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1、一个数能被2或5整除，当且仅当其末一位数能被2或5整除；一个数能被4或25整除，当且仅当其末两位数能被4或25整除；一个是能被8或125整除，当且仅当其末三位数能被8或125整除。一个数被2或5除得的余数，就是其末一位数被2或5除得的余数。一个数被4或25除得的余数，就是其末两位数被4或25除得的余数。一个数被8或125除得的余数，就是其末三位数被8或125除得的余数。一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除；一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除；一个数能被3除得的余除，就是其各位数字和被3除得的余数；一个数能被9除得的余数，就是其各位数字和被9除得的余数。7整除判定根本法
2、那么一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，及剩下的数之差为7的倍数；一个数是7的倍数，当且仅当其末三位数，及剩下的数之差为7的倍数。11整除判定根本法那么一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和及偶数位之和的差为11的倍数；一个数是11的倍数，当且仅当其末三位数，及剩下的数之差为11的倍数。13整除判定根本法那么一个数是13的倍数，当且仅当其末三位，及剩下的数之差为13的倍数。奇偶特征1.二个奇数之和/差为偶数，二个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数；2.两个数的和/差为奇数，那么它们奇偶相反，两个数的和/差为偶数，那么它们奇偶一样；3.两个数的和为奇数，那么其差也为奇数，两个数的
3、和为偶数，那么其差也为偶数。经济利润问题“利润率的定义和计算公式：利润率=利润本钱=售价-本钱本钱。折扣的概念，如“二折即现价为原价的20，“九折即现价为原价的90.常规计算问题我们把类似20022002或者198198198这样的数叫做“循环数，考生一定要熟练掌握这种树的因数分解，比方20022002=2002*10001，198198198=198*10011001，注意算清楚位数。乘方位数1. 底数留个位；2. 指数末二位除以4留余数余数为0那么看作4。乘方余数1. 底数除以7留余数；2. 指数除以6留余数余数为0那么看作6。等差数列求和公式：和=首项+末项*项数/2=平均数*项数=中位
4、数*项数等差数列项数公式：项数=末项-首项/公差+1 等差数列级差公式：第N项-第M项=N-M*公差两集合标准型满足条件的个数+满足条件的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数三集合标准型ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC三集合整体重复型在三集合的题型中，假设满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中：满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z,根据条件可得到下面两个等式：W=x+y+z A+B+C=x*1+y*2+z*3排列组合加法原理：分类用加法 排列：及顺序有关乘法原理：分步用乘法 组
5、合：及顺序无关1. 相邻问题-捆绑法：先考虑相邻元素，然后将其视为一个整体；2. 不邻问题-抽空法：先考虑剩余元素，然后将不邻元素抽入所成间隙之中。错位排列问题：有N封信和N个信封，每封信都装在自己的信封里，可能的方法的种树记做Dn,那么D1=0，D2=1，D3=2，D4=9， D5=44请牢记这五个数。概率问题概率=满足条件的情况数/总的情况数总体概率=满足条件的各种情况概率之和；分步概率=满足条件的每个步骤概率之积。某条件成立概率=1-该条件不成立的概率。几何概率：满足条件的概率=满足条件的几何区域面积/总几何面积；条件概率：“A成立时“B成立的概率=A、B同时成立的概率/A成立的概率；概
6、率期望：各个实现值乘各自的概率，最后再相加。抽屉原理最不利原那么：考虑对需要满足的条件“最不利的情形，最后+1即可。溶液问题溶液=溶质+溶剂；浓度=溶质/溶液；溶质=溶液*浓度；溶液=溶质/浓度。浓度分别为的溶液a、b，质量分别为M，N，交换质量L后浓度都变成c，那么1c= a*M+ b* N/M+N2M-L/L= L/ NL L= M*N/ M+N1.溶液倒出比例为a的溶液，再参加一样的溶液，那么浓度变成原来的1+a.2.溶液参加比例为a的溶剂，再倒出一样的溶液，那么浓度变成原来的1/1+a工程问题：工作量=时间*效率；核心思想：转化归一设“1法牛吃草问题：核心公式：y=(N-x)*T.1.
