2022年导数典型例题讲解.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载资料一 ：导数 .学问点1导数的概念例 1已知曲线 y= 3 x 上的一点 P0, 0,求过点 P 的切线方程 解析：如图,按切线的定义,当x0 时,割线PQ 的极限位置是 y 轴（此时斜率不存在）,因此过名师归纳总结 P 点的切线方程是 x=0. 例 2求曲线 yx 2 在点 2,4处的切线方程 解析：y=x 2, y=x0x 2x0 22x0xx2 =4xx2 , 第 1 页,共 14 页 klim x 0 yx lim4 x 0 x 4 . 曲线 yx 2 在点 2,4处切线方程为 y44x2即 4xy40. 例 3物体

2、的运动方程是 S1tt 2,其中 S 的单位是米, t 的单位是秒,求物体在 t5 秒时的瞬时速度及物体在一段时间 5,5t内相应的平均速度解析：S=1+t+t 2, S=1+t+ t+t+ t 21+t+t 2=2tt+ t+ t2, S2 t1t, 即v t 2 t1t , v5t11, t即在 5,5t 的一段时间内平均速度为 t11米秒 vt=S lim t0Slim2 t 0t1t2t1t即 v525111. 物体在 t5 秒时的瞬时速度是11 米秒例 4利用导数的定义求函数y=1 x在 x=1 处的导数；解析：y=11x1111xx, y=1x111x, xlim x 0y=lim

3、 x01x111x1. x2例 5已知函数 fx=x2sin1x0, 求函数 fx在点 x0 处的导数x0x0解析：由已知 fx=0,即 fx在 x=0 处有定义,y=f0+xf0=x2 sin1xy=xsin1, lim x0y=lim x 0xsin1=0, 即 f 00. xxxx函数 fx在 x0 处导数为 0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6已知函数 fx=1 2x21学习必备欢迎下载x11, 判定 fx在 x1 处是否可导？1 2xx1解析： f1=1, lim y lim 112 x 2 1 1lim 1 1 x 1 , x 0

4、 x x 0 x x 0 2lim y lim 1 12 x 1 1 1 , lim ylim y , x 0 x x 0 x 2 x 0 x x 0 x 函数 y=fx在 x1 处不行导例 7已知函数 y2x 33,求 y . 解析：y=2x 3+3, y=2x+ x 3+32x 3+3=6x 2x+6x x 2+2 x 3, yx =6x 2+6xx+2 x 2, y = lim x 0 yx =6x 2. 例 8已知曲线 y2x 33 上一点 P,P 点横坐标为 x1,求点 P 处的切线方程和法线方程解析：x=1, y=5, P 点的坐标为 1, 5, 利用例 7 的结论知函数的导数为

5、y =6x 2, y|x 16, 曲线在 P 点处的切线方程为 y56x1 即 6xy10, 又曲线在 P 点处法线的斜率为1 ,6曲线在 P 点处法线方程为 y51 x1,即 6yx310. 6例 9抛物线 yx 2 在哪一点处切线平行于直线 y4x5？2 2解析：y = limx 0 yx = lim x 0 x xx x2 x , 令 2x4 x=2, y4, 即在点 P2,4处切线平行于直线 y4x5. 例 10设 mt 0,fx在 x0处可导,求以下极限值1 lim f x 0 m x f x 0 ；2 lim f x 0t x f x 0 . x 0 x x 0 x解析：要将所求极

6、限值转化为导数 f x0定义中的极限形式；1 lim x 0 f x 0 m xx f x 0 = lim x 0 f x 0 m xm x f x 0 m m f x 0 , （其中 mx 0）2 lim f x 0t x f x 0 = lim f x 0t x f x 0 1 1 f x 0 . x 0 x x 0 x t tt名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2,求 f 1. （其中1 tx0）f x 例 11设函数 fx在 x1 处连续,且lim x 1x1解析：fx在 x1 处连续,li

