两个全等三角形时，可考虑添加辅助线构造全等三角形【思想方法】1转化思想：应用全等三角形的知识解决测河宽、测池塘宽、测工件内
3、径等实际问题就是转化思想的运用2运动变化思想：在研究三角形全等时，经常会出现三角形按照某种特定的规律变化，需要运用运动变化的思想进行解决3构造图形法：在直接找不到两个全等三角形时，常常通过平移、对称、旋转等图形变换的方法构造全等三角形4分析综合法：从已知条件出发探索解题途径的方法叫综合法；从结论出发不断寻找使结论成立的条件与已知条件关系的方法叫分析法；两头凑的方法就是综合运用分析综合法去寻找证题的一种方法【证明三角形全等】三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法。（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来
4、看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等例 1 已知：如图1，CEAB 于点 E，BD AC 于点 D，BD、CE 交于点 O，且 AO 平分 BAC 那么图中全等的三角形有_对名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载21CEDBA2143COBAGABFDEC（2）条件不足，会增加条件
5、用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案例 2 如图 2，已知 AB=AD ， 1=2，要使 ABC ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等例 3 已知：如图3，AB=AC ， 1=2求证： AO 平分 BAC （4）条件中没有现成的全
6、等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形例 4 已知：如图4，在 RtABC 中， ACB=90 o，AC=BC ， D 为 BC 的中点， CEAD 于 E，交 AB 于 F，连接 DF求证： ADC= BDF说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法
7、新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视例 5 要在湖的两岸A、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A，B 两点间的距离请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案(1) 画出测量图案(2) 写出测量步骤（测量数据用字母表示）图 5 (3) 计算 A、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -
8、- - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载【三角形全等的应用】（1）证明线段（或角）相等例 1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证： BF=FC （2）证明线段平行例 2：已知：如图，DEAC，BFAC ，垂足分别为E、 F，DE=BF ，AF=CE. 求证： AB CD （3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例 3：如图，在ABC 中，AB=AC ，延长 AB 到 D，使 BD=AB ，取 AB 的中点 E，连接 CD 和 CE. 求证： CD=2CE (4)证明线段相互垂直例 4：已知：如图，A、D
9、、B 三点在同一条直线上，ADC 、BDO 为等腰三角形，AO、BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载DCBAEDFCBA【全等三角形辅助线的做法】常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一” 的性质解题， 思维模式是全等变换中的“对折”2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，
10、构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解
11、答一、倍长中线（线段）造全等例 1、已知，如图ABC中， AB=5 ，AC=3 ，则中线AD的取值范围是 _. 例 2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB 、AC上， DE DF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . 答： BE+CF FP=EF 证明：延长ED至 P ，使 DP=DE ，连接 FP，D是 BC的中点，BD=CD ，在 BDE和 CDP中， DP=DE EDB= CDP BD=CD BDE CDP （SAS ） ，BE=CP ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -
12、- - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载EDCBAPQCBADE DF，DE=DP ，EF=FP ， （垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）在 CFP中， CP+CF=BE+CFFP=EF 例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. 延长 AE到 M ，使 EM=AE ，连结 DM 易证 DEM CEA C=MDE, DM=AC 又 BD=DC=AC DM=BD, ADC= CAD 又 ADB= C+CAD ADM= MDE+ ADC ADM= ADB ADM ADB
13、BAD= MAD 即 AD平分BAE EDCBA二、截长补短1、如图，中，AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC 延长 AC 至 E,使 CE=AC, 则 AB=AE, 连结 DE 又 AD 平分 BAC,AD=AD, ABD AED=ED=BD=ED=AD 又 CE=AC,DC=DC ECD ACD= ACD= ECD 又ACD+ ECD=180o ACD=90o=CDAD2、如图， AC BD ，EA,EB分别平分 CAB,DBA ， CD过点 E，求证 ;AB AC+BD 3、 如图，已知在ABC内，060BAC，040C， P， Q分别在 BC ， CA上
