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1、黄冈中学网校达州分校3.33.3 等差数列的前等差数列的前n n项和项和( (二二) )yyyy年年M月月d日星期日星期W黄冈中学网校达州分校教学目标教学目标: :1 1了解等差数列前了解等差数列前n n项和公式的函数特征，掌项和公式的函数特征，掌握等差数列的性质握等差数列的性质2 2灵活运用等差数列前灵活运用等差数列前n n项和公式及有关性质项和公式及有关性质解题解题3 3加强学生的发散思维训练，培养学生对知识加强学生的发散思维训练，培养学生对知识进行总结的习惯，增强学生的应用意识进行总结的习惯，增强学生的应用意识教学重点：教学重点：等差数列的有关性质等差数列的有关性质教学难点：教学难点：等
2、差数列有关性质的灵活应用等差数列有关性质的灵活应用黄冈中学网校达州分校复复 习习 导导 入入 v等差数列前等差数列前n n项和公式：项和公式： 由这两个公式，我们只要知道由这两个公式，我们只要知道a1 1, an, n, d, sn五个量中的三个，就可以求出另外两个量五个量中的三个，就可以求出另外两个量( (即即知三求二知三求二) )11()2(1)2nnnn aaSn nSnad黄冈中学网校达州分校讲讲 授授 新新 课课 例例1 1 求集合求集合M=m|mm|m=7n,n=7n,nN* *且且m m100100中元素的个中元素的个数，并求这些元素的和数，并求这些元素的和解：由解：由 得得 即
3、即满足上面不等式的正整数满足上面不等式的正整数n n共有共有l4l4个，所以集合个，所以集合M中的中的元素共有元素共有l4l4个，将它们从小到大列出，得个，将它们从小到大列出，得7, 7, 7 72, 2, 7 73, , 73, , 71414它们构成一个以它们构成一个以a1 1=7=7、d d=7=7的等差的等差数列，且有数列，且有a1414=98=98答：集合答：集合M中共有中共有1414个元素，它们的和等于个元素，它们的和等于735735.1007 n,7100n,7214n1414 (798)735.2S黄冈中学网校达州分校例例2 2 已知一个等差数列的前已知一个等差数列的前l0l0
4、项的和是项的和是310310，前，前2020项项的和是的和是12201220，由此可以确定求其前，由此可以确定求其前n n项和的公式吗项和的公式吗? ? 解析：解析：将已知条件代入等差数列前将已知条件代入等差数列前n n项和公式后，可项和公式后，可得到两个关于得到两个关于al l与与d d的关系式，然后确定的关系式，然后确定al l与与d d，从而，从而得到求前得到求前n n项和公式项和公式解：解：由题可知由题可知 解得解得这个数列的前这个数列的前n n项和公式为项和公式为,12202192020,310291010120110daSdaS. 6, 41da.7362) 1(42nnnnnSn
5、我们可以看到，这个前我们可以看到，这个前n n项和公式是一个关于项和公式是一个关于n n的二次函数，的二次函数，而且不含常数项那是不是所有的等差数列的前而且不含常数项那是不是所有的等差数列的前n n项和公式项和公式都有这一特征呢都有这一特征呢? ?下面我们来看一般等差数列的情况下面我们来看一般等差数列的情况黄冈中学网校达州分校对于等差数其前对于等差数其前n n项和公式为：项和公式为：令令 则有则有 ( (a,ba,b为常数为常数) )，也就是说，任何一个等差数列的前也就是说，任何一个等差数列的前n n项和都可以写成项和都可以写成 ( (a,ba,b为常数为常数) )的形式的形式反之，如果一个数
6、列的前反之，如果一个数列的前n n项和公式为项和公式为( (a,ba,b为常数为常数) )，那它是不是等差数列呢，那它是不是等差数列呢?(?(师生共同探讨师生共同探讨) ),)2(22) 1(121ndanddnnnaSn,2,21dabda2nSanbn2nSanbn2nSanbn黄冈中学网校达州分校 我们知道、要判断一个数列是不是等差数列，只要看当我们知道、要判断一个数列是不是等差数列，只要看当n2 2时，是否有时，是否有an n- -an-1n-1=d (=d (常数常数) )而对于任意一个数列而对于任意一个数列 an n 当当n n=1=1时，时，a1 1=S=S1 1；当；当n n2
7、 2时，时，an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1 对上述数列有对上述数列有 且且n n2)2)而而a1 1=S=S1 1= =a+ +b符合上式，符合上式， 有有 有有 ( (常数常数) )， 数列数列 an n 是以是以a+b为首项，为首项，2 2a为公差的等差数列为公差的等差数列 综上可知，等差数列的性质：综上可知，等差数列的性质： 数列数列 an n 为等差数列为等差数列其前其前n n项和为项和为S Sn n= =an n2 2+ +b( (a,b为常数为常数) )bnnnnanbnabnanSSannn) 1)(1() 1() 1(221*() 12() 1(Nnbannn*),
