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1、有理数l 应知:一、基本概念自然数:零和正整数称为自然数。【注意】0不是正整数,也不是负整数,但它是整数。0可以表示没有,也可以表示一个实际存在数量,如0自然数又可分为奇数(2n-1)和偶数(2n);0是偶数。质数(又称素数。指在一个大于1自然数中,除了1和此整数自身外,没法被其他自然数整除数。)与合数(比1大但不是素数整数)。零(0)和1既非质数也非合数。正数和负数:用来表示具有相反意义量一对数。一般说,大于0数称为正数,小于0数称为负数。但在表示具有相反意义量时,负数只是正数加上“-”号,不表示小于0。整数:正整数(除0外自然数)、负整数和0统称为整数。有理数:整数和分数统称有理数(包括有
2、限小数和无限循环小数)。【注意】常见不是有理数数有和有规律但不循环小数。如:0.0100100010001000010000010000001将来会学到,这叫无理数,属实数范围。数轴:规定了原点、正方向和单位长度直线叫做数轴。划线部分称为数轴三要素。相反数:只有符号不同两个数叫做互为相反数,零相反数是零。数绝对值:一个数绝对值就是在数轴上表示这个数点与原点距离。一个正数绝对值是它本身,一个负数绝对值是它相反数,零绝对值是零。【注意】绝对值代数定义用数学符号语言表达:如果a0,那么=a;如果a0,那么=-a;如果a=0,那么=0。实数绝对值形式定义是:aR, “| |”有两重作用,即绝对值和括号
3、。-(-5)读作-5相反数,-|-5|读作-5绝对值相反数。若表示两个非负数式子和为0(或这两个式子互为相反数),则这两个式子都等于0。如:若,则(即),.倒数:两个数乘积是1数互为倒数,0没有倒数。乘方:求几个相同因数积运算叫做乘方。冪:乘方结果叫做冪。读作an次方,或an次冪。式中a叫做底数,n叫做指数。近似数:与实际数非常接近数称为近似数。【注意】近似数精确度。近似数一般是用四舍五入方法得到,但实际生活中,有时也用估算法或进一法得到。精确度:近似数与实际数近似程度叫做精确度。有效数字:一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零数字起到右边精确数位止所有数字,
4、都叫做这个数有效数字。科学记数法:把一个数写作形式,其中,n是整数,这种记数法叫做科学记数法。二、基本法则1. 有理数大小比较法则(注:学了实数后,实数大小比较与此相同):正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数。两个正数,绝对值大则大;两个负数,绝对值大反而小。在数轴上表示两个数,右边数总比左边数大。求差比较:设a、b是有理数,求商比较法:设a、b是两正有理数,绝对值比较法:设a、b是两负有理数,平方比较法:设a、b是两负有理数,2. 有理数运算法则(注:实数运算法则与此同)加法交换律:两个有理数相加,交换加数位置,和不变。 用代数式表示: 加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把
5、后两个数相加,和不变。 用代数式表示: 乘法交换律:两个有理数相乘,交换乘数位置,积不变。 用代数式表示: 乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变。 用代数式表示: 乘法对加法分配律:两个数相加再乘另一个数,等于把这个数分别同两个加数相乘,再把两个积相加,得数不变。 用代数式表示: 有理数运算顺序 先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面。【注意】减去一个数,等于加上这个数相反数。除以一个数等于乘以这个数倒数。零不能作除数。正数任何次冪都是正数,负数奇次冪是负数,负数偶次冪是正数。l 应会:1. 有理数加、减、乘、除、乘方及混合运算。【注意】运
6、算顺序。运用各种运算律各公式,寻求简易算法。去括号时变号。2. 用代数式表示运算律。3. 在数轴上表示数、比较数大小、确定数集。4. 科学记数法。(注意:有效数字位数。)5. 取近似数。6. 使用计算器。l 例题一、填空题1. 在整数集合里数是 ,在分数集合里数是 ;2. 整数和分数合起来叫做 3. 当a1时,|a-1|=_;当a1时,|a-1|=_。4. 若,则,.5. 已知,|x|=5,y=3,则 6. 在有理数范围内定义运算“”,其规则为:b=,则方程(43)x=13解为x= 。二、选择题1. 在以下说法中,正确是 A非负有理数就是正有理数B零表示没有,不是有理数C正整数和负整数统称为整
7、数D整数和分数统称为有理数2. 在算式4-|-35|中所在位置,填入下列哪种运算符号,计算出来值最小( )A.+ B.- C. D.3. 相反数是( )A、 B、 C、 D、三、判断题:在下列各题中,正确在括号中打“”号,不正确在括号中打“”号:(1)两个数相加,和一定大于任一个加数 ( )(2)两个数相加,和小于任一个加数,那么这两个数一定都是负数 ( )(3)两数和大于一个加数而小于另一个加数,那么这两数一定是异号 ( )(4)当两个数符号相反时,它们差绝对值等于这两个数绝对值和 ( )(5)两数差一定小于被减数( )(6)零减去一个数,仍得这个数( )(7)两个相反数相减得0( )(8)
8、两个数和是正数,那么这两个数一定是正数 ( )四、解答题1. a绝对值是多少?在数轴上如何表示?2. 绝对值小于3数有哪些?绝对值小于3整数有哪几个?3. 若|a|+|b-1|=0,求a,b4. 计算5. a、b互为相反数,c、d互为倒数,m绝对值是3,求 cd值l 参考答案一、1.正整数,零,负整数;正分数,负分数。 2.有理数3. a1,1a 4. 4,3 5. 2,8 6. 6二、1. D 2. A 3. B三、 (1)(5)(8) (2)(4)四、 1. 2. 解:绝对值小于3数是从-3到3中间所有有理数(注:学了实数后,则包括无理数),有无数多个;但绝对值小于3整数只有五个:-2,-1,0,1,2。观察与分析:若a+b=0,则a,b互为相反数或a,b都是0。因为绝对值是非负数,若|a|+|b-1|=0,则只能|a|=0,|b-1|=0,由绝对值意义得a=0,b-1=0。3. 解:因为|a|+|b-1|=0,所以a=0,b-1=0,所以a=0,b=1。4. 解:原式=2+1-9+1=-5观察与分析:a与b互为相反数,c与d互为倒数,a+b=0,cd=15.解: cd=0+41=3