7、 y代表原有存量比方“原有草量2. N代表促使原有存量减少的变量比方“牛数3. T代表存量完全消失所耗用的时间4. x代表存量的自然增长速度比方“草长速度。牛羊混吃型当题目中有牛有羊时，需要将其全部转换为牛或者羊，再代入公式进展计算。自然消亡型：如果解方程组算的x为负，说明存量不是自然增长而是自然消亡的大小草场型如果草场有面积的区别，如“M头牛吃W亩草时，N用“M/W代入，此时N代表单位面积上的牛数。钟表问题1. 设钟表一圈分为了12格，那么时针每小时转1格，分针每小时转12格。2. 时针一昼夜转2圈，1小时转1/12圈；分针一昼夜转24圈，1小时转1圈。3. 钟面上每二格之间为30，时针及分
8、针成某个角度一般都有对称的二种情况。钟表问题追及公式：T=T0+1/11T0.其中：T为追及问题，即分针和时针“到达条件要求的真实时间。T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“到达条件要求的虚拟时间。快慢坏表问题本质：比例问题。解题关键：抓住“标准比，按比例计算。小数分数型我们在研究“最大公约数及“最小公倍数的时候，一般都是在整理范围内进展讨论。实际操作当中，我们还可能碰到小数或者分数的情形，这时我们可以按以下步骤进展求解：1. 将给定的小数或分数乘以同样的一个数N可以不是整数，使之全部变为整数；2. 求解第一步得到的这些整数的最大公约数及最小公倍数；3. 将第二步得到的最大公约数及最小公
9、倍数分别除以N，既得结果。页码用字型三位数的页码是考试的重点，牢记如下换算公式：页码=数字/3+36同余口诀型“余同取余，和同取加，差同减差，公倍数做周期1. 余同：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么取1，表示为60n+12. 和同：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，那么取7，表示为60n+73. 差同：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，那么取-3，表示为60n-3选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍即例中的60n都满足条件。注意：n的取值范围为整数，即可以去负值，也可以取零值。日期加总型当条件中出现“连续多个日期之和或“连续某个星期几的日期之和时，这
10、些日期本质上都是等差数列，可以通过计算其“平均数来定位这些日期中的“中位数从而完成答题。日期推断型在计算两个日期之间一共有多少天的时候，我们应该先进展“整月计算即先计算不同月的同一日期相差多少天，然后再根据条件要求进展修正。在进展“整月计算的时候，我们先假设每个月都是标准天数，即30天，然后根据各月及30天的差异进展修正。星期推断型当题目要求我们推断某日是星期几的时候，如果条件日期及提问日期相差不到一年，我们可以利用上一题型的方法来计算相差日期。如果条件日期及提问日期相差假设干年时，我们一般利用下面的简便方法来消除整年的影响；如果所有的年都是闰年，那么每年都是365天，而365/7=521，那
11、么问“365天之后即1年之后星期几就等同于问“1天之后星期几，问“N年之后星期几就等同于问“N天之后星期几，即把任何一年当做一天。而事实上，闰年跟平年比仅仅多了一个“2月29日，那么在进展实际计算的时候，我们先假设“一年就是一天，再计算两个日期之间包含了多少个“2月29日，再把这些天补上即可。行程问题路程=速度*时间“变速运动实质上就是“分段运动，关键是抓住每段运动的“路程=速度*时间。此外，各段路程之和等于总路程，各段时间之和等于总时间。提前了多长时间出发，就相当于用时多了多长时间。迟到多少时间，用时就多多少少时间；早到多少时间，用时就少多少时间。行程问题根本比例：S甲/S乙=v甲/v乙*t
12、甲/t乙T假设相等，S及v成正比；v假设相等，S及t成正比；S假设相等，v及t成反比。间歇运动型固定目标：先考虑对应的非间歇运动的时间，再参加休息时间即可。移动目标：考虑及选项相近的一个整周期，代入其中进展计算。Vt=v0+at S=v0t+1/2at2=(v0+vt)*t/2相遇追及型相遇问题：相遇距离=大速度+小速度*相遇时间追及问题：追及距离=大速度-小速度*追及时间。背离问题：背离距离=大速度+小速度*背离时间环形运动型反向运动：环形周长=大速度+小速度*相遇时间同向运动：环形周长=大速度-小速度*相遇时间流水行船型顺流路程=顺流速度*顺流时间=船速+水速*顺流时间逆流路程=逆流速度*
13、逆流时间=船速-水速*逆流时间扶梯上下型1.“扶梯上下型本质上是“流水行船问题，但有自己独特的题型和解法2.“扶梯总长在题目当中一般被描述为“扶梯露在外面的阶数。3.扶梯总长=人走的阶数*1v梯/v入，顺行用加法，逆行用减法。队伍行进型对头队尾：队伍长度=人速+队伍速度*时间队尾对头：队伍长度=人速-队伍速度*时间往返相遇型左右点出发：第N次迎面相遇，路程和=全程*2N-1；第N次追上相遇，路程差=全程*2N-1。同一点出发第N次迎面相遇，路程和=全程*2N；第N次追上相遇，路程差=全程*2N。弃九推断在整数范围内+、-、*、三种运算当中，我们可以使用“弃九法来排除选项：1. 在计算时，将计算
14、过程中数字全部除以9，留其余数进展一样的计算。2. 计算时，如果数字不在0-8之间，通过加上或减去9或9的倍数，到达0-8之间3. 将选项除以9留其余数，及上面计算结果对照，得到答案。植树型1. 单边线型植树公式：棵树=总长/间隔+1；总长=棵树-1*间隔。2. 单边环型植树公式：棵树=总长/间隔；总长=棵树*间隔。3. 单边楼间植树公式：棵树=总长/间隔-1；总长=棵树+1*间隔。4. 双边植树问题公式：相应单边植树问题所需棵树的2倍。排队型假设队伍共有N人，A排在第M位，那么A前面有M-1人，后面有N-M人。爬楼型从地面爬到第N层楼，要爬N-1层，从第M层楼爬到第N层楼，要爬M-N人。截管
15、型将钢管截成N段，需要截N-1次。比赛问题N支队伍进展循环赛每支队伍需要和其他任意队伍进展一次比赛，所以每支队伍需要进展N-1场比赛，由于每场比赛都是2个队伍共同进展，所以总场应该为N(N-1)/2年龄问题“年龄差不变是题型的核心所在。拆数求积型将一个正整数2拆成假设干自然数之和，要使这些自然数的乘积尽可能的大，那么我们应该这样来拆数，全部拆成假设干个3和少量20个2，1个2，2个2之和即可。空瓶换酒型我们一般将“M个空瓶换N瓶酒转化为“M-N个空瓶换N个无瓶酒来完成答题。乘船过河问题核心公式：M个人过河，船上能载N个人，由于需要一人划船，故共需过河M-1/N-1次，分子、分母分别减“1是因为
16、需要1个人划船，如果需要n个人划船就要同时减去n青蛙爬井问题可转化为乘船过河问题，因此可以使用一样的公式。勾股定理勾股定理：a2+b2=c2(其中a、b为直角边c为斜边)常用勾股数直角边369121551078直角边4812162012242415斜边51015202513262517分割求解型将一个整体图形分割为多个局部，利用整体及局部之间的关系来求解。嵌套求补型当两个规那么图形存在“包含关系的时候，“大规那么图形挖去“小规那么图形所剩下的形状往往是不规那么的，其面积必然是两个规那么图形的差，我们称这一类几何题型为“嵌套求补型等比放缩型一个几何图形，假设其尺度变为原来的m倍，那么：1. 所有
17、对应角度不发生改变。2. 所有对应长度变为原来的m倍。3. 所有对应面积变为原来的m2倍。4. 所有对应体积变为原来的m3倍。几何最值型1. 平面图形中，假设周长一定，越接近于圆，面积越大。2. 平面图形中，假设面积一定，越接近于圆，周长越小。3. 立体图形中，假设外表积一定，越接近于秋，体积越大。4. 立体图形中，假设体积一定，越接近于秋，外表积越小。三边关系型三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。重复剔除型1平均分组时，一旦有N个组人数一样，最后都要除以ANN以剔除重复情形。2.N人排成一圈，有ANNN种串法。3.N枚珍珠串成一条项链，有ANN2N种串法。指数增长如果一个
18、量，每个周期后变成原来的A倍，那么N个周期后就是最开场的AN倍，1个周期前应该是当时的1/A.总体平均数：总和=平均数*个数条件假设是给出“等差数列，我们可以通过计算其“平均数来得到数列的“中位数当数字较大时，我们可以假定平均数为0以得到各个数字的相对大小，从而简化计算。在这种情况下，数字的相对总和也是为0的不变数沿途数车计算途中所见车辆的出发时间，从而确定可以遇到的车的数量。基期及现期概念含义在资料分析中，涉及某个统计指标发生变化时，经常是一个时期的量相对于另一个时期的量发生变化。此时，作为比照根底的时期称为根底时期简称基期，而相对于基期的另一个时期称为现在时期简称现期。例如表述为“及时刻相
19、比，时刻的某量发生某种变化时，时刻为基期，而时刻为现期。考察分析资料分析中最常见的考察方式就是对不同时期的数据进展比拟，因此基期及现期是一组重要的根底概念。但考试中，根本不会直接考察基期及现期，而是作为理解增长率等概念的根底。在谈及变化时，一定要有基期数据才可以判断。百分数及百分比概念含义百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，可叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数的形式，而采用符号%百分号来表示。百分数是指不同时期以百分数形式表示的相对指标如：速度、指数、构成等的变动幅度。考察分析百分数及百分点是数据呈现的形式，前者对应增长率、比重等，后者对应百分数的变化情况，二者的区别在于：A 百分
20、数通常用来描述实际量的变化情况，例如旅游人数、生产总值、产量等，而百分点通常用来描述百分数。B 百分数的计算通常为“先减后除，也即先做现期值及基期值的差，再用差值及基期值相除得到；而百分点的计算通常为“只减不除，也即直接将两个百分数直接想减并去除百分号，而不做除法。拉动.增长几个百分点=现期某局部增加值/总体基期值*100现期某局部增加值=拉动.增长几个百分点*总体基期值/100同比及环比概念含义同比是指和某一一样事情比方去年同一时期相比拟而发生的量的增加。环比增长是指和上一个时期相比拟而发生的量的增加，包括日环比、月环比、年环比。考察分析同比及环比是最常见的两种比拟方式，在考试中是以根底概念
21、出现，考题会直接涉及同比或环比的增长或减少情况。二者的区别在于选择基期的不同，但当谈及全年情况时，同比及环比实际上是一回事，例如“2021年进口总值同比.及“2021年进口总值环比表达意思一致。同比增长速度=本期数值-上一年同期数值/上一年同期数值*100%同比模型模型1：某时期具体数值A及其同比增长速度r，待求上一年同期具体数值B。计算公式“B=A/1+r模型2：某时期具体数值A及其同比增长速度r，待求该时期的同比增长量C。计算公式“C=A/1+r*r比重及比值概念含义比重是指局部在整体中所占的分量，通常以百分数表示，因此又称百分比。比值是指二个同类量相比所得的值，即前项除以后项所得的商。上
22、述二者都可以用比例来表示。如：A.在所销商品中，国货的比例最大。此句中意同比重 B.教师和学生的比例已经到达要求。此句中意同比值考察分析比重、比值是资料分析的常考概念，题目较多，但难度不高。整体及局部模型模型1：假设某整体C由多个局部Mi(i=1,n)组成，那么整体值等于各局部值之和。计算公式：C=M1+M2+Mn模型2：整体中的任一局部之值等于整体值减去其余各局部值。计算公式：M=C-( M1+.+Mi-1+ Mi+1+Mn)由此公式，可知任一局部所占比重等于1减去其余各局部所占比重。所以局部的比重之和始终为1，因此不可能出现所以局部所占比重均上升的情形。当某一局部的增长率高于整体的平均增长
23、率时，其所占比重上升。反之，当某一局部的增长率低于整体的平均增长率时，其所占比重下降。此结论常用于判定比重变化趋势。模型3：由二局部A及B组成整体C。计算公式：C=A+B十字穿插法：量A及B构成总量A+B，其中量A的“平均值为a，量B的“平均值为b此处“平均值可以为增长率、平均分、价格、产量、浓度等，混合而成的A+B的“平均值为r(r必然介于a及b之间)，那么A/B=r-b/a-r。一般写成如下形式：A a r-b / r / B b a- r当a、b表示增长率时，那么得到的比例是未增长之前的比例，增长之后的比例还应乘以各自的增长率。那么A/B=r-b(1-a)/(a-r)(1+b)倍数及翻番