8、() 12(Nnbananabanbanaann2 1) 1(2) 12(1思考：思考：数列数列 an n 为等差数列的充要条件是其前为等差数列的充要条件是其前n n项和项和SnSn是一是一个关于个关于n n的二次函数的二次函数? ?解析：当解析：当d d=0=0时，数列时，数列 an n 为：为：al，al，此时有，此时有S Sn n=n=na1 1不是一个关于不是一个关于n n的二次函数的二次函数黄冈中学网校达州分校v例例3 3：等差数列前：等差数列前n n项和为项和为S Sn n，若，若S S1010=100,S=100,S100100=10,=10,求求S Sll0ll0 解析解析l
9、l：根据等差数列前：根据等差数列前n n项和公式的特点，用待定系项和公式的特点，用待定系数法求解数法求解解法一：解法一： 是等差数列，从而可设是等差数列，从而可设由题可得由题可得 解得解得na,2bnanSn.10100100,100101022baba10111,10011ba.11011010111110100112110S黄冈中学网校达州分校v例例3 3：等差数列前：等差数列前n n项和为项和为S Sn n，若，若S S1010=100,S=100,S100100=10,=10,求求S Sll0ll0解析解析2 2：由：由S Sl0l0及及S Sl00l00求出求出al l及及d d，再
10、求，再求S Sll0ll0解法二：由解法二：由 有有 解得解得 ,10,10010010SS,10299100100,10029101011dada501110010991da.11021091101101110daS 黄冈中学网校达州分校v例例3 3：等差数列前：等差数列前n n项和为项和为S Sn n，若，若S S1010=100,S=100,S100100=10,=10,求求S Sll0ll0解析解析3 3：利用：利用“整体化整体化”思想，减少运算量思想，减少运算量解法三：设公差为解法三：设公差为d d，首项为，首项为al l，则，则 一，得一，得即：即：1029910010010029
11、10101100110daSdaS,90210990901da11101109110 1091, 110110.22adSad 另外，根据等差数列另外，根据等差数列前前n n项和公式的特点，项和公式的特点，我们可以利用二次函我们可以利用二次函数的方法，求有关数数的方法，求有关数列中的最大最小值问列中的最大最小值问题题黄冈中学网校达州分校v例例4 4：一个首项为正数的等差数列中，前：一个首项为正数的等差数列中，前3 3项和等于项和等于前前1111项和，问这个数列的前多少项的和最大项和，问这个数列的前多少项的和最大? ?解析：解析：利用等差数列的前利用等差数列的前n n项和项和为二次函数，利用二次
12、函数的最值法求解，或者由为二次函数，利用二次函数的最值法求解，或者由S Sn n最最大大 来确定项数来确定项数解：由题可知当解：由题可知当 n=7n=7时，时，S Sn n为最大为最大 ndandSn)2(212010nnaa, 013221011112233111addada221111111149()(7),13131313nSa naa na na 黄冈中学网校达州分校v例例5 5：已知数列：已知数列 an n 是等差数列是等差数列 S Sn n是其前是其前n n项和，项和，求证：求证： 成等差数列成等差数列设设 成等差数列吗成等差数列吗? ?解：设解：设 an n 的首项是的首项是al
13、 l，公差为，公差为d d，则，则12186126,SSSSSkkkkkSSSSSNk232,*,6123456,Saaaaaa1267891011121266(6 )(6 )(6 )36 .SSaaaaaaadadadSd18121314181266(12 )(12 )(12 )72 ,SSaaaadadadSd1812612661261812()2(36 )2(),SSSdSSS SS SS6S +成等差数列. 黄冈中学网校达州分校32kkSSk2kk同理可知 S , S -S , 也成等差数列这一结论可作为等差数列的一个性质这一结论可作为等差数列的一个性质练习练习: : 教科书教科书 练习练习 4,5,6 4,5,6 黄冈中学网校达州分校小小 结结v 这节课我们主要学习了等差数列前这节课我们主要学习了等差数列前n n项和公式项和公式的函数特征，以及等差数列的性质，这些对我的函数特征，以及等差数列的性质，这些对我们解题有很大的帮助们解题有很大的帮助 作业作业 习题习题3.3 63.3 6，9 9补充题补充题: :一个只有有限项的等差数列，它的前一个只有有限项的等差数列，它的前5 5项的和为项的和为3434，最后，最后5 5项的和为项的和为l46l46，所有项的和，所有项的和为为234234，求这个数列的第七项，求这个数列的第七项