14、，并且 AP ， BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 证明：延长AB到 D ，使 BD=BP ，连接 PD 则 D=5AP ，BQ分别是 BAC ， ABC的平分线，BAC=60 ， ACB=40 ， 1=2=30， ABC=180 -60 -40 =80，CDBA名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载DCBA3=4=40 =CQB=QC ，又 D+
15、5= 3+4=80， D=40在 APD与 APC中，AP=AP ，1=2， D=C=40 APD APC （AAS ） ，AD=AC 即 AB+BD=AQ+QC，AB+BP=BQ+AQ4、如图，在四边形ABCD 中， BC BA,AD CD ，BD平分ABC，求证：0180CA证明：过点D 分别作 AB 、BC 边上的垂线，垂足分别是E、F BCBA 点 E 在 AB 上，而点 F 在 BC 的延长线上DB 平分 ABC DE=DF 在 RtAED 和 RtDCF 中DA=DC DE=DF RtAED RtDCF ADE= CDF A+BCD= A+(F+CDF)= A+ADF+90 =90
16、 +90 =180 A+C=180 三、平移变换例 1 AD 为 ABC的角平分线，直线MN AD于 A.E 为 MN上一点， ABC周长记为AP， EBC周长记为BP. 求证BPAP. 延长 BA，取点 F 且 AF=AC ，连接 EF（F 为 C 点以 MN 为中心轴的对称点）角 FAE 角 NAB 90 度-BAD 90 度-角 CAD 角 CAE ACAF，AE AE 三角形 ACE 全等三角形 AFE 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页
17、，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载OEDCBACE=EF BE，EF，BF 为三角形 BEF 三边BEEFBF BE+CEAB+AF BE+CEAB+AC BC+BE+CEBC+AB+AC 三角形 ABC 周长 X=BC+AB+AC,三角形 EBC 周长 Y=BC+BE+CE 所以 YX例 2 如图，在 ABC的边上取两点D、E ，且 BD=CE ，求证： AB+ACAD+AE. 证明：连接AF并延长至G，使 FG=AF ，其中 F是 BC的中点，连接GB ， GC ， GD ，GE ，BD=CE ，DF=EF ，四边形ABGC ，四边形ADGE 是平行四
18、边形，BG=AC ，DG=AE ，延长 AD至 H，交 BG于 H，AB+BH AD+DH ，DH+HG DG ，AB+BH+DH+HGAD+DH+DG，AB+BG AD+DG ，即 AB+AC AD+AE 四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点O ，求证： OE=OD 证明： B=60o BAC+ ACB=120oAD 平分 BAC，CE 平分 ACD COD= CAD+ ACE=? BAC+? ACD=60o B=COD B,D,O,E 四点共圆连接 OB，则 OB 平分 ABC 【三角形三内角平分线交于一点】OE=OD 在 AC
19、上截取 AF=AE ，连接 OF 又 EAO= FAO ，AO=AO AEO AFO （SAS ）AF=AE=OD EDCBA名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载又 DCO= FCO ，CO=CO DCO FCO （SAS ）CF=CD AE+CD=AF+CF=AF 2、如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC，DE AB于 E， DFAC于 F. （1）
20、说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 . (1)证明 :连接 DB,DC. DG 垂直平分 BC,则 DB=DC; DE 垂直 AB,DF 垂直 AC,AD 平分角 BAC, 则 DE=DF. 故 RtDEB RtDFC(HL), 得:BE=CF. (2)解:DE=DF( 已证 );AD=AD. 则 RtAED RtAFD(HL),AE=AF. 故 AB+AC=(AE+BE)+(AF-CF)=AE+AF=2AE,即 a+b=2AE,AE=(a+b)/2; AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=(AE+BE)-(AE-CF)=2BE,a-b=2BE,
21、BE=(a-b)/2.【基础练习】判断题1. 两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形( ) 2. 有三个角对应相等的两个三角形全等 ( ) 单选题1. 已知：如图 , BAC= EDF , C=F , 要使 ABC DEF , 所缺条件是 A.B=E B.1= 2 C.AC=DF D.C=F 2. 已知：如图 , AC=CD , B=E=90 , AC CD , 则不正确的结论是 A.A与 D互为余角 B.A=2 C.ABC CED D.1= 2 EDGFCBA名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料
22、 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载3. 下列条件：已知两腰;已知底边和顶角;已知顶角与底角; 已知底边和底边上的高 , 能确定一个等腰三角形的是 A.和 B.和 C.和 D.和填空题4. 如图 , 已知： 1=2 , 3=4 , 要证 BD=CD , 需先证 AEB A EC , 根据是 _再证 BDE _ , 根据是 _5. 已知：如图 , ACBC于 C , DEAC于 E , ADAB于 A , BC=AE 若 AB=5 , 则 AD=_证明题6. 已知：如图 , 四边形 ABC
23、D 中 , AB CD , AD BC求证： ABD CDB 7. 如图 , 已知 :ADBC,AD=BC 求证 :ABCD 8. 如图 , 已知 :AC=DF,ACFD,AE=DB,求证 : ABC DEF 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载GFHADCEB【综合测试】一、选择题1、如图， ABC BAD ，点 A点 B，点 C和点 D是对应点。如果 AB=6厘米， BD=
24、5厘米， AD=4厘米，那么BC的长是（） 。 (A)4 厘米 (B)5厘米 (C) 6 厘米 (D)无法确定2、如图， ABN ACM ，AB=AC ，BN=CM ， B=50， ANC=120 ，则 MAC 的度数等于（）A120 B.70 C.60 D.50. 3. 使两个直角三角形全等的条件是（）. 一锐角对应相等. 两锐角对应相等.一条边对应相等. 两条边对应相等4. 在 BC和 ABC中，已知A=A， AB=A B，在下面判断中错误的是（）A. 若添加条件AC=A C，则 ABC ABCB. 若添加条件BC=B C，则 ABC ABCC. 若添加条件 B=B，则 ABC ABCD.
