《一元二次方程全章复习讲义(11页).doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一元二次方程全章复习讲义(11页).doc(11页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、-一元二次方程全章复习讲义-第 11 页一元二次方程内容简介:1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式:.2. 掌握一元二次方程的四种解法,并能灵活运用.3. 掌握一元二次方程根的判别式,并能运用它解相应问题.4. 掌握一元二次方程根与系数的关系,会用它们解决有关问题.5. 会解一元二次方程应用题.知识点一:一元二次方程的定义及一般形式【知识要点】 一元二次方程的一般形式:例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( ) A B C D 变式:当k 时,关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程,则m的值为 。针对练习:1、方程的一次项系数是 ,常数项是 。2、若
2、方程是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是 。知识点二:一元二次方程的解【知识要点】 1、 当已知一元二次方程的一个根时,要熟练地将这个根代入原方程,并灵活运用得到的等式。2、 在中,x取特殊值时,a、b、c之间满足的关系式。例1、已知的值为2,则的值为 。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为 。例3、一元二次方程的系数满足,则此方程必有一根为 。例4、已知是方程的两个根,是方程的两个根,则m的值为 。针对练习:1、已知方程的一根是2,则k为 ,另一根是 。2、已知m是方程的一个根,则代数式 。3、已知是的根,则 。4、方程的一个根为( )A B 1 C D 5、若 。知识点三
3、:一元二次方程的解法【知识要点】 一元二次方程的常用解法有(1)直接开平方法,(2)配方法,(3)求根公式法,(4)因式分解法。通常可以这样选择合适的解法:(1)当方程一边为含有未知数的完全平方式,另一边为非负数时,可用直接开平方法。(2)当方程的一边为0,而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时,运用因式分解法求解。(3)当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式,另一边为非负数时,常用配方法。(4)当不便用上面三种方法时,就用求根公式法。例1、解方程: 例2、若,则x的值为 。例3、的根为( )A B C D 例4、若,则4x+y的值为 。变式1: 。变式2:若,则x+y的值为 。变式3
4、:若,则x+y的值为 。例5、方程的解为( )A. B. C. D.针对练习:1、若实数x、y满足,则x+y的值为( )A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或22、方程:的解是 。 3解方程:知识点四:配方法运用【知识要点】 用配方法解一元二次方程的一般步骤:例:用配方法解第一步,将二次项系数化为:,(两边同除以)第二步,移项: 第三步,两边同加一次项系数的一半的平方:第四步,完全平方:第五步,直接开平方:,即:,例1、试用配方法说明的值恒大于0,的值恒小于0。例2、已知x、y为实数,求代数式的最小值。例3、已知为实数,求的值。变式:已知,则 .知识点五:降次思想的应用【知识要点
5、】 利用因式分解或整式的变形,巧妙地在运算中进行变形,从而达到降次的目的。例1、已知,求代数式的值。例2、如果,那么代数式的值。例3、已知是一元二次方程的一根,求的值。知识点六:根的判别式理解与应用【知识要点】 (1)一元二次方程根的情况:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.(2)判定一元二次方程根的情况;(3)确定字母的值或取值范围。例1、若关于的方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 。例2、关于x的方程有实数根,则m的取值范围是( )A. B. C. D.例3、已知关于x的方程(1)求证:无论k取何值时,方程总有实数根;(2)若等腰ABC
6、的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。例4、已知二次三项式是一个完全平方式,试求的值.针对练习:1、当k 时,关于x的二次三项式是完全平方式。2、当取何值时,二次三项式是一个完全平方式?这个完全平方式是什么?3、已知方程有两个不相等的实数根,则m的值是 .4、若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是( ) A. B. 且 C. D. 且5、 一元二次方程的根的情况为()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根D. 没有实数根6、已知关于的一元二次方程.请你为选取一个合适的整数,当_时,得到的方程有两个不相等的实数根;7、若关于的方程有两个相等的
7、实数根,求的取值范围。8、已知关于的方程,当为何非负整数时:(1)方程只有一个实数根; (2)方程有两个相等的实数根; (3)方程有两个不等的实数根.9、已知是三角形的三条边,求证:关于的方程没有实数根.10、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是( ) A. B. C. D.11、一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是_. 12、求证:关于的方程有两个不相等的实数根。知识点七:根与系数的关系(韦达定理)【知识要点】 韦达定理:如一元二次方程的两根为,则,适用题型:(1)已知一根求另一根及未知系数; (2)求与方程的根有关的代数式的值; (3)已知两根求作方程;