7、m x 1 f x f1. 而又 lim x 1 f x lim x 1 x 1x f x 1 lim x 1 x 1 lim x 1 f xx 1 02=0. f1=0. f 1= lim x 0 f 1 xx f 1 lim x 1 f x x 1 f 1 2（将 x 换成 x1）即 f 12. 例 12已知抛物线 yax 2+bx+c a 0,通过点 1,1,且在点 2,1处与直线yx3 相切,求 a,b,c 的值解析：由 y lim x0y=lim x0a xx2b xxcax2bxc2axb, xx由函数在点 2, 1处与直线 yx3 相切 , 2a2b1,又函数过点 1,1,2,

8、1, abc=1, 4a2bc1,由三式解得 a3,b 11,c=9. x. 例 13设曲线 ysinx 在点 A6,1 处切线倾斜角为 ,求 tan 24的值. 解析：y=sinx,y=sinx+xsinx=2cosx+x sin 2x , 2 y =lim x0y=lim x 02cosxxsinxlim cos x 0 xx lim x 0sinxcos222 xx2x2即 y sinx cosx, 令在 A 点处切线斜率为 k=cos = 3 , tan= 3 , 0, , 6 2 23 tan1 tan 12 7 4 3 H,4 1 tan 312例 14设 fx是定义在 R 上的函

9、数,且对任何 x1、x2R,都有 fx1x2=fx1fx2,如 f0 0,f 01,证明：对任何 xR,都有 fx=f x 解析：由 fx1x0=fx1fx2,令 x1x20 得 f0f0f0, 又 f0 0 f0=1 名师归纳总结 由 f 0=1 即lim x 0fxxf0lim x 0fx11, 第 3 页,共 14 页x f x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lim x 0f xx f x lim x 0学习必备欢迎下载f x limx 0fx 1f x . f x f x f x xxx即 f x=fx成立2几种常见函数的导数 例 1已知 f

10、x=x 3,求 f x ,f 1,f1 ,f 0.5解析： fx=x 3, f x3x 2, f f 0.530.5 2= 0.75,f1 1=3,=0.=1 说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区分与联系后者是导函数的某一函数值,因此在求函数某一点处导数时可先求导函数,再直接求导函数值例 2已知曲线 y=x 2 上有两点 A1, 1, B2, 4,求 割线 AB 的斜率；在 1,1x内的平均变化率； 过点 A 处的切线斜率 kAT； 点 A 处的切线方程解析： kAB4 13；2 12 平均变化率 y f 1 x f 1 1 x 12 x , x x x y 2x , yx12. 即点 A

11、处的切线斜率为 KAT2. 点 A 处的切线方程为 y12x1即 2xy10. 说明：通过本例搞清割线斜率, 区间上平均变化率, 某点处切线斜率与某点处的导数之间的区分与联系,再次验证了导数与平均变化率之间的关系y= limx0y. 在点 P1,1处的切线倾斜x例 3利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y=1 x角及该点处的法线方程x11x, 解析：解法一： fx=1 x, y=f1+xf1=11x yx=1=lim x 0y=lim x011x1. x即在点 P 处斜率为 k 1, 倾斜角为 135,法线方程 y1x1 即 xy0. 解法 二：y=fx1 x,y=f x=1, yx=1 1.

12、 其次种用导数公x2即在点 P 处切线斜率为 k=1,以下同法 一 说明：求导致方法有两种, 一种是利用导致定义法求导数,式,要留意题目要求,如无声明,用最简洁的方法即可例 4已知曲线 y= 3 x 上的一点 P0,0,求过点 P 的切线方程 . 解析：由 y= 3 x , y= 3x 3 12 , 在 x=0 处导数不存在,由图形知3 x过 P 点的切线方程是 x=0. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5设曲线 ycosx 在 A6,学习必备欢迎下载,求 cot4 的值3 点处的切线倾斜角为 2解析： y=

13、cosx, y=sinx, x= 时, k=sin =1 , tan =1 ,6 6 2 2 cot = 1 1 tan 1 12 1 . 4 tan 1 tan 1 1 34 2例 6求曲线 yx 3 在点 3,27处的切线与坐标轴所围成的三角形面积解析：y=x 3, y=3 2, yx=3=27, 曲线 y=x 3 在点3,27处的切线方程为 y2727x3, 即 y27x54. 其与 x 轴, y 轴交点分别为 2,0,0,54 切线与坐标轴围成的三角形面积为 S= 1 25454. 2例 7在抛物线 yx 2 上取横坐标为 x11 及 x23 的两点,作过这两点的割线,问该抛物线上哪一

14、点的切线平行于这一割线？解析：已知两点 A1,1B3,9,割线斜率为 kAB=4, y 2x,令 y=2x4 得 x2, 即在点 2,4处切线平行于这一割线3函数和、差、积、商的导数例 1求以下函数的导数： y=3x 2xcosx； y= tan x； y=xtanx2； y= 1 . x cos x 1 1x解析： y=6x+cosxxsinx；2 y= tan x x2 tan x x sec x2 tan x；x x y= x sin x 2 , y= cos x sin cos x2 sin x 2 sin cos x cos x= sin x cos x2 2 x . cos x y

15、= x 1 1 , y= 12 12 . 1 x x 1 x 1 x 1例 2已知函数 fx=x 37x+1,求 f x,f 1,f 1.5.解析： fx=x 37x+1, y= f x=3x 27, f 1=4,f 1.5=1 . 4留意：导函数与导数的区分与联系, 函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值例 3已知函数 yx 3ax 24 a 的导数为 0 的 x 值也都使 y 值为 0,求常数 a 的 3名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载值解析： y=3x 2+2ax, 令 y=0, 就

16、 3x 2+2ax=0, x1=0, x2=2 a, 3当 x=0 时, y=0=4 a, a=0,即 a0 满意条件 , 3当 x=2 a 时y0= 8 a 3 4 a 2 4 a 得 a0 或 a3 3 27 9 3检验知 a3 不满意条件, 常数的值为 0. 例 4曲线 y x 24x 上有两点 A4,0,B2,4,求 割线 AB 的斜率 kAB； 过点 A 处的切线斜率 kA； 点 A 处的切线方程；解析： 割线 AB 的斜率 kAB=4 0 =2；2 4 y=2x+4, yx=4=4,即 kA=4； 过 A 点的切线方程为 y04x4,即 y 4x16. 例 5已知 Fx=fxgx,

17、就以下两种情形判定 Fx在 xx0 处是否可导？ fx在 xx0 处可导, gx在 x x0 处不行导 fx,gx在 xx0处均不行导解析： Fk在 xx0处不行导假设 Fx在 xx0 处可导,由 Fx=fxgx, gxFxfx. fx在 xx0 处可导,gx在 x=x0 处可导,与条件 gx在 xx0 处不行导冲突, Fx在 xx0 处不行导 Fx在 xx0 处不肯定可导如设 fx=sinx+1 , gx=cosx1 , 就 fx,gx在 x0 处均不行导,x x但 Fx=fx+gxsinxcosx 在 x0 处可导另：如 gx=tanx+1 上,在 x0 处不行导,xFx=fx+gx=si

18、nx+tanx+2 在 x0 处也不行导x例 6曲线 yx 3x1 上求一点 P,使过 P 点切线与直线 y=4x7 平行解析： y=x 3x1 3x 21,由过 P 点切线与直线 y4x7 平行, 令 3x 214 得 x1,当 x=1 时, y=1,此时切线为 y14x1,即 y4x3 与直线 y4x7平行,P 点坐标为 1,1；当 x 1 时,y 3,此时切线为 y3=3x1,即 y4x1 也满意条件,P 点坐标为 1, 3. 综上得 P 点坐标为 1,1或1,3. 例 7证明：过抛物线 yaxx1xx2, a 0,x1x2上两点 Ax1,0,Bx2,0的切线倾斜角互补解析： y=2ax

19、ax1+ x2. y | x x 1a x 2x 1, 即 k2=ax2x1, y|x x 1a x 1x 2, 即 k1=ax1x2, k1=k2, 两切线倾斜角互补名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 8已知曲线 y=fx及 y=fxsinax,a 0,其中 fx0,且为可导函数, 求证：两曲线在公共点处彼此相切解析：由 fx=fxsinax, fx0, sinax=1,ax=2k + 2kZ, 2 k 2 k x= 2,设曲线交点 x0, y0, 即 x0=a a又两曲线 y1=fx,y1=

20、f x,y1=fxsinax,y2=f 2 . xsinax+acosxfx y 1 | x x 0 f x 0 , y 2 | x x 0 f x 0 sin2 k af x 0 cos2 k f x 0 , 2 2 k1=k2,即两曲线在公共点处相切 . 例 9已知直线 ykx 与曲线 yx 33x 22x 相切,求 k 的值解析：由 y=3x 26x+2=k, 又由 kx=x 33x 2+2x, 3x 36x 2+2x=x 33x 2+2x, 即 2x 33x 20 得 x10 或 x2= 3 k2 或1 2 44复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数例 1函数 ysinx 22 3

21、是由函数 y,u,v= 三个函数复合而成解析：答案分别为： y=u2 3 , u=sinv. v=x 2. 例 2求以下函数的导数：名师归纳总结 y=x 2+2x 3； y=e5 4x2； y=32 axbxc ； ysinx 21 3 ；第 7 页,共 14 页 ylnx1 x ； yx2 3lig 3x； y= cos5 x； y=x n, xR +, nR. sin 2 x解析： y=x 2+2x 3, y=3x 2+2x 22x+2=6x+1x 2+2x 2. y=5 4x e2, y5 4x = e28x=8x5 4x e2. y=3ax2bxc , y= 13ax2bxx22ax+

22、b. 3 y=sinx 21 3 , y= 13sinx22cosx 22x=2 cosx22. 33 sin 3x2 ylnx12 x , y= x1x212xx2=11x2. 12 1 yx 3lig 3x, y=3x 2lig 3x+x 3 1xlig 3e=3x 2lig 3x+x 2lig 3e=x 2lig 3ex 3. y=cos5 sin 2x, x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y= cos5 sin 2 cos52sin 2 x学习必备欢迎下载xcos2x. sin 2 5sin 5 sin 2x2cos5sin 2 2 y=x

23、n=ln exnn elnx, y= e nlnxn1=n1 xx n=nxn1. x说明：本例集中训练常见函数求导公式,求导法就等,这些要反复熟记导数的四就运算法就, 复合函数的 x a 2 x b 2 axb例 3求函数 fx= 的导数；0 x a 或 x b2 x a x b x b x a axb解析： f x= , 0 x a 或 x b2 x a x b 2 x a b axb f x= 0 x a 或 x b例 4如 fx=xlnx5,gxln x1,解不等式 f xgx. 解析： f x=1+ 1 , gx= 1 , 由 f xgx,有x 5 x 121+ 1 1 , 即 x

24、30 , x5 或 x5, 所以,不等式 f xgx的解集为 5, . 说明：求导数有关问题时仍要留意原函数定义域例 5证明：可导奇函数的导数是偶函数；解析： 法一：定义法：设 fx为可导奇函数,就fx fx, fxxf x f x=lim x 0fxxfxlim x 0xx=lim x0fxxf x =f x. x即 f x=f x导函数为偶函数 . 法二：复合函数求导法：设 fx为可导奇函数,就 fx fx,两边对 x 求导得： f x f x 即 f xf x, f xf x f x为偶函数,即命题成立同理可证：可导偶函数的导数是奇函数例 6石头落在安静水面上,产生同心波纹,如最外一圈波

25、半径增大速度总是am/s,问在 b 秒末波扰动水面积的增大速度是多少？名师归纳总结 解析：设 b 秒末最外一圈波纹的半径为 R,就 R=ab, S R 2,又 R a,SR=ab=2 RRt|R=ab=2 a 2b. 即 b 秒末波扰动水面积的增大率为 2 a 2b m 2/s. 例 7将水注入锥形容器中, 其速度为 4 米 3/分,设锥形第 8 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载容器的高为 8 米,顶口直径为 图 6 米,求当水深为 5 米时,水面上升的速度 如解析：设注入水 t 分钟后,水深为 h 米,由相像三角形

