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1、第二章 概率 总结一、 学问构造连续性随机变量数学期望方差二项分布正态分布事务的独立性条件概率离散型随机变量的数字特征随机变量离散型随机变量超几何分布二、 学问点1.随机试验的特点:试验可以在一样的情形下重复进展；试验的全部可能结果是明确可知的，并且不止一个每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果2.分类 随机变量（假如随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而改变，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 、等表示。）离散型随机变量 在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取
2、的值，我们可以按确定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量连续型随机变量对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不行以一一列出.3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X可能取的值为 x1,x2, ,xi , ,xn X取每一个值 xi(i=1,2,）的概率 P(=xi）Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质： pi0, i =1，2， ； p1 + p2 +pn= 1 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。4. 求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮
3、球运发动在竞赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运发动罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”设离散型随机变量 ，依题可知，X可能的取值为：1,0且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3交代题中所隐含的信息因此所求分布列为：答题即写出分布列 引出二点分布假如随机变量X的分布列为： 其中0p1，q=1-p，则称离散型随机变量X听从参数p的二点分布 二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从全部物品中任取n(nN)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型
4、随机变量，则它取值为k时的概率为，其中,且则称随机变量X的分布列为超几何分布列,且称随机变量X听从参数N、M、n的超几何分布留意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N、M、n，其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量解题步骤： 例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖嬉戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全一样.嬉戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X,则X听从超几何分布,其中舍随机变量且交代其听从NMn的超几何分布X可能的取值为0，1，2，3，4, 5.写出x可能的取值由题目可知，至
5、少摸到3个红球的概率为 0.191运用公式解题答：中奖概率为0.191.答题条件概率1. 定义：对随意事务A和事务B，在已知事务A发生的条件下事务B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率2. 事务的交（积）:由事务A和事务B同时发生所构成的事务D，称为事务A及事务B的交（或积）.记作D=AB或D=AB3. 条件概率计算公式: P(B|A)相当于把A看作新的根本领件空间,求发生的概率:公式推导过程解题步骤：例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.解：设 A = 第一个取到次品， B = 第二个取到
6、次品，设事务 由题意计算出 P(AB)和P(A)或者P(B|A)和P(A) 所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 根据条件概率共识计算 答：第二个又取到次品的概率为2/9.答题互相独立事务1. 定义：事务A(或B)是否发生对事务B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事务叫做互相独立事务说明（1）推断两事务A、B是否为互相独立事务，关键是看A（或B）发生及否对B（或A）发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为互相独立. （2）互斥事务是指不行能同时发生的两个事务；互相独立事务是指一事务的发生及否对另一事务发生的概率没影响. （3）假如A、B是互相独立事务，则A的补集
7、及B的补集、A及B的补集、A的补集及B也都互相独立.说明（1）运用时，留意运用的前提条件；（2）此公式可作为推断事务是否互相独立的理论根据，即P(AB)=P(A) P(B)是A、B互相独立的充要条件.2.互相独立事务同时发生的概率公式两个互相独立事务同时发生的概率，等于每个事务发生的概率的积。则有假如事务A1，A2，An互相独立，那么这n个事务同时发生的概率，等于每个事务发生的概率的积。即：P（A1A2An）=P（A1）P（A2）P(An)则称A，B互相独立3.两事务是否互为独立事务的推断及证明4. 解题步骤 例题、一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，视察球的颜
8、色状况，记“第一个取出的是白球”为事务A，“第二个取出的是白球”为事务B，试问A及B是不是互相独立事务？ 答：不是，因为件A发生时（即第一个取到白球），事务B的概率P（B）=1/3，而当事务A不发 生时（即第一个取到的是黑球），事务B发生的概率P（B）=2/3，也就是说，事务A发生及否影响到事务B发生的概率，所以A及B不是互相独立事务。 证明：由题可知， P(B|A) =1/3， P(B|A的补集)=2/3 因为 P(B|A)P(B|A的补集) 所以 A及B不是互相独立事务 独立重复试验1.定义：在同等条件下进展的，各次之间互相独立的一种试验2.说明： 这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某
9、事务要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的 每次试验是在同样条件下进展； 每次试验间又是互相独立的，互不影响. 前提二项分布1. 引入:一般地，假如在1次试验中某事务A发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事务恰好发生k次的概率是 P()Pn(k)是(1-P)+Pn的通项公式，所以也把上式叫做二项分布公式.2. 二项分布定义： 设在n次独立重复试验中某个事务A发生的次数，A发生次数是一个随机变量假如在一次试验中某事务发生的概率是p，事务A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中 （其中 k=0,1, ,n，q=1-p ）于是可得随机变量的概率分布如下： 由
10、于恰好是二项绽开式 中的第 k+1 项，所以，称这样的随机变量听从二项分布，记作B(n，p) ，其中n，p为参数，并记：3. 解题步骤 例题、某厂消费电子元件，其产品的次品率为5%现从一批产品中随意地连续取出2件，写出其中次品数的概率分布 解：依题意，随机变量B(2，5%) P(=0)= (95%)2=0.9025， P(=1)= (5%)(95%)=0.095， P(=2)= (5%)2=0.0025因此，次品数的概率分布是 0 1 2P0.90250.0950.0025 几何分布1. 定义： 在独立重复试验中，某事务A第一次发生时所作的试验次数也是一个取值为正整数的随机变量。 “ =k”表
11、示在第k次独立重复试验时事务A第一次发生。假如把第k次试验时事务A发生记为Ak， p( Ak)=p，事务A不发生记为 ，P( )=q(q=1-p)，那么 （k=0,1,2,q=1-p.）于是得到随机变量的概率分布如下： 1 2 3 k P p pq pq2 pqk-1 称听从几何分布，并记g(k,p)=pqk-1离散型随机变量的期望和方差一般地，若离散型随机变量的概率分布为则称 Ex1p1x2p2xnpn 为的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望是离散型随机变量说明：（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均程度 （2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令
12、p1=p2=pn，则有p1=p2=pn = ，E=(x1+x2+xn) ，所以的数学期望又称为平均数、均值 =E(-E)2=E2（E）2 （3）随机变量的数学期望及样本的平均值的关系：前者是常数，不依靠样本抽取；后者是一个随机变量.D=（x1-E)2P1+ （x2-E)2P2 + + （xn-E)2Pn + 叫随机变量的均方差，简称方差。说明： 、D 的算术平方根D 随机变量的标准差，记作； 、标准差及随机变量的单位一样； 、随机变量的方差及标准差都反映了随机变量取值的稳定及波动，集中及分散的程度。集中分布的期望及方差一览期望方差两点分布E=pD=pq，q=1-p超几何分布D（X）=np（1-p）* （N-n）/（N-1）不要求二项分布 B（n,p）E=np D=qE=npq，q=1-p几何分布p(=k)=g(k，p)1/p正态分布 连续型随机变量若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线频率组距概率密度曲线总体在区间 内取值的概率产品尺寸（mm）概率密度曲线的形态特征ab:中间高，两头低正态分布若概率密度曲线就是或近似地是函数 的图像，其中解析式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数及标准差则其分布叫正态分布，记作 f( x )的图象称为正态曲线