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1、选修2-3复习一、学问梳理1.分类加法计数原理原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法特点：两类方案中的任何一类的任何一种方法都可以完成这件事，并且两类方案中全部方法互不一样一般结论：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第n类方案中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法留意事项：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满意这些条件，即做到“不重不漏”，才能用分类计数原理2.分步乘法计数原理原理：完成一件事须要
2、两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法特点：两个步骤缺一不行，并且经过两个步骤恰好完成这件事一般结论：完成一件事须要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法留意事项：在分步乘法计数原理中，完成一件事分为若干个有联络的步骤，只有前一个步骤完成后，才能进展下一个步骤当各个步骤都依次完成后，这件事才算完成但每个步骤中可以有多种不同的方法，而这些方法之间是互相独立的3.排列组合（1）排列：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，依据肯定的依次排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个
3、元素的一个排列。一样的排列是指元素一样且依次一样。 （2）排列数：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的全部排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。 排列数公式： （3）全排列： 把n个不同的元素全部取出(从n个不同的元素中取出n个元素)，依据肯定的依次排成一列，叫做n个不同的元素的一个全排列，全排列的个数叫做n个元素的全排列数，用符号表示。此时，=n(n-1)(n-2)321=n！n!表示正整数1到n的连乘，叫做n的阶乘。因此：，规定：0!1。 （4）. 组合： 从n个不同的元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。（5）
4、组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的全部组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，依据分步计数原理得到：。 组合数公式： （6）组合数的性质：(1) ，规定：；(2) 。4.条件概率及事务的独立性（1）条件概率一般地，若有两个事务A和B，在已知事务B发生的条件下考虑事务A发生的概率，则称此概率为B已发生的条件下A的条件概率，记为P(AB).一般地，若P（B）0，则事务B已发生的条件下A发生的条件概率是（2）事务的独立性设A, B为两个事务，假如 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事务A及事务B互相独立.事务（或）是否发生对事务（或
5、）发生的概率没有影响，这样的两个事务叫做互相独立事务若及是互相独立事务，则及，及，及也互相独立互相独立事务同时发生的概率：两个互相独立事务同时发生的概率，等于每个事务发生的概率的积一般地，假如事务互相独立，那么这个事务同时发生的概率，等于每个事务发生的概率的积，即 （3）独立重复性独立重复试验的定义：指在同样条件下进展的，各次之间互相独立的一种试验独立重复试验的概率公式：一般地，假如在1次试验中某事务发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事务恰好发生次的概率它是绽开式的第项离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事务可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事务发生的次数是一个随机
6、变量假如在一次试验中某事务发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事务恰好发生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到随机变量的概率分布如下：01knP由于恰好是二项绽开式中的各项的值，所以称这样的随机变量听从二项分布，记作B(n，p)，其中n，p为参数，并记b(k；n，p)5.离散型随机变量（1）离散型随机变量随着试验结果改变而改变的变量称为随机变量随机变量常用字母 X , Y， 表示在此根底之上全部取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.（2）离散型随机变量分布列设离散型随机变量可能获得值为x1，x2，x3，取每一个值xi（i=1，2，）的概率为，则称表x1x2xiPP1
7、P2Pi为随机变量的概率分布，简称分布列 离散型随机变量分布列的两特性质：任何随机事务发生的概率都满意:，并且不行能事务的概率为0，必定事务的概率为1由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两特性质：Pi0，i1，2，；P1+P2+=1对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即（3）离散型随机变量的数学期望及方差 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称 为的均值或数学期望，简称期望均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均程度 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量
8、的概率分布中，令，则有，所以的数学期望又称为平均数、均值 均值或期望的一特性质:若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，它们的分布列为x1x2xnPp1p2pn于是由此，我们得到了期望的一特性质:若B（n,p），则E=np 证明如下：012kn又 ，故若B(n，p)，则np6常用的分布（1）两点分布随机变量 X 的分布列是01P像上面这样的分布列称为两点分布列（2）二项分布在一次随机试验中，某事务可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事务发生的次数是一个随机变量假如在一次试验中某事务发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事务恰好发生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于
9、是得到随机变量的概率分布如下：01knP称这样的随机变量听从二项分布，记作B(n，p)，其中n，p为参数，并记b(k；n，p)（3）超几何分布一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X件次品数，则事务 X=k发生的概率为其中，且称分布列X01P为超几何分布列假如随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 听从超几何分布. 7正态分布总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线它反映了总体在各个范围内取值的概
10、率依据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积视察总体密度曲线的形态，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数及标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线一般地，假如对于任何实数，随机变量X满意则称 X 的分布为正态分布正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作假如随机变量 X 听从正态分布，则记为X. 阅历说明，一个随机变量假如是众多的、互不相干的、不分主次的偶尔因素作用结果之和，它就听从或近似听从正态分布（1）正态
