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1、数学概念、方法、题型、易误点技巧总结圆锥曲线1. 圆锥曲线的两个定义 ：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中 ，与两个定点21,FF的距离的和等于常数a2，且此 常数a2一定要大于|21FF，当常数等于|21FF时，轨迹是线段21FF，当常数小于|21FF时，无轨迹；双曲线中 ， 与两定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数a2， 且此常数a2一定要小于|21FF，定义中的 “绝对值”与a2|21FF不可忽视 。若a2|21FF，则轨迹是以21FF为端点的两条射线，若a2|21FF，则轨迹不存在。若a2=0，则轨迹是线段21FF的中垂线；若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一
2、支。比如： 已知定点， 在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（）A BC D（答： C）；方程表示的曲线是 _（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线上一动点P （x,y ）,则 y+|PQ| 的最小值是 _（答： 2）2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆 ：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），
3、 焦点在轴上时1（）。 方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B，C同号， A B）。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 比如：已知方程表示椭圆，则的取值范围为 _（答：）；若， 且， 则的最大值是 _，的最小值是 _ （答：）（2）双曲线 ：焦点在轴上： =1 ，焦点在轴上：1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B异号）。比如：双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲
4、线的方程_（答：）；设中心在坐标原点，焦点21,FF在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则 C的方程为 _（答：）（3）抛物线 ：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m的取值范围是 _ （答：（2）双曲线 ：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。焦点到原点的距离等于一次项系数的四分之一；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
5、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 特别提醒 ：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点21,FF的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。4. 圆锥曲线的几何性质 ：（1）椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0 ），四个顶点，其中长轴长为2
6、，短轴长为2；准线：两条准线； 离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。比如： 若椭圆的离心率，则的值是 _（答： 3 或）；以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：）（2）双曲线 （以（）为例）：范围：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0 ），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：。比如：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
7、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_（答：或）；双曲线的离心率为，则= （答： 4或）；设双曲线（a0,b0 ）中，离心率 e,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_（答：）；（3）抛物线 （以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0 ）；准线：一条准线； 离心率：，抛物线。如设，则抛物线的焦点坐标为 _（答：）；5、点和椭圆（）的关系 ：（1）点在椭圆外；（2）点
8、在椭圆上1；（3）点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系：（代数法）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 联立Cl消元得02cbxax（或02cbyay）当0a，o直线与曲线相交（2 个交点）；o直线与曲线相切（1个交点）；o直线与曲线相离（0 个交点）；当0a，曲线定不是椭圆；若曲线是双曲线，则直线l 与渐近线平行（1 个交点）或重合（0 个交点）；若曲线是抛物线。则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合（1 个交点）；
9、比如：直线 ykx1=0 与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_（答：1 ，5）（ 5，+）；对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线 C的位置关系是 _（答：相离）；特别提醒 ：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。1，双曲线过双曲线内一点的直线只有一个公共点的直线有2 条（ 2 与渐近线平行）过双曲线上一点的直线只有一个公共点的直线有3 条（ 1 切线+2 与渐近线平行）过双曲线外一点（除渐近线上点）的直线与双曲线只有一个公共点的直线有4 条（ 2 切线 +2与渐近线平行）若点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有
10、两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；若在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；注意：点在两条渐近线上但非原点，只有两条（1 切线 +2 与另一渐近线平行）；P为原点时不存在这样的直线；2，抛物线过抛物线内一点的直线只有一个公共点的直线有1 条（与对称轴平行）过抛物线上一点的直线只有一个公共点的直线有1 条（ 1 切线+1 与对称轴平行）过抛物线外一点（除渐近线上点）的直线与双曲线只有一个公共点的直线有3 条（ 2 切线 +1与对称轴平行）比如： 过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_（答： 2
11、）；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 过点 (0,2) 与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_（答：）；若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 _ （答：(-,-1) ）；过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有_条（答： 3）；过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段 PF与 FQ的长分别是、，则_（答：
12、1）；设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为 _( 填大于、小于或等于) （答：等于）；求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）；直线与双曲线交于、两点。当为何值时，、分别在双曲线的两支上？当为何值时，以 AB为直径的圆过坐标原点？（答：； ） ；7、焦半径 （圆锥曲线上的点P到焦点 F 的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义， 转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示 P到与 F 所对应的准线的距离。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
