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1、 一元二次方程复习讲义一.基本概念1.定义：形如：（）的方程.即：只含有一个未知数，并且所含未知数的最高次数是2的方程，叫一元二次方程.其中a、b、c都是常数，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项；（）叫做一元二次方程的一般式.例题：若方程是关于x的一元二次方程，求m的值.分析：已知方程是关于x的一元二次方程，故可化成.其中方程左边是一个关于未知数x的二次三项式()，方程右边是零。由此可知该一元二次方程的二次项为，次数必须等于2.解：由已知得，解得2.一元二次方程的特殊形式（1）当b=0，时，有：，x=0（2）当b=0，时，有：，此方程可转化为：当a与c异号时，0，根据平方根的定义可知，
2、. 即：当b=0，且a与c异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根是互为相反数；当a与c同号时，0，负数没有平方根，方程无实数根.（3）当，c=0时，有：，此方程的左边可以因式分解，使方程转化为：.即：x=0或，.由此可见：当，c=0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，且两实根中必有一个是0.二.一元二次方程的解法1.首要工作：解一元二次方程时，如果所给的方程不是一元二次方程的一般式，第一步要先把它化为一元二次方程的一般式，然后再确定用什么方法求解.2.解一元二次方程的常用方法：（1）直接开方法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项， 是一个形如：的方程时，可以使用
3、此方法求解.解法步骤：把常数项移到等号右边：方程中各项都除以二次项系数：开平方求出未知数的值：（2）因式分解法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程左边的多项式可以因式分解的话，可以使用此方法求解.解法步骤：把方程的左边因式分解，转化为两个因式乘积的形式；令每个因式分别等于0，进而求出方程的两个根.例：解关于x的方程：解：把方程左边因式分解得：，（3）配方法：当一元二次方程化为一般式后，不能用直接开方和因式分解的方法求解时，可使用此方法.解法步骤：若方程的二次项系数不是1时，方程中各项同除以二次项系数，使二次项系数为1；把常数项移到等号右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；方程左边变成一
4、个完全平方式，右边合并同类项，变为一个实数；方程两边同时开平方，从而求出方程的两个根. 例1：解方程： 解：方程两边同时除以3得：把二次项系数先化为1 移项，得：常数项移到等号右边方程两边都加上一次项系数一半的平方 即：方程左边变成完全平方式，右边合并同类项方程两边同时开平方，最后求出方程的根 例2：解方程： 解：移项，得：常数项移到等号右边方程两边都加上一次项系数一半的平方 即：方程左边变成完全平方式，右边合并同类项方程两边同时开平方，最后求出方程的根（4）公式法：利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，适用于所有的一元二次方程.求根公式：一元二次方程 （） 的求根公式为： （其中、 分别
5、为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项） 解法步骤：先把一元二次方程化为一般式；找出方程中a、b、c等各项系数和常数的值；计算出的值；把a,b,的值代入公式求出方程的两个根 例题：解方程：（1） （2）x(x+12)=8x+12 （3）2 解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8=(-4)2-414=16-16=0原方程根为. （2）原方程化简得：方程中：a=1,b=4,c=-12=(4)2-41（-12）=16+48=64=原方程根为：，-6. （3）方程中：a=2,b=-3,c=2=(-3)2-422=9-16=-70原方程有两个不相等的实数根. （3）方程中：a=2,b=-3,c=2=(-3)2-422=9-16=-7b，试求a-b的值. （2）已知x=5，且xo，试求代数式x的值25.已知关于x的二次方程有两个不相等的实数根，且这两个实数根的倒数和为S.（1）求S与m的函数关系式；（2）求S的取值围. 19 / 19