24、概念含义倍数是一个量及另一个量的比值；翻番那么指数量翻倍。二者都表示两个指标之间的比值关系，但前者是算术级，后者是几何级。例如根底量为A，假设另一量是根底量的n倍，那么另一量值为n*A;假设另一量是根底量翻n番，那么另一量值为2nA考察分析倍数是对两个值的一种比拟方式，在资料分析屡次考察。翻番通常是在判断说法是否正确的题目中出现。知识拓展：特别注意，“增长了n倍及“为的n倍两者之差异；增长了n倍，那么实际变为原来的n+1倍。因此在计算增长多少倍时，有两种计算方法：方法1：现期值减去基期值得到增长量，增长量除以基期值得到增长倍数。方法2：现期值除以基期值得到倍数，再减去1得到增长倍数。平均数及中
25、位数概念含义在一组数据中，所有数据之和除以数据的个数，所得到的数既为平均数。一组数据按从小到大或从大到小的顺序依次排列，处于最中间位置的一个数就是中位数。假设该组数据的个数为偶数个，中位数那么为最中间两个数的平均数。考察分析平均数及中位数是资料分析的两个重要概念，反映了一组数据的平均水平，在考试中时有出现，难道不大。增长量及增长率概念含义增长量是指现期量及基期量之差，其中现期量高于基期量，用以表示具体量的决定变化；增长率时增长量及基期之比值，用以表示具体量的相对变化，又称增长幅度、增幅、增长速度、增速考察分析增长量及增长率是资料分析中最重要的两个概念，是考察的热点及重点。基于增长量及增长率的模
26、型众多，是计算的主要模型来源。在谈到增长率时，一定要有基期，否那么无法判定是否增长。这类增长陷阱在考试中常见。知识拓展：增长量及增长率的类似概念分别为减少量及减少率。相对应情况比照方下：增长量=现期量+基期量减少量=基期量-现期量增长率=增长量基期量100%减少率=减少量基期量100%现期量=基期量1+增长率现期量=基期量1-减少率基期量=现期量1+增长率基期量=现期量1-减少率题干中假设出现“增长最多少，是指“增长量最多少；假设出现“增长最快慢，是指“增长率最高低。这两个概念的相似性是命题的常见陷阱。在知道现期值A及增长率r,那么基期量=A/1+r，由于r通常较小10%，计算此分数较为麻烦，
27、也不适合估算。计算技巧为：速算公式1：A/1+rA(1-r)，用于现期量及增长率，待求基期量。速算公式2：A/1-rA(1+r)，用于现期量及减小率，待求基期量。使用情况：r值较小，通常小于10%。模型1：现期值A及增长率r，那么增长量=Ar/1+r模型2：当题目比拟两个增长率时，例如B相对A的增长率及D相对C的增长率进展比拟大小，可直接比拟B/A及D/C的大小，而不需要计算完整的增长率。模型3：两期混合增长模型。对某个量，基期量为A，第一期的增长率为r1，第二期的增长率为r2，那么从基期到第二期的增长率为r=r1+r2+r1r2 此公式计算结果为准确值，并非近似值。多期公式也可以讲起转化为两
28、期混合增长模型求出。当r1、r2均为正数时，由公式还可得rr1r2 ，常用于选项正误判断。模型4：等速增长模型。对某个量。基期量为A，第一期量为B，第二期量为C，第一期及第二期的增长率一样，那么有A、B、C成等比数列。计算公式：基期量A及第一期量B，那么等速增长时，第二期量为C=B2A计算公式：基期量A及第一期量B，那么等速增长时，第二期量满足：C2B-A指数及实际值概念含义实际值是指事物变化的绝对值，而指数通常用于衡量某种要素相对变化的指标量，表示的是相对变化情况，而非其绝对值大小，例如纳斯达克指数、物价指数、房地产平均价格指数、景气指数等等。在指数定义中，通常先将基期的指数定为100，然后将其他时期的量除以基期量，所得比值在乘以100即为其对应的指数。考察分析指数是资料分析的考察热点，无论作为内容还是考察技巧，指数具有独特的侧重方面。注意指数的趋势图不能单纯根据曲线斜率来判断增长快慢。指数之所以能够反映出指标量的相对变化情况，是因为它具有如下两条性质：性质1：相应两期指数的比=相应两期实际值的比性质2：指数的增长率=实际值的增长率