26、对应过之比可得水面直径为 3 h 米,4这时水的体积温 V= 1 3 h 2h= 3 h ,由于水面高度 h 随时间 t 而变化,因 33 8 64此 h 是 t 的函数 hht,由此可得水的体积关于时间 t 的导数为 V tV hh t,V t= 3h 3 h t 9h 2h ,64 64由假设,注水的速度为 4 米 3分 Vt= 9h 2 h =4, 即 h t= 4 642 ,64 9 h 当 h5 米时,水面上升的速度为 hh=5=256 米/分. 2255函数的单调性和极值1求函数 ye xx1 的单调区间解析：y=e xx+1=e x1, 由 e x10 得 x0,即函数在 0,

27、+上为增函数；由 e x10 得 x0, fx在0,1上递增；当 x1,2时,y0,得 x5 , 即 y=fx在 ,5 内是3 3 3 3单调递增；同理,由 y0,得 0x 或5 x2,3 3 y=fx 在0, 和5 , 2 内都是单调递减；3 32例 4设 fxx 1 ax a0,求 a 的范畴,使函数 fx在0, 上是单调函数解析： f x=xx1a,当 x0, +时, 0xx11, 22 a0,且 fx在0, 上是单调函数,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就必有 f x0, x2a21, a2, a, 又函

28、数在 0, 1上都有意义, y= alg2axlna1log10eaalg2axlgax12,2ax由 y0,得lgalga0,a0x2或 0x2 a0a如 0a1, 就 lga1,此时 lga0, 0,就 x2 2 与定义域 x0, 1冲突,ax 2 0, x2 2, 10 时,f x =1x0, 即 fx在0, 上是递减函数,x又当 x0 时, f00 fxf0, 即1xxln1x0 时,gxO, gx也为减函数,又当 x0 时, gx0, gxg0. ln 1xx0 即 ln1xx. 名师归纳总结 x ln1 x x1 x例 7右图是函数 yx 3x 25x5 的图象,试结合第 10 页

29、,共 14 页图形说明函数的极值情形：解析： f x=3x 2+2x5=3x+5x1, 令 f x=0, 得 x1=5 , x2=1,3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 x=5 和 x1 是 fx可能的极值点,3又由图象可以看出, f5 比它接近点的函数值大,3值要小,f1比它接近点的函数 f5 ,f1分别是函数的极大值和微小值,除此之外,没有其它极值点3例 8设函数 fxax 3bx 2cx,在 x1 与 x 1 处有极值,且 f11,求fx表达式 . 解析：fxax 3bx 2cx, f x=3ax 2+2bx+c, x, +,

30、由已加 fx在 x=一 1 与 x1 时有极值 f 1f 10, 又 f1 1,3 a 2 b c 03 a 2 b c 0,解得 a= 1 , b=0, c=3 . 2 2a b c 1 fx= 1 x 33 x. 2 2例 9已知 fx=x 2c,且 gx=ffx=fx 21,设 xgxfx,问：是否存在实数 ,使 x在, 1上是减函数,并且在 1,0上是增函数解析：由 ffxf x 21得 x 2c 2cx 21 21,得 c1, xgxfxx 42 x 22 是连续函数, x2x2x 22 由 x在, 1上是减函数,且在 1,0上是增函数, x|x=1= 1=0, =4,即存在实数 4,使 x满意条件说明：此题如用函数单调性定义太繁！6函数的最大值和最小值例 1求函数 fx5x2x34x 的值域 . fx在区解析：由x30得 fx的定义域为 3x4,原问题转化为求4x0间3, 4上的最值问题；名师归纳总结 y f x5131x, 第 11 页,共 14 页x2 4在3,4上 f x0 恒成立 , fx在 3,4上单调递增 当 x 3 时 ymin 157 , 当 x=4 时 ymax=2027 , 函数的值域为 157 ,2027 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2设2 a1,函数 fxx 33学习必备