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1、圆锥曲线椭圆知识点小结一、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平面内与两个定点21, FF的距离的和等于常数（大于|21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：|221FFa表示椭圆；|221FFa表示线段21FF；|221FFa没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0( 12222babyax)0(12222babxay图形顶点), 0(), 0()0 ,(),0,(2121bBbBaAaA), 0(), 0()0,(),0 ,(2121aBaBbAbA对称轴x轴，y轴；短轴为b2，长轴为a2焦点)
2、0,(),0,(21cFcF), 0(), 0(21cFcF焦距)0(2|21ccFF222bac离心率)10(eace（离心率越大，椭圆越扁）通径22ba（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3常用结论：（1）椭圆)0( 12222babyax的两个焦点为21,FF，过1F 的直线交椭圆于BA,两点，则2ABF 的周长= （2）设椭圆)0( 12222babyax左、右两个焦点为21,FF，过1F且垂直于对称轴的直线交椭圆于QP,两点，则QP,的坐标分别是| PQx O F1 F2 Py A2 B2 B1 x O F1 F2 Py A2 A1 B1 B2 A1 精选学习资料 - -
3、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页例题分析（求椭圆的标准方程一定要注意焦点的位置，先根据焦点的位置确定方程的形式，在根据222bac及已知条件确定、的值，进而写出方程）（要求掌握椭圆的简单几何性质，因此要准确把握和灵活应用这些性质来解决问题，更要注意教材中利用椭圆的标准方程推导这些几何性质的思想方法。在椭圆的几何性质中，离心率问题一直是高考的热点题型，必须熟练地掌握）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页（焦点三角形面积问题是解析几何中一种常见的问题，改变一下问
4、题的结构形式，将其设计成一个条件开放性问题，思考与训练的价值是非常大的，本题难点之一是确定焦点所在位置，考察了分类讨论的思想）课堂巩固练习1. 已知椭圆011216722yx上有一点 P到右焦点的距离是5，则它到左准线的距离为。2若椭圆1522myx的离心率510e，则m值。3（书本 P28习题 3 改编）已知12F ,F为椭圆22221(0)xyabab的两个焦点，过2F作椭圆的弦AB ，若1AF B的周长为 16，椭圆的离心率为32e，则椭圆的方程为。4椭圆31222yx=1 的一个焦点为 F1，点 P在椭圆上 . 如果线段 PF1的中点 M在 y 轴上，那么点 M的纵坐标是。5在平面直角
5、坐标系xOy中，设椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦距为 2c. 以点 O为圆心， a 为半径作圆 M . 若过点 P a2c，0 所作圆 M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页6以椭圆22221(0)xyabab的左焦点(,0)Fc为圆心， c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是。7已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同侧顶点的距离为3，求椭圆的方程。8 椭圆22194xy的焦点为 F1,F2，点
6、P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，求 P点横坐标的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页P A B M l O x y 9（书本 P297 改编）已知定点 A、B间的距离为 2，以 B为圆心作半径为22的圆， P为圆上一点，线段 AP的垂直平分线 l 与直线 PB交于点 M ，当 P在圆周上运动时点M的轨迹记为曲线C 建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线。10在平面直角坐标系xOy中，矩形 OABC 的边 OA 、OC分别在 x 轴和 y 轴上（如图），且OC =1，OA =a+1(a
7、1)，点 D在边 OA上，满足 OD =a. 分别以 OD 、OC为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线 l ：y=x+b 与椭圆弧相切，与OA交于点 E. （1）求证：221ba；（2）设直线 l 将矩形 OABC 分成面积相等的两部分，求直线l的方程；（3）在（ 2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与l 和线段 EA都相切，求面积最大的圆M的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页参考答案1. 已知椭圆011216722yx上有一点 P到右焦点的距离是5，则它到左准线的距离为4。2若椭圆1
8、522myx的离心率510e，则m值3m或253m。3（书本 P28习题 3 改编）已知12F ,F为椭圆22221(0)xyabab的两个焦点，过2F作椭圆的弦AB ，若1AF B的周长为 16，椭圆的离心率为32e，则椭圆的方程为221164xy。4椭圆31222yx=1 的一个焦点为 F1，点 P在椭圆上 . 如果线段 PF1的中点 M在 y 轴上，那么点 M的纵坐标是34。5若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p 的值为 4。6以椭圆22221(0)xyabab的左焦点(,0)Fc为圆心， c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是
9、2(,1)2。7（书本 P32练习 5 改编）已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同侧顶点的距离为3，求椭圆的方程。解：由题意设椭圆的半长轴为a，半短轴为 b ，半焦距为c (0,0)abc23acac2 3,3ab椭圆的标准方程为221129xy或221912xy8 椭圆22194xy的焦点为 F1,F2，点 P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，求 P点横坐标的取值范围。解：由题意得3a，5c，53e设 P到左焦点 F1的距离为1d，P到右焦点 F2的距离为2d，P( , x y)1dx-(-2ac),11PFdeca,|PF1|aex同理得 |P
10、F2|aex精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页P A B M l O x y 又F1PF2为钝角cosF1PF22221212122PFPFF FPFPF0 3 53 555x9（书本 P297 改编）已知定点 A、B间的距离为 2，以 B为圆心作半径为22的圆， P为圆上一点，线段 AP的垂直平分线 l 与直线 PB交于点 M ，当 P在圆周上运动时点M的轨迹记为曲线C 建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线。解：以 AB中点为坐标原点，直线AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图），则 A(
11、1,0) ，B(1,0). 设 M(,x y), 由题意，得|MP|MA|, |BP|2 2，|MB|+|MA|22曲线 C是以 A、B为焦点，长轴长为2 2的椭圆，其方程为2222xy10在平面直角坐标系xOy中，矩形 OABC 的边 OA 、OC分别在 x 轴和 y 轴上（如图），且OC =1，OA =a+1(a1)，点 D在边 OA上，满足 OD =a. 分别以 OD 、OC为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线 l ：y=x+b 与椭圆弧相切，与OA交于点 E. （1）求证：221ba；（2）设直线 l 将矩形 OABC 分成面积相等的两部分，求直线 l 的方程；
12、（3）在（ 2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与 l 和线段 EA都相切，求面积最大的圆 M 的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页解：设椭圆的方程为2221xya.由2221,xyayxb消去y得22222(1)2(1)0axa bxa b. 由于直线 l 与椭圆相切，故22222( 2)4(1)(1)0a baab，化简得221ba. （2）由题意知 A（1a，0），B（1a，1），C（0，1），于是 OB的中点为11,22a.因为 l 将矩形 OABC 分成面积相等的两部分，所以l 过点11,22a，即
13、(1)122ab，亦即22ba. 由解得45,33ab，故直线 l 的方程为5.3yx（3）由（ 2）知57, 0 , 033EA. 因为圆 M与线段 EA相切，所以可设其方程为2220()()(0)xxyrrr. 因为圆 M在矩形及其内部，所以0010,25,37.3rxxr圆 M与 l相切，且圆 M在 l 上方，所以03()53 2xrr，即03()53 2xrr.代入得10,253(21)5,3353 27,33rrr即20.3r所以圆 M面积最大时，23r，这时，0723x. 故圆 M面积最大时的方程为227222.339xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
14、结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页双曲线知识点小结：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数（小于|21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：aPFPF2|21与aPFPF2|12（|221FFa）表示双曲线的一支。|221FFa表示两条射线；|221FFa没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程)0,0( 12222babyax)0,0(12222babxay图形顶点)0 ,(),0,(21aAaA),0(), 0(21aBaB对称轴
15、x轴，y轴；虚轴为b2 ，实轴为a2焦点)0,(),0 ,(21cFcF),0(),0(21cFcF焦距)0(2|21ccFF222bac离心率) 1(eace（离心率越大，开口越大）渐近线xabyxbay通径22ba（3）双曲线的渐近线：求双曲线12222byax的渐近线，可令其右边的1 为 0，即得02222byax，因式分解得到0 xyab。与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax；x O F1 PB2 B1 F2 x O F1 F2 Py A2 A1 y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共
16、11 页（4）等轴双曲线为222tyx，其离心率为2（4）常用结论：（ 1）双曲线)0,0( 12222babyax的两个焦点为21,FF，过1F 的直线交双曲线的同一支于BA,两点，则2ABF 的周长 = （2）设双曲线)0, 0( 12222babyax左、右两个焦点为21,FF，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于QP,两点，则QP,的坐标分别是| PQ抛物线知识点小结：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0p焦点在x轴上，开口向右焦点在x轴上，开口向左焦点在 y
17、轴上，开口向上焦点在 y 轴上，开口向下标准方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形顶点)0,0(O对称轴x轴y轴焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF离心率1e准线2px2px2py2py通径p2焦半径2|0pxPF2|0pyPFO FPy lx O FPy lx O FPy lx x O FPy l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页焦点弦焦准距p四、弦长公式：|14)(1|1|2212212212AkxxxxkxxkAB其中,A分别是联立直线方程和圆锥曲线方程, 消去 y 后所得
18、关于 x 的一元二次方程的判别式和2x的系数求弦长步骤：（ 1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y, 得关于 x的一元二次方程,02CBxAx设),(11yxA，),(22yxB， 由韦达定理求出ABxx21，ACxx21；（3）代入弦长公式计算。法（二）若是联立两方程，消去x, 得关于 y 的一元二次方程, 02CByAy则相应的弦长公式是：|)1(14)()1(1|)1(1|2212212212AkyyyykyykAB注意（ 1）上面用到了关系式|4)(|2122121Axxxxxx和|4)(2122121Ayyyyyy注意 （2） 求与弦长有关的三角形面积， 往往先求
19、弦长，再求这边上的高（点到直线的距离） ，但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（ 1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y, 得关于 x 的一元二次方程,02CBxAx设),(11yxA，),(22yxB，由韦达定理求出ABxx21；（3）设中点),(00yxM，由中点坐标公式得2210 xxx；再把0 xx代入直线方程求出0yy。法（二）：用点差法，设),(11yxA，),(22yxB，中点),(00yxM，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过 A、B两点斜率公式，列出5 个方程，通过相减，代入等变形，求出00, yx。六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c ，再代入公式法二、建立 a,b,c 满足的关系，消去b, 再化为关于 e 的方程，最后解方程求e ( 求 e 时，要注意椭圆离心率取值范围是0e1，而双曲线离心率取值范围是e1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页