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1、,叮当课堂学习讲义 学生姓名： 任课教师： 上课时间：学习主题：第一章 一元二次方程知识点1：一元二次方程的定义 1 定义： 方程是整式方程 它只含有一个未知数 未知数的最高次数是2 2一般式：一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。*其中是二次项，a二次项是系数； 是一次项，b是一次项系数； 是常数项。典例分析：题型1：定义例1：下列关于的方程，哪些一定是一元二次方程？（1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）例2：已知关于的方程是一元二次方程时，则_；例3：已知关于的方程是一元二次方程时，则 ；例4：已知（m+3）x23mx1=0是一元二方程，则m的取值范围是 。
2、例5：试证明：无论取何实数，关于的方程都是一元二次方程题型2：一般式例1：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）； （2）； （3）例2:填表方程x21=2x63y2=0（x2）（2x+3）=6一般式二次项系数一次项系数常数项课堂检测：1、下列方程一定是一元二次方程的是_（只填序号） （1）x2=5； （2）x2+xy+3=0； （3）x+=2； （4）mx2+x+1=0（m0）； （5）ax2+bx+c=0； （6）x2+3x+1=0； （7）x2+1=0； （8）2+=02、一元二次方程（2x+1）（x1）=3x+1化为一般形式是_，二次项是_，一次
3、项是_，常数项是_3、一元二次方程x2=7的二次项系数是_，一次项系数是_，常数项是_4、关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为_。5、关于的方程（1）当满足_条件时，方程为一元二次方程；（2）当满足_条件时，方程为一元一次方程；知识点2：一元二次方程的解（根） 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 如：当时，所以是方程的解。 典例分析： 题型1：利用解求方程中某字母的值例1：已知关于的方程的一个根为，则实数的值为_。例2：关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为_。例3：在关于的一元二次方程 中，满足下面等式（1） 若，则一元二次方程有一根_
4、。（2）若，则一元二次方程有一根_。题型2：利用根求代数式的值例1：已知若是方程的一个解，则=_。例2：已知是方程的两根，则代数式的值为_。例3：已知是方程的一个解，且，则的值为_。例4：已知实数是一元二次方程的根，则代数式的值为_。例5：已知是方程的根（1） 则=_； （2）则=_。当堂检测：1、 已知1是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_。2、 若是方程的一个根，则的值为_。3、 已知是一元二次方程的一个根，且，则的值为_。4、 已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为_。5、 若，则的值为_。6、 若正数是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，则的值为_。7、 已知，代数
5、式的值为_。8、 如果，那么代数式的值为_。9、若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为_。知识点3：直接开方法解一元二次方程利用平方根的定义直接开方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开方法如：（1）的解是； （2）的解是； （3）的解是。题型1：直接开方法解一元二次方程例1：用直接开平方法解下列一元二次方程（1）； （2）； （3） 例2：解下列方程（1） （2） （3）（4） （5） （6）题型2：综合提升例1：用直接开方法解下列方程，其中无解的是（ ） A、 B、 C、 D、例2：若关于的方程有解，则的取值范围为_。例3：若关于的方程有解，则此方程的解为_。例4：若关于的方程有解，则要
6、满足的条件是_。例5：已知关于的方程的两根为，则方程的两根分别为_；=_。例6：若方程的解是则。当堂检测：1、 若方程有实数根，则的取值范围为_。2、 已知一元二次方程的一个根为0，则的值为_。3、 若方程的左边是一个完全平方式，则的值为_。4、解下列方程（1） （2）(3) （4）（5） （6）知识点4：解一元二次方程（二） 方法2：配方法解一元二次方程 第一步：方程化为一般形式 第二步：二次项系数化为1（步骤） 第三步：常数项移到等式右侧 :第四步：等式两边加一次项系数一般的平方 第五步：改为的形式 第六步：直接开方法 (*(oo)猪头们注意啦 关于方程的根的讨论： （1）当p0时，方程有
7、两个不等的实数根，； （2）当p=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当p0时，方程无实数根。题型1：完全平方式知识回顾例1：填空 （1）（2）（3） 亲，请自己总结出配完全平方式需要加的常数项与一次项系数的关系！ d=(*)b_例2：已知是完全平方式，则的值为_。例3：若是完全平方公式，则的值为_。例4：根据完全平方式填空（1） （2）（3） (4) 题型2：用配方法解一元二次方程例1：用配方法解下列方程：（1） （2） （3） （4） （5） （6）例2：用配方法求解下列问题（1）求2x2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x2+5x+1的最大值。 例3：用配方法证明（1） 的值恒小于0
8、 （2）的值恒大于0当堂检测：1、 用配方法解方程时，配方法所得的方程是（ ） A、 B、 C、 D、2、 已知一元二次方程，配方法解该方程，配方后的方程为（ ） A、 B、 C、 D、3、 用配方法填空（1）（2）4、 当时，代数式是完全平方式；当时，代数式为完全平方公式。5、 已知，为实数，则=_。6、 解下列方程（1） （2）（3） （4）知识点5：根的判别式 1根的判别式：（其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项）当,方程有两个不相等的根；当,方程有两个相等的根；当0,方程无实数解。典例分析：题型1：根据判别式判断根的情况例1：方程的根的情况（ ） A、该方程有两个相等的实数根 B、
9、该方程有两个不相等的实数根 C、该方程没有实数根 D、无法确定例2：不解方程判断下列方程根的情况（1） （2） （3）（4） （5）题型2：利用跟的判别式求方程中某个字母的值或取值范围例1：若一元二次方程有实数根，则的取值范围为_。例2：关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为_。例3：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_。例4：关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值是_。例5：若关于的一元二次方程，异好，则方程根的情况为_。例6：若关于的一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围是_。题型3：利用根的判别式证明方程根的情况例1：已知关于的一元二次方程。 （1）求证：
10、不论为何实数，方程总有两个不相等的实数根 （2）当时，用配方法解此一元二次方程。例2：已知：关于的一元二次方程（为整数） 求证：方程有两个不相等的实数根例3：已知关于的方程（1） 求证：方程恒有两个不相等的实数根（2） 若方程的一个根为1，请求出方程的另一个根。例4：已知关于的一元二次方程（）（1） 求证：方程有两个不相等的实数根（2） 设方程的两个实数根分别（其中），若是关于的函数，且，求这个函数的函数解析式当堂检测：1、 不解方程，判断下列方程解的情况（1） （2） （3）2、 对于任意实数，关于的方程的根的情况为_。3、 当=_时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根。4、 若方程有两个
11、不相等的实数根，则=_。5、 已知关于的一元二次方程。当为何值时，方程有两个不相等的实数根？6、求证：关于的一元二次方程恒有两个实数根7、 已知关于的方程（1） 当该方程的一个根为1时，求的值及该方程的另一个根（2） 求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根知识点6：公式法解方程 2方法三：公式法解一元二次方程 第一步：确定 的值步骤 第二步：用根的判别式判断方程是否有根 第三步：当,方程有根，利用公式； 当0,方程无实数解。典例分析：题型1：公式法解方程例1：解下列方程 （1） （2） （3） （4） 题型2：与几何结合的题型例1：在等腰三角形ABC中，三边长分别为，其中，若关于的方
12、程有两个相等的实数根，求ABC的周长。例2：已知关于的一元二次方程，其中分别为ABC的三边长（1） 如果是方程的根，是判断ABC的形状，并说明理由。（2） 如果方程有两个相等的实数根，是判断ABC的形状，并说明理由。（3） 如果ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根。例3：已知的两边AB、AD的长是关于x的方程的两个实数根。（1） 当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长？（2） 若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长为多少？当堂检测：1、已知方程，且，则_。2、用公式法解下列方程（1） （2） （3）知识点6：因式分解法解方程因式分解法解一元二次方程（常见形式）
13、第一种形式：（），用提公因式法。 第二种形式：，移项，提取公因式。 第三种形式：，用十字相乘法。典例分析：题型1：因式分解解一元二次方程例1：解下列一元二次方程（1） （2） （3）（4） （5） （6）例2：解下列方程（1） （2） （3）（4） （5） （6）例3：解下列方程（1） （2） （3）（4） （5） （6） （7） （8） （9） 题型2：综合提升例1：已知一元二次方程的两个根分别为，则原方程可化为（ ） A、 B、 C、 D、例2：若方程与方程的根相同，则例3：已知一元二次方程的两个根分别为，则二次三项式可分解为_。例4：在实数范围为定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规矩
14、，方程的解为_。例5：若关于的方程与有相同的实数根，则的值为_。例6：已知为非负数，方程（1） 验证该方程有两个实数根；（2） 求方程的解。当堂检测：1、用因式分解法解下列一元二次方程：(1)； (2)； (3)t(2t1)3(2t1) （4）2、 解下列方程（1） （2） （3）知识点7：根与系数的关系一元二次方程的两个根则；典例分析：题型1：根据根与系数关系求代数式的值例1：不解方程，求下列方程的两根之和和两根之积（1） （2） （3）例2：当取何值时，方程分别适合下列条件：（1）两根之和为2 （2）两根互为倒数 （3）两根互为相反数例3：若方程的两个根分别为，则（1）=_ (2)=_ （
15、3）=_ (4)=_题型2：综合题型例1：已知是方程的两个根，则_。例2：方程有两个相等的实数根，且满足，则的值是_。例3：当_时，一元二次方程有实根；当_时，两根同为正；当_时，两根异号。例4：已知是关于的一元二次方程的两个实数根（1） 若，求的值（2） 已知等腰ABC的一边长为7，若恰好是ABC另外两边的长，求这个三角形的周长例5：已知，且，求的值例6：若关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，试求出方程的两个实数根及的值。例7：已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是（1） 求的取值范围（2） 如果，且为整数，求的值例8：关于的一元二次方程（1） 证明：方程总有两个不相等的实数根（2）
16、设这个方程的两个实数根为，且，求的值及方程的根当堂检测：1、 若是方程的两个实数根，则=_。2、 已知是方程的两根，则=_。3、 设是一元二次方程的两个根，且，则_。4、 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，如果，那么的值为_。5、 已知是关于的一元二次方程的两个实数根（1） 若，求的值（2） 已知等腰ABC的一边长为7，若恰好是ABC另外两边的长，求这个三角形的周长知识点8：一元二次方程的实际问题（一）一元二次方程应用题的一般解题步骤：1、完整地系统审清题意；2、把握住问题中的等量关系； 3、正确地求解方程并检验解的合理性。典例分析：题型1：传播问题例1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有
17、121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？例2：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？例3：早期，甲肝流行，曾有2人同时患病，经过两轮传染后，总共有64人患病，求平均一人能传染几个人。题型2：互动问题例1：参加一次足球联赛的每两队之间都进行一次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例2：生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？题型3：平均变化
18、率问题类型一（平均上涨）例1：某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）A300(1x)=363B300(1x)2=363C300(12x)=363D363(1x)2=300例2：某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为，根据题意列出的方程是_。例3：某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为,则由题意列方程应为_。例4：汽
19、车产业的发展，有效促进我国现代化建设某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？类型二：变化率问题（平均下降）例1：某厂制造某种商品,原来每件产品的成本是100元,由于不断改进设备,提高生产技术,连续两次降低成本,两次降价后的成本是81元,则平均每次降低成本的百分率是多少？例2：恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达
20、到了193.6万元，求这两个月的平均增长率例3：某商品，经两次调价后现在价格比原来的价格少了36%，求两次降价的平均变化率.当堂检测：1、某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )A、 B、 C、 D、2、某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份 平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A、 B、 C、 D、 3、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）A、 B、 C、
21、D、4、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？5、参加一次聚会，每两人都握一次手，所有人共握手66次，有多少人参加聚会？6、 某商店2月份的营业额为50万元，3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点，营业额达到了48.3万元，问4、5两个月的营业额增长率各为多少？题型4：几何面积问题例1：如图，在一块长为32m，宽为20m的矩形地面上，修建同样宽的道路，剩余部分种上草坪，若使草坪面积达到570，则道路的宽应该是多少m? 例2：如图，某中学为方便师生活动，准备在长
22、30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为32，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？ 例3：利用墙的一边，再用13 m的铁丝网围三边，围成一个面积为20 m2的长方形，设长为x m，可得方程( ) A、 B、 C、 D、例4：如图，某工厂直角墙角处，用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆货场地，中间用同样的材料分隔成两间，问AB为多长时，所围成的矩形面积是450平方米？ 当堂检测：1、在一幅长为，宽为的矩形风景画的四周镶一条相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ） 、
23、、 、 、2、一块长方形铁皮长32cm，宽24cm，四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个无盖铁盒，使底面积是原来的一半，求盒子的高。3、 如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。鸡场的面积能达到150m2吗？鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。若墙长为m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用?题型5：销售问题（利润=每件利润销售量）例1：某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销
24、售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？例2：某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？例3：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？例4：关山超市销售某
25、种电视机，每台进货价为2500元，经过市场调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台电视机，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台商场要想使这种电视机的销售利润每天达到5000元，每台电视机的售价应为多少元?例5：某精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？当堂检测：1、某商店购进一种商品，进价30元试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价(元)满足关系：P=销售量P，若商店每天销售这种商品要获得2
26、00元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元，每天要售出这种商品多少件？2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。求：若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.3、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用270
27、00元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？4、某商店准备进一批季节性小家电，单价为40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个。定价每增加1元，销售量减少10个，定价每减少1元，销售量增加10件。因受库存影响，每批次进货个数不得超过180个。商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少元？附加练习：动点问题例1：在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后PBQ的面积等于8cm2？例2：等腰直角ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?例3：已知：如图所示，在中，.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.（1） 如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？（2） 如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？（3）在（1）中，的面积能否等于7cm2?说明理由.