11、分布）是由均值和标准差唯一确定的分布通过固定其中一个值，探讨均值及标准差对于正态曲线的影响 （2）通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的根本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，老师也不必补上 讲课时老师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值及标准差对图形的影响，引导学生视察总结正态曲线的性质 （3）正态曲线的性质：曲线在x轴的上方，及x轴不相交 曲线关于直线x=对称 当x=时，曲线位于最高点 当x时，曲线上升（增函数）；当x时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延长时，以x轴为渐近线，向它无限靠近 肯定时，曲线的形态由确定
12、 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小曲线越“瘦高”总体分布越集中：（4）标准正态曲线:当=0、=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-x+）其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N（0，1）在正态总体的探讨中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 二、排列组合相关例题讲解1. 分类加法及分步乘法计数原理例1.从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。那麽一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？【解析】因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走
13、法，每一种走法都可以从甲地到乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种不同的走法。例2.（2007东城）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采纳千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有（ ）A90个 B99个 C100个 D112个【解析】由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有1010种=100种.故选C.2排列及组合例3. （2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四
14、位偶数的个数为 （ ）A8B24C48D120【解析】本题主要考察排列组合学问以及分步计数原理学问. 属于根底学问、根本运算的考察.2和4排在末位时，共有种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有（个）.故选C.例4. （2009全国卷理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法; (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.
15、选D例5. （2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必需在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满意男生甲不在两端的要求）此时共有6212种排法（A左B右和A右B左）最终再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12448种不同排法。解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”
16、在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类状况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。此时共有12种排法 三类之和为24121248种。3.二项式定理的通项公式例6. （2009重庆卷理）的绽开式中的系数是（ ）A16B70C560D1120【解析】设含的为第，所以，故系数为：，选D4二项式定理的综合应用例7.（2007济南）(x2 + 1)(x 2)
17、9 = a0 + a1(x 1) + a2(x 1)2 + a3(x 1)3 + + a11(x 1)11，则a1 + a2 + a3 + +a11的值为.【解析】令x = 1，得2(1) 9 = a0， 令x = 2，得(22 + 1)0 = a0 + a1 + +a11， 联立知a1 + a2 + +a11 = 2.例8. 6.（2009陕西卷文）若,则的值为 A. 2B.0 C. D. 解析 由题意简单发觉,则, 同理可以得出亦即前2008项和为0, 则原式= 故选C.5.二项式及推理综合问题例（2009浙江卷理）视察下列等式：由以上等式推想到一个一般的结论：对于， 答案 解析 这是一种
18、需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，6排列组合求概率问题例2009重庆卷理）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全一样。从中随意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）A B C D【答案】C【解析】因为总的滔法而所求事务的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆获得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为7.二项式定理及极限综合问题例(2009湖北卷理)设，则答案 B解析 令得令时令时两式相加得：两式相减得：代入极限式可得，故选B8插空法。例 10个节目中有6个演
19、唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少支配一个演唱，有多少种不同的支配节目演出依次的方式？解 先将6个演唱节目随意排成一列有种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个支配舞蹈有种方法，故共有=604800种方式。9二项式定理的应用。例 若nN, n2，求证：证明 首先其次因为，所以 2+得证。三、概率相关例题讲解1 人遗忘了 号码的最终一个数字，因此他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事务的概率： （1）第次拨号才接通 ；（2）拨号不超过次而接通 解：设第次拨号接通 ，（1）第次才接通 可表示为于是所求概率为（2）拨号不超过次而接通 可表示为：于是所求概率为2 出租车司机从饭
20、店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事务是互相独立的，并且概率都是 （1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2）求这位司机在途中遇到红灯数的期望和方差 解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以 （2）易知 3 奖器有个小球，其中个小球上标有数字，个小球上标有数字，现摇出个小球，规定所得奖金（元）为这个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望解：设此次摇奖的奖金数额为元，当摇出的个小球均标有数字时，；当摇出的个小球中有个标有数字，1个标有数字时，；当摇出的个小球有个标有数字，个标有数字时， 所以， 答：此次摇奖获
21、得奖金数额的数字期望是元 4 某学生语、数、英三科考试成果，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为，数学为，英语为，问一次考试中 （）三科成果均未获得第一名的概率是多少？ （）恰有一科成果未获得第一名的概率是多少解：分别记该生语、数、英考试成果排名全班第一的事务为，则 答：三科成果均未获得第一名的概率是 答：恰有一科成果未获得第一名的概率是5 如图，两点之间有条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为 现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量 （I）设选取的三条网线由到可通过的信息总量为，当时，则保证信息畅通 求线路信息畅通的概率； （II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望 解：（
22、I） （II） 线路通过信息量的数学期望答：（I）线路信息畅通的概率是 （II）线路通过信息量的数学期望是6 三个元件正常工作的概率分别为将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路 （）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？（）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由 解：记“三个元件正常工作”分别为事务，则（）不发生故障的事务为 不发生故障的概率为（）如图，此时不发生故障的概率最大 证明如下：图1中发生故障事务为不发生故障概率为图2不发生故障事务为，同理不发生故障概率为7 要制造一种机器零件，甲机床废品率为，而乙机床废品率为，而它们的
23、消费是独立的，从它们制造的产品中，分别随意抽取一件，求：（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率 解：设事务“从甲机床抽得的一件是废品”；“从乙机床抽得的一件是废品” 则（1）至少有一件废品的概率（2）至多有一件废品的概率8 甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为，被甲或乙解出的概率为，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数的数学期望和方差解：（1）记甲、乙分别解出此题的事务记为 设甲独立解出此题的概率为，乙为 则9 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事务发生，该公司要赔偿元设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之
24、十，公司应要求顾客交多少保险金？解：设保险公司要求顾客交元保险金，若以 表示公司每年的收益额，则是一个随机变量，其分布列为：因此，公司每年收益的期望值为 为使公司收益的期望值等于的百分之十，只需，即， 故可得 即顾客交的保险金为 时，可使公司期望获益 10 有一批食品出厂前要进展五项指标检验，假如有两项指标不合格，则这批食品不能出厂 已知每项指标抽检是互相独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是 （1）求这批产品不能出厂的概率(保存三位有效数字)；(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保存三位有效数字) 解：(1)这批食品不能出厂的概率是： (2)五项指标全部检验完毕，
25、这批食品可以出厂的概率是： 五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是： 由互斥事务有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是： 11 高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进展乒乓球对抗赛 竞赛规则是：按“单打、双打、单打”依次进展三盘竞赛； 代表队中每名队员至少参与一盘竞赛，不得参与两盘单打竞赛 已知每盘竞赛双方胜出的概率均为（）依据竞赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？（）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？ 解：（I）参与单打的队员有种方法 参与双打的队员有种方法 所以，高三（1）班出场阵容共有（种）
26、（II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜， 所以，连胜两盘的概率为12 袋中有大小一样的个白球和个黑球，从中随意摸出个，求下列事务发生的概率 (1)摸出个或个白球 (2)至少摸出一个黑球 解： （）设摸出的个球中有个白球、个白球分别为事务，则 为两个互斥事务 即摸出的个球中有个或个白球的概率为 （）设摸出的个球中全是白球为事务，则 至少摸出一个黑球为事务的对立事务 其概率为四、练习1.（2010广东卷理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项
27、工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A. 2.（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）A8B24C48D120【答案】C.w【解析】本题主要考察排列组合学问以及分步计数原理学问. 属于根底学问、根本运算的考察.2和4排在末位时，共有种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有（个）.故选C.3（2010北京卷理）用0到9这10个数字，可以组
28、成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A324 B328 C360 D648【答案】B【解析】本题主要考察排列组合学问以及分类计数原理和分步计数原理学问. 属于根底学问、根本运算的考察. 首先应考虑“0”是特别元素，当0排在末位时，有（个）， 当0不排在末位时，有（个）， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）.故选B.4.（2009全国卷文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门一样的选法有（A）6种 （B）12种 （C）24种 （D）30种 答案：C解析：本题考察分类及分步原理及组合公式的运用，可先求出全部两人各选修2门的种数=36，再求出两人所选两门都一
29、样和都不同的种数均为=6，故只恰好有1门一样的选法有24种 。5.（2009全国卷理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法; (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D6.(2010湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 【答案】C【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生
30、分在一个班的种数是，依次有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是7.（2010四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【答案】B【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必需在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满意男生甲不在两端的要求）此时共有6212种排法（A左B右和A右B左）最终再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，
31、共有12448种不同排法。解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类状况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。此时共有12种排法 三类之和为24121248种。 8. （2009全国卷理）甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不一样的选法共有A. 6种 B. 12种 C. 30种
32、D. 36种解：用间接法即可.种. 故选C9.（2010辽宁卷理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种 【解析】干脆法：一男两女,有C51C425630种,两男一女,有C52C4110440种,共计70种 间接法：随意选取C9384种,其中都是男医生有C5310种,都是女医生有C414种,于是符合条件的有8410470种.【答案】A10.（2009湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参与公益活动，每人一天，要求星期五有一人参与，星期六有两人参与，星期
33、日有一人参与，则不同的选派方法共有A.120种 B.96种 C.60种 D.48种【答案】C【解析】5人中选4人则有种，周五一人有种，周六两人则有，周日则有种，故共有=60种,故选C11.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能状况的种数为【 B 】A14 B16 C20 D48解:由间接法得，故选B. 12.（2010全国卷文）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A）150种 （B）18
34、0种 （C）300种 （D）345种【解析】本小题考察分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，根底题。解：由题共有，故选择D。13.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【答案】B【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必需在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满意男生甲不在两端的要求）此时共有6212种排法（A左B右和
35、A右B左）最终再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12448种不同排法。解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类状况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。此时共有12种排法 三类之和为24121248种。14.（2009陕西卷文）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数
36、，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 (A)432 (B)288 (C) 216 (D)108网答案:C. 解析:首先个位数字必需为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进展十位，百位，千位三个位置的全排。则共有故选C. 15.(2010湖南卷理)从10名高校生毕业生中选3个人担当村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 C A 85 B 56 C 49 D 28 【答案】：C【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：，另一类是甲乙都去的选法有=7，所以共有42+7=49，即选C
37、项。16.（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种，其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有188解析2：由题意有,选B。15、甲射击命中目的的概率是，乙命中目的的概率是，丙命中目的的概率是.如今三人同时射击目的，则目的被击中的概率为( )16、已知随机变量的分布列为：P(=k)=,k=1,2,3,则P(3+5)等于( )A.6 B.9 C.3 D.417、1盒中有9个正品和3个废品，每次取
38、1个产品，取出后不再放回，在获得正品前已取出的废品数的期望E=_.4、某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参与某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_.18、甲、乙两人各进展一次射击，假如两人击中目的的概率都是0.6，计算：(1)两人都击中目的的概率；(2)其中恰有一人击中目的的概率；(3)至少有一人击中目的的概率.19、已知连续型随机变量的概率密度函数f(x)=(1)求常数a的值，并画出的概率密度曲线；(2)求P(1）.20、设P在0,5上随机地取值，求方程x2+px+=0有实根的概率.21、设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停顿工作.
39、若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？参考答案一、1.解析：设甲命中目的为事务A，乙命中目的为事务B，丙命中目的为事务C，则目的被击中的事务可以表示为A+B+C，即击中目的表示事务A、B、C中至少有一个发生.故目的被击中的概率为1P()=12.解析：E=(1+2+3)=2，E2=(12+22+32)=D=E2(E)2=22=.D(3+5)=9E=6.二、3.解析：由条件知，的取值为0，1，2，3，并且有P(=0)=,4.解析：因为每组人数为13，因此，每组选1人有C种
40、方法，所以所求概率为P=.三、5.解：(1)我们把“甲射击一次击中目的”叫做事务A，“乙射击一次击中目的”叫做事务B.明显事务A、B互相独立，所以两人各射击一次都击中目的的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.60.6=0.36答：两人都击中目的的概率是0.36(2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是P(A)=P(A)P()=0.6(10.6)=0.60.4=0.24甲未击中、乙击中的概率是P(B)=P()P(B)=0.24，明显，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不行能同时发生，即事务A及B互斥，所以恰有一人击中目的的概率是P(A)+P(B)=0.24+0.24=0.
41、48答：其中恰有一人击中目的的概率是0.48.(2)两人各射击一次，至少有一人击中目的的概率P=P(AB)+P(A)+P()B=0.36+0.48=0.84答：至少有一人击中目的的概率是0.84.6.解：(1)因为所在区间上的概率总和为1，所以 (1a+2a)1=1,a=概率密度曲线如图：(2)P(1)=7.解：一元二次方程有实数根0而=P24()=P2P2=(P+1)(P2)解得P1或P2故所求概率为P=8.解：以X表示一周5天内机器发生故障的天数，则XB(5，0.2)，于是X有概率分布P(X=k)=C0.2k0.85k,k=0,1,2,3,4,5.以Y表示一周内所获利润，则Y=g(X)=Y的概率分布为：P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328P(Y=5)=P(X=1)=C0.20.84=0.410P(Y=0)=P(X=2)=C0.220.83=0.205P(Y=2)=P(X3)=1P(X=0)P(X=1)P(X=2)=0.057故一周内的期望利润为：EY=100.328+50.410+00.20520.057=5.216(万元)综合测试题一、选择题1从0，1，2，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，可以确定不在x轴上的点的个数是（）A100B90C