13、- - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 比如：已知椭圆上一点 P到椭圆左焦点的距离为3， 则点 P到右准线的距离为_（答：）；已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于 _；（答： 7）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为 _（答：）；点 P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P的横坐标为_（答：）；抛物线上的两点 A、 B到焦点的距离和是5， 则线段 AB的中点到轴的距离为 _（答： 2）；椭圆内有一点，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使之值最小，则点M的坐标为 _（答：）； #8 、焦点三
14、角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ，且当即为短轴端点时，最大为；，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：；。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 比如： 短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为 _（答： 6）；设 P是等轴双曲线右
15、支上一点， F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6 ，则该双曲线的方程为（答：）；双曲线的虚轴长为4，离心率 e，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于 A、B两点，且是与等差中项，则_（答：）；已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点， P为双曲线上一点，且，求该双曲线的标准方程（答：）；9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则AMF BMF ；（3）设 AB为焦点弦， A、B在准线上的射影分别为A ，B ，若 P为 A B 的中点，则PA PB ；（4）若 AO的
16、延长线交准线于C，则 BC平行于 x 轴，反之，若过B点平行于x 轴的直线交准线于 C点，则 A，O ，C三点共线。10、弦长公式 ：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为 A、B的横坐标，则，若分别为 A、B的纵坐标，则，若弦 AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。比如： 过抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么 |AB| 等于 _（答： 8）；过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知 |AB|=10 ，O为
17、坐标原点，则ABC重心的横坐标为_（答： 3）；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 11、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或 “点差法” 求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。比如：如果椭圆弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：）；已知直线y=x+1 与椭圆相交于 A、B两点
18、，且线段 AB的中点在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答：）；试确定 m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称 （答：）；特别提醒 ：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！12你了解下列结论吗 ？（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，0）。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 如与双曲线有共同的
19、渐近线，且过点的双曲线方程为_（答：）（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆), 0,0(nmnm；双曲线方程可设为（0mn）；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6） 若抛物线的焦点弦为AB ， 则；（7）若 OA 、OB是过抛物线顶点 O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点13动点轨迹方程 ：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点P到定点 F(1,0) 和直线的
20、距离之和等于4，求 P的轨迹方程（答：或）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 如线段 AB过 x 轴正半轴上一点M （m ，0），端点 A、B到 x 轴距离之积为2m ，以 x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：）；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨
21、迹方程；如(1) 由动点 P向圆作两条切线PA 、PB ，切点分别为A、B ，APB=600，则动点 P的轨迹方程为（答：）；（2）点 M与点 F(4,0) 的距离比它到直线的距离小于1，则点 M的轨迹方程是 _ （答：）；(3)一动圆与两圆 M ：和N：都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P是抛物线上任一点，定点为, 点 M分所成的比为2，则 M的轨迹方程为 _（答：）；参数法： 当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中
22、间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（ 1）AB是圆 O的直径，且 |AB|=2a，M为圆上一动点，作MN AB ，垂足为N，在 OM上取点，使，求点的轨迹。（答：）；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - （2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是_（答：）；（3）过抛物线的焦点 F 作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点 M的轨迹方程是_（答：）；注意 ：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应
23、从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0）， Q是椭圆外的动点，满足点 P是线段 F1Q与该椭圆的交点，点T 在线段 F2Q上，并且满足（1）设为点 P的横坐标，证明；（ 2）求点 T的轨迹 C的方程；（ 3）试问：在点T 的轨迹 C上，是否存在点M ，使 F1MF2的面积 S=若存在，求 F1MF2的正切值； 若不存在，请说明理由 . （答：（1）略； （2）； （3）当时不存在；当时存在，此时F1MF22）曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，
24、寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点 对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于 “平面几何性质”数形结合 ( 如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式) 、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. 如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么 可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -