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1、黄冈中学网校达州分校2022年年8月月23日星期二日星期二 3.33.3 等差数列的前等差数列的前n n项和项和( (一一) )黄冈中学网校达州分校教学目标：教学目标：1掌握等差数列前掌握等差数列前n项和公式及其获取思路项和公式及其获取思路 2会用等差数列的前会用等差数列的前n项和公式解决一些简单项和公式解决一些简单的与前的与前n项和有关的问题项和有关的问题 教学重点：教学重点： 等差数列等差数列n项和公式的理解、推导及应用项和公式的理解、推导及应用教学难点：教学难点： 灵活应用等差数列前灵活应用等差数列前n项公式解项公式解决一些简单的有关问题决一些简单的有关问题黄冈中学网校达州分校一、复习提
2、问：一、复习提问：1等差数列的定义：等差数列的定义：anan-1=d ，（，（n2，nN+）2等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(an=am+(n-m)d 或或 an=pn+q (p、q是常数是常数)3有几种方法可以计算公差有几种方法可以计算公差d1(1)nndaa1(2)1naadn(3)nmaadnm黄冈中学网校达州分校4等差中项等差中项： 成等差数列成等差数列, ,2abAa A b5等差数列的性质等差数列的性质：123naaaa6数列的前数列的前n项和项和Sn： 称为数列称为数列an的前的前n项和，记为项和，记为Sn.( , , ,*)mnpqm npqa
3、aaa m n p qN（1）若则22( , ,*)mnpmnpaaam n pN（2）黄冈中学网校达州分校二、讲解新课：二、讲解新课： 问题呈现问题呈现 泰姬陵坐落于印度古都阿格，泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大中有一个三角形图案，以相同大
4、小的圆宝石镶饰而成，共有小的圆宝石镶饰而成，共有100100层层（见左图），奢靡之程度，可见（见左图），奢靡之程度，可见一斑。一斑。你知道这个图案一共花了多少宝你知道这个图案一共花了多少宝石吗？石吗？黄冈中学网校达州分校1+2+3+4+100=高斯，不要动来动去的!高斯，你再不停下来，我可不客气啦！xixi高斯，你这么高斯，你这么有空，罚你在有空，罚你在放学前算完这放学前算完这个加法！个加法！小case啦！heihei看你看你还嚣张还嚣张5050?!好好学习好好学习 天天向上天天向上 高斯高斯(Carl.Friedrich.Gauss 17771855),德国著名数学家德国著名数学家.上课讲话
5、高 斯 斐波那契上课睡觉 康托尔笛卡儿小故事小故事高斯，算你运高斯，算你运气好，下一道气好，下一道题我看你怎么题我看你怎么解？解？1+2+3+4+21=黄冈中学网校达州分校探究发现探究发现 从求确定的前从求确定的前n n个正整数之和到求个正整数之和到求一般项数的前一般项数的前n n个个正整数之和，运用正整数之和，运用 “倒序相加求和倒序相加求和”的算法。的算法。123(1)nsnn 问题问题1：求：求1到到n的正整数之和。的正整数之和。 123(1)nSnn 即(1)(2)2 1nsnnn2(1)(1)(1)nnsnnn (1)2nn ns黄冈中学网校达州分校探究发现探究发现问题问题2： ?n
6、nan如何求等差数列的前 项和S1231211()2nnnnnnnnsaaaasaaaan aas由于前面的探究，容易得出：由于前面的探究，容易得出： 为什么在等差数列中有为什么在等差数列中有211,nnaaaa等差数列的性质等差数列的性质,.)mnpqmnpqaaaa(如果那么黄冈中学网校达州分校111()1) nSaadand（()(1) nnnnSaadand)(21nnaanS1()2nnn aaS公式1dnaan) 1(11(1)2nn nSnad公式2探究发现探究发现问题问题3： ?nnan如何求等差数列的前 项和S(1)22nnn nSnad公式1(1)naand黄冈中学网校达州
7、分校1()2nnn aaS公式11(1)2nn nSnad公式2(1)22nnn nSnad公式等差数列的前等差数列的前n n项和项和由公式可知，由公式可知，只要知道只要知道a1 1,n,d,n,d,an n这四这四个量中的三个，个量中的三个，就可以求出数就可以求出数列的前列的前n n项和项和Sn n用公式来计算：用公式来计算：l l十十2+100=?2+100=?的问题，我们用的问题，我们用.50502)1001 (10010021nS黄冈中学网校达州分校例例 题题 讲讲 解解 例例1: 1: 某长跑运动员某长跑运动员7 7天里每天训练量天里每天训练量( (单位：单位：m)m)是：是：这位长
8、跑运动员这位长跑运动员7 7天共跑了多少米天共跑了多少米? ? 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，记为解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，记为 an n,其中其中a1 1=7500,=7500,a7 7=10500,n=7,=10500,n=7,由等差数列前由等差数列前n n项项和公式，有：和公式，有：答：这位长跑运动员答：这位长跑运动员7 7天共跑了天共跑了63000m63000m.630002)105007500(77S1()2nnn aaS黄冈中学网校达州分校例例2.等差数列等差数列10，6，2，2，前多前多少项和是少项和是54 ？解解: 设题中的等差数列为设题中的等差数列
9、为an, 则则 a1= -10 d= -6-(-10)=4. 设设 Sn= 54,dnnnaSn2) 11 （得得 n2-6n-27=0得得 n1=9, n2= 3(舍去）。舍去）。因此等差数列因此等差数列 -10，-6，-2，2， 的前的前9项和是项和是54。544 2)1(10 nnn由例由例1,1,例例2 2我们看到我们看到, ,解题时解题时, ,应该根据应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。信息选择适当的公式，以便于计算。黄冈中学网校达州分校 由等差数列前由等差数列前n n项和公式，我们知道，等差数列的项和公式，我们知道，等差数列的前前n n项和等于首、末两项的和与项数乘积的一半项和
10、等于首、末两项的和与项数乘积的一半(1)(1)如果等差数列含有奇数项，则有如果等差数列含有奇数项，则有 也就是说，含有奇数项的等差数列其前也就是说，含有奇数项的等差数列其前2 2n n+1+1项的和等项的和等于中间一项的于中间一项的2 2n n+1+1倍倍(2)(2)如果等差数列含有偶数项，则有如果等差数列含有偶数项，则有 也就是说，含有偶数项的等差数列，其前也就是说，含有偶数项的等差数列，其前2 2n n项的和等项的和等于中间两项的和的于中间两项的和的n n倍倍2)() 12(12112nnaanS,) 12(22) 12(11nnanan122122 ()()2nnnn aaSn aa),
11、(1nnaan利用这一特征，有时可以简化解题，减少运算量利用这一特征，有时可以简化解题，减少运算量黄冈中学网校达州分校v 例例3 3 已知等差数列已知等差数列 an n 的奇数项和为的奇数项和为5151，偶数项的和为，偶数项的和为首项为首项为1 1，项数为奇数，求此数列的末项及通项公式，项数为奇数，求此数列的末项及通项公式解法一：设这个等差数列含有解法一：设这个等差数列含有n=2=2m+1+1项，依题意，有：项，依题意，有：即有：即有：解得解得 ,2142偶奇.2142,51264212531mmaaaaSaaaaS21422)(,51) 1(2)(1(1221121mmmmmaaamSama
12、amS偶奇, 5,2181mam.1112mn黄冈中学网校达州分校又又即即 由由 有有16=1+l016=1+l0d d，解得解得1121121111,2,1722116,2mmmmaaaaaaa ,16na,101daan23d).,111 (212323) 1(1Nnnnnan黄冈中学网校达州分校解法二：设这个数列含有解法二：设这个数列含有n=2=2m+1+1项，依题意有：项，依题意有：由由、解得解得 ( (下同解法一下同解法一) )偶奇,2142,512421231mmaaaSaaaS,218, 51mam.1112mn解法二中运解法二中运用了整体替用了整体替换思想换思想 黄冈中学网校达
13、州分校例例4. (2008 四川四川 文文)设数列设数列an中，中，a1=2, an+1=an+n+1则则通项通项an= 解析解析: 由题意得当由题意得当n2时，时， 符合上式，因此符合上式，因此(1)12n n)()()(123121nnnaaaaaaaa(1)(2)2(23)22nnn1(1)1 (1 1)1. 21,22n na又. 12) 1(nnan 黄冈中学网校达州分校 分析分析: :本题是使用等差数列的求和公式和通项公式求本题是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。未知元。 可以使用公式可以使用公式2 2，先求出首项，再使用通项公式求尾，先求出首项，再使用通项公式求尾项。也可
14、以使用公式项。也可以使用公式1 1和通项公式，联列方程组求解。和通项公式，联列方程组求解。 事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、项数、末项、前项数、末项、前n n项和五个元素，如果已知其中三个，项和五个元素，如果已知其中三个，联列方程组，就可求其余二个。联列方程组，就可求其余二个。 120,37,629,.nnnansaa.在等差数列中，已知求 及练d习公式应用公式应用: : 知三求二知三求二黄冈中学网校达州分校小结：小结：1()2nnn aaS公式11(1)(1)22nnn nn nSnadnad公式2等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式： 熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用解决相关问题解决相关问题黄冈中学网校达州分校书面作业书面作业课堂练习课堂练习 练习练习1.2 习题习题3.3 1.2.3.4