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1、直线与椭圆的位置关系（）直线与椭圆的位置关系（）四川省大竹中学徐天顺.125144)(422的取值范围求上的点，是椭圆，：已知练习yxuyxyxP yoF1 1F2 2x10:2222byaxCByAx，直线和椭圆方程分别为直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 ：共点。直线和椭圆相离，无公个公共点；直线和椭圆相切，有一个公共点；直线和椭圆相交，有两，则的判别式为若二次方程000010/2/2222cxbxabyaxCByAx则由 yoF1 1F2 2x yoF1 1F2 2x yoF1 1F2 2x.125144)(422的取值范围求上的点，是椭圆，：已知练习yxuyxyxP yoF1 1
2、F2 2x代入椭圆方程：解：将xuy125)(14422xux0125252)2511441(22uxux0) 125)(2511441(4)252(022uu得：由13 u1313yx弦所在的直线方程。）求被椭圆截得的最长（的范围；点时，求）当直线与椭圆有公共（，及直线：已知椭圆例2114122mmxyyxxyO121代入椭圆将解：mxy) 1 (01)(422mxx012522mmxx直线与椭圆有公共点，0) 1(20422mm2525m点时，直线与椭圆有公共所以当2525m0:,:22FEyDxyxCbkxyl圆:代入圆的方程将bkxy)0( , 02acbxax),(),(2211yx
3、ByxA设221221)()(|yyxxAB则),(2211bkxybkxy2212221)()(|xxkxxAB2212)(1xxk2122124)(1xxxxk|12ak弦长公式弦所在的直线方程。）求被椭圆截得的最长（的范围；点时，求）当直线与椭圆有公共（，及直线：已知椭圆例2114122mmxyyxxyO121AB代入椭圆将mxy)2(012522mmxx由弦长公式得：5) 1(20411|1|2222mmakAB245522m5102|0maxABm时，当xy 此时，直线方程为.241936. 222方程在直线）平分，求此弦所，（被点的弦已知椭圆例MPQyx. 036)42(4)21
4、(16)41 (222kxkkxk4)41 (2)21 (1620221kkkxxxM.21k解得，得由1936)4(222yxxky.AxyOMB)4(2xky存在，设解：由题意知直线斜率082)4(212:yxxy即所以所求直线方程为.241936. 222方程在直线）平分，求此弦所，（被点的弦已知椭圆例MPQyx.AxyOMB另解：，设)()(2211yxByxA21936 1 193622222121yxyx则09)(36)(2 1 21212121yyyyxxxx得：由21212121369yyxxxxyy即.212241MMAByxk求椭圆方程。，且于与椭圆交直线已知椭圆方程为例,
5、1, 14:32222OBOABAxybybxAxyOB),(),(2211yxByxA解：设02121yyxxOBOA得：则由222441byxxy由2224) 1(4bxx0448522bxx整理得：5445822121bxxxx由韦达定理得)58上的中点在直线（说明xAB) 1)(1(2121xxyy12121xxxx5412b054154422bb852 b1585222yx椭圆方程为直线与椭圆直线与椭圆：（2 2）弦长问题）弦长问题|1|2akAB（3 3）弦中点问题）弦中点问题（4 4）与垂直有关的问题）与垂直有关的问题（1 1）直线与椭圆位置关系）直线与椭圆位置关系韦达定理或设点
6、作差法mABbabyax中点的横坐标为定值，一弦椭圆)0(12222例例4:。并求这个定点的坐标的中垂线必过定点 ,AB)()()(02211ymMyxByxA，中点，设2212122121)()(2 1 byyyyaxxxx得：由解：解：21 1 1222222221221byaxbyax则,220222121222121yambyyxxabxxyy即022yambkABmbyakAB202垂直平分线的斜率为,)(2020mxmbyayyAB垂直平分线的方程为：则求证轴垂直不与)(xAB0,)1 (222ymeabmx. ) 0(2，的垂直平分线必过定点故meAB0) 1(22220ybax
7、mbay。直线对称于该上有不同的两点关，椭圆：使得对于直线的取值范围，试确定方程为：已知椭圆CmxylmyxC413422例例5nxy41方程为：，于交对称，且直线关于直线、设MlABlBAAB则由已知可设直线 1 0481681322nnxxy消nxymxy414解方程组)(174mnxm1344122yxnxy解方程组解：解：AxyOB.lM134221nxxxmnmn134)(174在椭圆上、又BA0)4816(13464 1 22nn式的mn41313)16169( 42m1313213132m1342n即。直线对称于该上有不同的两点关，椭圆：使得对于直线的取值范围，试确定方程为：已知
8、椭圆CmxylmyxC413422例例5AxyOB.lM在椭圆上、又BA0)4816(13464 1 22nn式的mn413)()()(002211yxMlAByxByxA，的交点与，设另解：另解：AxyOB.lM2134 1 13422222121yxyx则21212121432 1 yyxxxxyy得：由 3300 xy 4400mxylM又)3(43mmM ，解得联立414300yx在椭圆内在椭圆上、MBA13)3(4)(22mm.1313213132m解得椭圆的参数方程例1如图8-10，以原点 为圆心，分别以 为半径，作两个圆，点 是大圆半径 与小圆的交点，过点 作 ，垂足为.) 0(
9、,babaOAAOxANBANBM MOAOM , 过点 作 ，垂足为 ，求当半径 绕点 旋转时,点 的轨迹的参数方程。OBN图8-10MOxyABN椭圆的参数方程解：设点 的坐标为 ， 是以 为始边， 为终边的正角，取 为参数. M),(yxOxOA那么sin|,cos|OBNMyOAONx即)(sincos为参数byax，这就是所求点 的轨迹参数方程.M请同学们求出它的普通方程？椭圆的参数方程得到椭圆的标准方程)0(12222babyax 4：若点 的坐标为 ，请问 是否是 ？ M)sin,cos(baMOx 3：椭圆 的参数方程为, 其中为参数)(sincosbyax,ba的几何意义 ？
10、)0(12222babyax椭圆的参数方程 思考5:参数方程 所表示曲线？)(cossin为参数byax是椭圆的参数方程吗？椭圆 的参数方程？ )0( 12222baaybx).(sincos为参数aybx椭圆的参数方程练习：（1）椭圆 ，当 时对应的点的坐标为. （2）椭圆 上一点 , 点 在第一象限,则点 坐 标为为参数）(sin3cos4yx35）（_,为参数）(sincos2yxP,4POxPP）（_,椭圆参数方程的应用椭圆参数方程的应用椭圆的参数方程在椭圆 上求一点 ,使 到直线 的距离最小.8822 yxPP04: yxl方法一: 方法二：xylO图1-2椭圆的参数方程2|4)co
11、s(3|,322sin)sin(cos)cos(cos.31sin)cos(cos)sin(sin方法一：)sin,cos22(P设2|4sincos22|dP则点 到直线距离 .31sin,322cos，其中1)cos(22d当 时， 取最小值 . 此时,).31,38( P点的坐标椭圆的参数方程方法二:把直线 平移至 , 与椭圆相切,此时的切点 就是最短距离时的点. l l lP lxylOP082922mmyy0)8(94422mm3m88022yxmyx由3mP04: yxl)31,38(P由图形可知： 时 到直线的距离最小,此时 .0: myxl即设：椭圆的参数方程练习：椭圆方程 求 的范围。(用两种方法做), 191622yx53xy（1）椭圆的参数方程,特别注意参数的几何意义；小结小结：（2）椭圆的参数方程在求最值问题上有其优越性； （3）点到直线的距离可转化为平行直线间的距离。课后练习：利用椭圆的参数形式求解前面的例题