25、 若添加条件 C=C ，则 ABC ABC5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A带去B带去C带去D都带去6将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BCBD，为折痕，则CBD的度数为（）A60B75C90D957. 下列说法中不正确的是（）A. 全等三角形一定能重合B.全等三角形的面积相等C.全等三角形的周长相等D.周长相等的两个三角形全等8 （2004山东潍坊市）如图,已知 ABC 的六个元素 , 则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是（） A甲和乙乙和丙只有乙只有丙A99. 根据图中所给条件 , 判定 _这两个三角形
26、全等（）A.和 B.和 C.和 D.和10. 如右图所示， 已知 ABC和 BDE都是等边三角形。则下列结论： AE=CD ；BF=BG ；HB平分 AHD ； AHC=600, BFG是等边三角形； FGAD 。其中正确的有（）D C A B B C D 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载ABCDA B D C A 3 个 B 4个 C 5个 D 6个二填空题11如图示，
27、 AC ，BD相交于点O， AOB COD ， A=C，则其它对应角分别为_，对应边分别为_. 12如图示，ABC中， C90， AD平分 BAC ，AB 5，CD 2，则 ABD的面积是 _；13. 如图示 ,点 B 在 AE 上, CBE= DBE,要使 ABC ABD, 还需添加一个条件是_. （填上你认为适当的一个条件即可）14如图 5，BDAC于 O，BO=OD ，图中共有全等三角形对。15. 如右图示 , 正方形 ABCD中,E、F 分别在 AB 、BC上， AC 、BD交于 O点且 AC BD,EOF 90o, 已知 AE 3,CF4, 则 SBEF为 . 16. 如右图示， A
28、D是 ABC中 BC边上的中线，若AB=2 ，AC=4，则 AD的取值范围是17.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是_.18. 如图 10，E点为 ABC的边 AC中点， CN AB ，过 E点作直线交 AB与 M点，交 CN于 N点，若 MB=6cm ， CN=4cm ，则 AB=_. 19.如图示，直线AEBD，点 C 在 BD 上，若 AE4，BD8， ABD 的面积为16，则ACE的面积为 _ 20如右图示，ABE 和 ADC 是ABC 分别沿着 AB，AC 边翻折 180 形成的，若 1 2 3=2853，则 的度数为（）A80
29、B100C 60D45三、证明题21. 如图示，已知AB=AC ，BD=DC ，图中有相等的角吗？请找出来，并说明理由。22、如图：在ABC中，点 D，E在 BC上，且 AD=AE ， BD=CE ， ADE= AED ，求证： AB=AC. 图 5 A D C B 第 12 题图A D B C O 第 11 题图EDCBA第 13 题图A B C D E A D C B 第 19 题图E 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 -
30、- - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载23. 已知：如图，CE AB ，BFAC ，CE与 BF相交于 D，且 BD CD.求证： D点在 BAC的平分线上四、试试看24、如图示，已知四边形ABCD 是正方形， E是 AD的中点， F 是 BA延长线上一点，AF=12AB ，已知 ABE ADF. （1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使ABE变到 ADF的位置；（2）线段 BE与 DF有什么关系？证明你的结论。74DAFCBE名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -