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1、垂直的生计学案分析九年级上册垂直于弦的直径学案分析 九年级上册垂直于弦的直径学案分析 一、教材分析（一）本课教学内容分析本节课要探讨的是圆的轴对称性与垂径定理及简洁应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的详细化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图供应了方法和依据，所以它在教材中处于特别重要的位置。（二）教学目标依据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标1、学问和技能：通过视察试验，使学生理解圆的轴对称性；驾驭垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；驾驭协助线的作法过圆心
2、作一条与弦垂直的线段。2、过程和方法：通过定理探究，培育学生视察、分析、逻辑思维和归纳概括实力；向学生渗透“由特别到一般，再由一般到特别”的基本思想方法。3、情感看法和价值观：激发学生探究、发觉数学问题的爱好和欲望，以及对学生进行数学美的教化。（三）教学重点、难点重点：垂径定理及其应用难点：垂径定理的证明与垂径定理的理解及敏捷应用.二、学习者特征分析一般特征：学生是农村校的九年级学生，班级学生在学习方面之间存在肯定的差异；但学生对生活中隐含的数学问题爱好深厚。初始实力：学生在小学学习“圆的相识”和“轴对称图形”时，已经对圆的轴对称性有了基本的相识与了解。但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足。信
3、息素养：大部分学生的信息素养一般。三、教学策略阐述1.情景创设策略：通过生活中的图片，有效激发学生学习的爱好和求知欲，创设宽松活泼的课堂教学气氛，维持学生学习的动机。2类比启发策略：在完成教学要求的基础上，通过设置与生活实际紧密联系的问题情境，巩固提高学生运用学问解决生活问题的实力。3引导探究策略：学生通过小组合作，探究出垂径定理，充分发挥学生的主体作用。四、教学过程教学环节老师的活动学生的活动教学媒体（资源）设计意图、依据一、情景导入，激疑引趣1介绍和展示中国石拱桥中由隋代工匠李春建立的赵州桥（如挂图）。2该实例中建立与本课题亲密有关的数学问题倾听背景介绍和观赏石拱桥的图形，并思索老师提出的
4、问题挂图以同学们所熟知的赵州桥入手,并从该实例中建立与本课题亲密有关的数学问题.这样既能激发学生的爱好,又能引发学生更深层次的思索.使学生相识到数学总是与现实问题密不行分,将实际问题数学化,可让学生从一些简洁实例中不断体会从现实世界中找寻数学模型,建立数学关系的方法.二、尝试诱导，发觉定理1、活动：让学生拿出事先打算好的圆形纸片，想想能否通过折叠的方法找到该圆的圆心？为什么？2、老师演示线段AB的运动变换。3、让学生大胆提出猜想。学生通过找圆心的嬉戏复习了圆的轴对称性学生通过线段AB的运动变换很自然地渡到垂直于弦的直径，经验了由特别到一般的探究过程，并通过试验-视察-分析-猜想，主动地探究垂径
5、定理的学问利用多媒体播放折叠过程和线段AB的运动变换过程教学内容重新整合，将圆的轴对称性的学习变成了操作性强，又具好玩味性的“找圆心”问题，激发了学生的求知欲望，调动了学生学习的主动性，通过线段AB的运动变换很自然地渡到垂直于弦的直径，让学生经验了由特别到一般的探究过程，这符合学生的认知规律，引导学生通过试验-视察-分析-猜想，主动地探究垂径定理的学问。这一过程突出学问地产生过程，教会学生动眼看、动手做、动脑想、动口说，主动参加到教学活动中，这样做有利于发挥学生的主动性，发展他们的创建性，为达到本课的教学目标奠定了坚实的基础三、引导探究，证明定理老师板书出已知、求证并引导学生从以下两方面找寻证
6、明思路，然后利用叠合法即可证出。依据上面的证明，请学生自己用文字语言和符号语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。让学生视察图形（如图4(a)(d)）中，AB是O的弦，CD是O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。学生在老师的引导下进行定理的证明依据上面的证明，学生自己用文字语言和符号语言进行定理归纳学生视察老师给出的定理的变式图形，以强化对定理基本图形的理解1、在学生动手操作折纸和课件演示的基础上，利用圆的轴对称性，采纳叠合法证明垂径定理是学生简单接受的，目的是既使学生重视证明表述，又加深对它的发觉与理解。2、让学生经验了试验视察猜想证明，学生的思维逐
7、步被绽开，现在可以引导学生证明并归纳定理，归纳定理时采纳了文字语言和符号语言两种形式3、强化对基本图形的理解，从特别到一般，培育学对几何图形的化归思维实力。几何定理中文字语言、符号语言，图形语言的相互联系与转换也是学生应具备的实力。四、例题示范，变式练习1、老师出示例题：例1如图，已知在O中，弦AB的长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径.讲完例1后，老师总结：半径、圆心到弦的距离及弦长三者有何关系？2、例2在例1图形的基础上，以O的圆心再画一个圆交弦AB于C、D，则AB与CD可能存在的关系？试证明老师总结：在圆中，解弦的有关问题时，经常须要作“垂直于弦的直径”作为协助线，事实上，往
8、往只须从圆心作一条与弦垂直的线段。在老师的分析引导下学会利用垂径定理解决相关的数学问题把握解决此类问题的关键点将例2作为例1的延长，渗透了从“特别”到“一般”解题思想方法，使学生体会到由浅到深，由表及里的学习过程，符合学生的认知规律，引导学生的解法要突出“七字口诀”的重要性及垂径定理的优越性，.通过题组训练使学生对垂径定理有了更进一步相识，并驾驭了有关计算、证明等方面的简洁应用，老师教学时应突出作圆心到弦的垂线段，是应用垂径定理时常用的添加协助线方法。五、巩固练习，化疑解难老师出示课前所留的有关赵州桥桥拱半径的问题。赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（
9、弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？学生独立思索，当堂练习数学来源于实践，又应用于实践。在例题中，老师把新课引入的实际问题，在结束前引导学生运用所学学问加以解决，注意培育学生解决实际问题的实力。首尾呼应，形成一个课堂教学的整体。六、课堂回顾，画龙点睛通过本节课的学习你有哪些想法和收获？小组探讨后师生共同小结师生共同回顾学习内容，有助于学生将学问系统化，条理化，帮助学生全面理解、驾驭所学学问，同时可说明弦的中点、弧的中点都集中在垂直于弦的直径上，对学生进行数学美育教化。七、课后作业结合学生的实际状况，为了更好地因材施教，我的作业题分为必做题
10、与选做题，刚好巩固学问，达到课堂内容的延长，调动学生学习主动性，提高学生思维的广度，培育学生良好的学习习惯及思维品质。特性化教学为学有余力的学生所做的调整:为了更好地因材施教，我的作业题分为必做题与选做题，选做题：有一石拱桥是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m是否须要实行紧急措施？请说明问题为须要帮助的学生所做的调整:老师参加到探讨当中，做弱势小组的组织者和指导者形成性检测学问点编号学习目标检测题的内容1理解让学生拿出事先打算好的圆形纸片，想想能否通过折叠的方法找到该圆的圆心？为什么？2应用依据上面的证明，请学生自己用文
11、字语言和符号语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”.与同伴沟通。3迁移思索、探究赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦ab的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即ab所在圆的半径）是多少？形成性评价形成性练习题中的基础题完成得很好，但对于学问迁移的思索题，部分学生解答得不是特殊好。通过课堂教学发觉学生的学问点驾驭较好，学习中投入性与主动性特别高，也乐于发表自己的见解，取得了很好的教学效果。多媒体课件能较好的解决教学的重难点，既提高了教学效率，学生又特别感爱好。五、板书设计课题：垂径定理一、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
12、对的两条弧。已知（1）CD过圆心（2）CDAB于E则（a）AE=BE（b）AD=BD（c）AC=BC垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。已知（1）CD过圆心（2）AE=BE（AB不是直径）则（a）CDAB于E(b）AD=BD（c）AC=BC二、垂径定理的应用：1、解决有关弦、弧、半径等问题的计算、证明（和作图）2、解决某些实际问题（如拱桥等）强化应用意识。3、常用的协助线：（1）作半径；（2）过圆心作弦的垂线段。4、常用解法：（1）勾股定理；（2）解直角三角形 九年级数学上册垂直于弦的直径学案分析 九年级数学上册垂直于弦的直径学案分析 【教学内容】垂直于弦的
13、直径【教学目标】1学问目标：通过视察试验，使学生理解圆的轴对称性；驾驭垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；驾驭协助线的作法作弦心距。2实力目标：通过定理探究，培育学生视察、分析、逻辑思维和归纳概括实力；向学生渗透“由特别到一般”的基本思想方法。3情感目标：通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发觉数学问题的爱好，培育学生大胆猜想、乐于探究的良好品质；培育学生视察实力，激发学生的新奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得胜利的体验。【教学重点】垂径定理及其应用。【教学难点】垂径定理的语言表述。【教学方法】探究发觉法和直观演示法【教学资源与工具设计】1.每位学生打算几张圆形纸片和作
14、图工具；2.老师打算一张圆形纸片和自制的多媒体课件；3上课环境为多媒体大屏幕环境。【教学设计】一、垂直于弦的直径教学设计教学活动设计：二、教学过程设计：（一）创设情境引入新课垂直于弦的直径教学设计1利用多媒体演示赵州桥图片同学们，这座桥是我国隋代工匠李春建立的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创建才智。2导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距
15、离，也叫弓形高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？通过本节课的学习，我们将能很简单解决这一问题。（二）垂直于弦的直径教学设计动手实践，发觉新知同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，有方法的同学请举手。问题：在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆_刚才的试验说明圆是_，对称轴是经过圆心的每一条_。3.板书圆的轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的随意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。（三）创设情境，探究垂径定理1.画一画垂直于弦的直径教学设计在圆中作图：(1)随意作一条弦AB；(2)作直径CD，使CDAB，垂足为E。说明CD是垂于弦的直径。（板书课题：垂
16、直于弦的直径）2.问题（1）这个图形是轴对称图形吗？假如是，它的对称轴是什么？（2）你能发觉图中有哪些相等的线段和弧？为什么？3.试验视察猜想让学生折叠圆形纸片得出结论，分小组探讨，找出图中相等的量。老师在学生充分视察对折后的图片的几何性质后，将学生分析得到的几何等量关系在黑板上板书，为数学符号语言翻译定理奠定基础。4.归纳定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理的几何语言叙述:5.议一议垂直于弦的直径教学设计垂直于弦的直径教学设计假如把定理中的CDAB换为AE=BE(用多媒体课件展示)时，那么CDAB吗？垂直于弦的直径教学设计吗？分小组探讨，得出结论，让学生证
17、明后，试着用语言叙述，用多媒体展示出。平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。把右图展示给学生，弦AB和CD相互平分，但CDAB吗？填出上面的空（非直径）推论的符号语言：CD为直径，AE=BE（AB非直径）CDAB垂直于弦的直径教学设计6.定理的巩固找一找在下列哪个图中有垂直于弦的直径教学设计垂直于弦的直径教学设计垂直于弦的直径教学设计垂直于弦的直径教学设计垂直于弦的直径教学设计垂直于弦的直径教学设计（四）例题示范，变式练习垂直于弦的直径教学设计【例1】如图，在O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”，所以要作协
18、助线OEAB；因为要求半径，所以还要连结OA。解：（略）引导学生归纳：此类问题可以归结为直角三角形求解。“过圆心作弦的垂线段”，构成三边为“半径半弦弦心距”（略释弦心距的含义）的直角三角形的“七字口诀”，然后结合勾股定理得出三边的数量关系：垂直于弦的直径教学设计【例2】垂直于弦的直径教学设计（五）应用迁移巩固提高垂直于弦的直径教学设计1.如图是一条排水管的截面。已知排水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。求水的最大深度.2.以上是垂径定理在计算中的基本应用方法，那么在证明题中又能怎样应用定理呢？展示练习2：如图，已知在两同心圆O中，大圆弦AB交小圆于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系?
19、垂直于弦的直径教学设计垂直于弦的直径教学设计垂直于弦的直径教学设计例2图变式1变式2这是一道开放性题目，结论并不难猜，有例1做基础，也很好证明。变式1，如图，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论ACBD还成立吗?变式2，如图，连结OA，OB，设AOBO，求证ACBD变式3，连结OC，OD，设OCOD，求证ACBD垂直于弦的直径教学设计垂直于弦的直径教学设计变式3变式4变式题组的给出，则利用几何画板的功能，展示出图形之间的内在关系，增加学生的识图实力，揭示解决问题的关键-过圆心向弦做垂线。变式题组由A、B层学生抢答，精彩者上个人英雄榜，调动学生的主动性。变式4，当弦AB移到与小圆只有一个交点时
20、，AC与BC相等吗?垂直于弦的直径教学设计2.你能找到原来镜子的圆心吗?（六）总结反思拓展升华1.本节学习的数学学问是圆的轴对称性和垂径定理及其推论。留意：（1）定理的几种基本图形。（2）计算中三个量的关系垂直于弦的直径教学设计。垂直于弦的直径教学设计(3)证明中常用的协助线作弦心距。2.本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。思索如图，O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是。（七）作业87页第一题，88页第8，9，10题（八）板书设计 线段的垂直平分线学案 新泰试验中学1112学年上学期八年级数学第1章学案12线段的垂直平分线 学习目标：1、理解线段垂直平
21、分线的概念，驾驭线段垂直平分线的性质。2、能运用线段的垂直平分线的性质解决简洁的实际问题。3、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。重难点：重点：1、驾驭线段垂直平分线性质。2、能运用线段的垂直平分线的性质解决简洁的实际问题。难点：1、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。2、能运用线段的垂直平分线的性质解决简洁的实际问题。学习过程：一、情境思索：如图所示，马路AB旁边有两个村庄C,D，要在马路边建一个车站，为了便利起见，要求这个车站到两个村庄的距离相等，你能找出这个车站吗？ 二、探究新知（一）探究学问一1、学生自主学习课本第8页：试验与探究，第9页沟通与发觉2、成果沟通，归纳提升A:
22、(1)于线段，并且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线.线段是图形，它的一条对称轴是B:线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的随意一点到的距离.3、应用：如图1：MN是线段AB的垂直平分线，E是MN上一点，则EA与EB有什么关系？为什么？答：因为所以图1.4、练习：（1）、如图2:在直角三角形中C=900，DE是斜边AB的垂直平分线，则DA=_为什么？假如CD=1cm,BD=2cm,则AC=_cm. 图2.（2）如图3：线段AB的垂直平分线l交AB于点N，M为直线l上任一点，若AB=2cm,MAB的周长为10cm,则MA=_cm (二)探究二：能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线图3.我们能
23、用折叠的方法作出线段的垂直平分线，还可以用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线，怎么做呢？请你自学第9页例题并尝试做一做。已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线作法：（1） 你能用折叠的方法验证上面尺规作图的正确吗？巩固练习：课本P9练习第1题课本P10习题A组第1、2题三、巩固与拓展 1.在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(0,4),B坐标为(6,0).那么线段OA与OB垂直平分线的交点P的坐标为（）2、已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在上。3、已知：如图，BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则ADC=。4、ABC中，A=500，AB=AC,AB的垂直平分线交AC
24、于D则DBC的度数。5、ABC中，DE、FG分别是边AB、AC垂直平分线，则BBAE，CGAF，若BAC=1260，则EAG=。6、如图，ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则BCD的周长是。 7、如图所示，已知等腰ABC，AB边的垂直平分线交另一腰AC于D，且AB=AC=8，BC=6，求BDC的周长。 四、课堂小结：本节课你学到了哪些学问，最大的收获是什么？并与同学沟通。五当堂测试A：夯实基础：1、线段的垂直平分线（中垂线）：垂直并且一条的直线，称为这条的垂直平分线，线段垂直平分线上的到这条线段两个的距离。2在ABC中，AB=AC=6cm，AB的垂直平分线与AC相交于E
25、点，且BCE的周长为10cm，则BC=_cm3.下列说法中，正确的有（）（1）与线段垂直的直线上的随意一点到线段的两个端点的距离相等；（2）过线段中点的直线上的随意一点到线段的两个端点的距离相等；（3）平面上存在一点P，它到长度为4厘米的线段的两端点的距离可以同时为2厘米，也可以同时为5厘米。A、0个B、1个C、2个D、3个4.若点P是线段AB的垂直平分线上随意一点，且PA=3厘米，则PB=厘米，AB6厘米（填“大于，小于，不大于，不小于或等于”）5、如图5，点A,B是两家大型工业企业，现要建一座水电站，向这两家企业输送电力资源，问：电站建在哪里才能使送电量相同？B：实力提高3.如图6，在ABC中，AB=AC=16cm,AB的垂直平分线交AC于D,假如,BC=10cm，那么BCD的周长是cm 五.自我评价项目等级ABCD驾驭学问的状况参加活动的主动性给自己一句激励的话 第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页