8、(4)已知两数的和与积,求这两个数; (5)确定根的符号:(是方程两根); (6)题目给出两根之间的关系,如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是的两直角边求斜边等情况.注意:(1) (2); (3)方程有两正根,则; 方程有两负根,则 ;方程有一正一负两根,则;(4)应用韦达定理时,要确保一元二次方程有根,即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时,一般把所求作得方程的二次项系数设为,即以为根的一元二次方程为;求字母系数的值时,需使二次项系数,同时满足;求代数式的值,常用整体思想,把所求代数式变形成为含有两根之和,两根之积的代数式的形式,整体代入。针对练习:1、
9、已知方程的两根是,则: ,= , 2、已知方程的一个根是1,则另一个根是 ,的值是 .3、若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为相反数,则p=_,若两根互为倒数,则q=_4、已知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0的两个根是 1 、3 ,则 b= ,,c= .5、若方程中有一个根为零,另一个根非零,则的值为 ( )(A) (B) (C) (D) 6、两根均为负数的一元二次方程是()2222+15x-8=07、已知方程,则下列说中,正确的是 ( )(A)方程两根和是1 (B)方程两根积是2(C)方程两根和是 (D)方程两根积是两根和的2倍 8、已知方程的两个根都是整数,
10、则的值可以是( )(A) 1 (B) 1 (C) 5 (D) 以上三个中的任何一个9、已知一元二次方程的两根之和是3,两根之积是,则这个方程是( )(A)(B)(C)(D)10、 如果方程与方程有一个公共根是3,求,的值,并求方程的另一个根.11、已知关于x的方程 ( a2 3 ) x2 ( a + 1 ) x + 1 = 0的两个实数根互为倒数,求a的值.12、在解方程x2+px+q=0时,小张看错了p,解得方程的根为1与3;小王看错了q,解得方程的根为4与2。这个方程的根应该是什么?知识点八:一元二次方程应用题【传播问题】 例1:有一人患了流感,经过两轮传染后,有121人患了流感,每轮传染
11、中平均一个人传染了几个人?【分析】:设平均一个人传染了x个人。最开始有一人患流感,第一轮传染时,传染源是 人,新感染了 人,共有 人感冒。第二轮传染时,传染源是 人,新感染了 人,共有 人感冒。你发现题目的等量关系了吗?请试着列出方程并求解。(教师注意点评)如果按这样的传播速度,三轮传染后有多少人患了流感?例2:某种树木的主干长出若干支杆,每个支杆又长出同样数目的小分支,主干、支杆和小分支的总数为91,每个支杆长出多少小分支?巩固练习:1、生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,那么根据题意列出的方程是( ) Ax(x+1)=18
12、2 Bx(x-1)=182 C2x(x+1)=182 Dx(1-x)=18222、一个小组若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,则这个小组共( ) A12人 B18人 C9人 D10人3、学校组织了一次篮球单循环比赛(每两队之间都进行了一次比赛),共进行了15场比赛,那么有几个球队参加了这次比赛? 4、一个多边形有35条对角线,求这个多边形的边数。5、一个两位数等于它的个位数的平方,且十位数字比个位数字小3,求这个两位数。6、三个连续奇数,其中最小的数的平方的3倍减去25等于较大两个数的平方和,试求这三个数。7、一个两位数,十位数字与个位数字之和是5,把这个数的个位数字与十位数字对调后,
13、所得的新数与原数的乘积为736,求原来的两位数。8、若直角三角形的三边长为连续偶数,求这个直角三角形的面积。【变化率问题】 例:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?分析:甲种药品的成本由5000元降至3000元是经历了几年下降? 乙种药品的成本由6000元降至3600元是经历了几年下降?、设甲种药品成本的年平均下降率为x,则:一年后甲种药品的成本是 元,两年后甲种药品的成本是 元,依此可列方程并求解: 、设乙种药品成本的年平均
14、下降率为x,则:一年后乙种药品的成本是 元,两年后乙种药品的成本是 元,依此可列方程并求解: 、通过上面的求解,请作答:点评:经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较几个对象的变化状态?巩固训练:1、随县2008年农民人均年收入为7800元,计划到2010年,农民人均年收入达到9100元,求人均年收入的平均增长率。2、某电脑公司2010年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,第一季度的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率。3、某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,则平均每次降价( ) A、10% B
15、、19% C、9.5% D、20%4、国家实施惠农政策后,某镇农民人均收入经过两年提高44%,这两年,该镇农民人均收入平均年增长率是( ) A、22% B、20% C、10% D、11%5、党的十六大提出全面建设小康社会,加快推进社会主义现代化,力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番,在本世纪的头20年,要实现这一目标,以10年为单位计算,每个10年的国民生产总值的增长率都是x,则可列方程是( ) A、(1+2x)2=2 B、(1+x)2=4 C、1+2x=2 D、(1+x)2+(1+x)=46、某电动自行车厂三朋份的产量为1000辆,由于市场需求量不断增大,五月份的产量到1210辆,
16、求该厂四、五月份的月平均增长率。7、商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元,若该商场两次调价的降价率相同,求这个降价率。8、2008年,A市投入600万元用于改水工程,计划以后每年以相同的增长率投资,2010年该市计划投资1176万元。、求A市投资改水工程的年平均增长率。、从2008年到2010年,A市三年共投资改水工程多少万元?9、从社会效益和经济效益出发,某地制定了三年规划,投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,第一年度投入资金800万元,第二年度比第一年度减少,第三年度比第二年度减少,第一年度当地旅游业收入估计为400万元,要使三年内的投入
17、资金与旅游业总收入持平,则旅游业收入的年平均增长率应是多少?(以下数据供选用:1.414,3.606,计算结果精确到百分位)【市场营销问题】 例1:李先生将1000元存入银行一年,到期后取出2000元购买彩电,剩余8000元及利息又全部按一年定期存入银行,若存款的年利率不变,则到期后本息和是8410元,试求不计利息税时这种存款的年利率(精确到0.01)(解题前教师引导学生熟悉存款问题中“本金、利率、利息、本息和”之间的关系,学生自已解决,教师注意点评) 本 金 (1+利率) 时 间 = 本 息 和例2:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,尽快减少库存,商
18、场决定采取适当的降价措施。经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元,每件衬衫应降价多少元?分析:设每件衬衫应降价x元,则可用含x的式子表示下面等量关系中的各个量:单 利 润 销 量 = 总 利 润注意:营销问题中关于利润的另一个等量关系式:总收入总支出=总利润巩固练习:1、某水果批发商城经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500kg。经市场调查发现,在进货不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量就减少20kg,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?2、某商品的进价为每件3
19、0元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件。市场调查反映:如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元),那么每星期少卖10件。如何定价才能使每星期的利润为1560元?每星期的销量是多少?3、某西瓜经营户以2元每千克的价格购进一批西瓜,以3元每千克的价格出售,每天可出售200千克。为了多销售,他决定降价销售,市场调查反映:如果每千克的售价降0.1元,那么每天可多卖40千克,另外,每天的房租等固定成本共24元,若每天的利润为200元,每千克的售价应降多少元?4、某商店购进一种商品,单价30元。试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足关系:。若商店每天销售这种商品要获
20、得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件?5、某宾馆有客房间,当每间客房的定价为每天元时,客房会全部住满当每间客房每天的定价每涨元时,就会有间客房空闲如果旅客居住客房,宾馆需对每间客房每天支出元的各种费用。设某天的利润为元时客房定价应为多少元?6、某车间要生产220件产品,做完100件后改进了操作方法,每天多加工10件,这样一来共用4天完成了任务。求改进操作方法后,每天生产多少件产品?7、两地相距公里,甲工程队要在两地间铺设一条输送天然气管道,乙工程队要在两地间铺设一条输油管道。已知甲工程队每周比乙工程队少铺设公里,甲工程队提前周开工,结果两队同时完成任务,求
21、甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道?8、某种新产品进价是120元,试销阶段发现每件售价(元)与产品的日销量(件)始终存在下表中的数量关系,请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时,每日的盈利可达到1600元。每件售价/元130150165日销量/件705035【形积问题】 1、如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为500m2,道路的宽为多少? 2、如图,某中学为方便师生活动,准备在长30 m,宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路,横纵路的宽度之比为32,若使余下的草坪面积是原来草坪面积的
22、四分之三,则路宽应为多少? 3、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m ,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度。4、一个直角三角形的斜边长7cm,一条直角边比另一条直角边长1cm,求两条直角边的长度。5、一个菱形的两条对角线的和是10cm,面积是12cm2,求菱形的周长。(精确到0.1cm )6、要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框,要求镜框的四边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的四分之一,镜框便的宽度是多少?(精确到0.1cm)7、要做一个容积为750cm3,高是6cm,底面的长比宽多5cm的长方形盒子,底面的长及宽应该各是多少(精确到0.1cm)?8、一次函数和反比例函数,(1)k满足什么条件时,这两个函数在同一坐标系中的图象有两个交点?(2)设(1)中的两个公共点为A、B,是锐角还是钝角?9、有一块面积为150米2的长方形场鸡场的一边靠墙(墙长18米),另一边用竹篱笆围成,如果竹篱笆长35米,鸡场的长与宽各是多少?单元小结:你在学习中还有什么没有弄懂的问题吗?家长意见: