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1、二次函数压轴之矩形问题1（2015宜宾）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别相交于点A（2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P.（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H.当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；是否存在这样的点F，使PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。2（2015成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax 22ax3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：ykxb与y
2、轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为 ，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由xyOABDlC备用图xyOABDlCE3.（2013衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=1（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发
3、以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，解得：a=1，k=4，抛物线的解析式为：y=（x+1）2+4（2）四边形OMPQ为矩形，OM=PQ，即3t=（t+1）2+4，整理得：t2+5t3=0，解得t=，由于t=0，故舍去，当t=秒时，四边形OMPQ为矩形；RtAOB中，OA=1，OB=3，tanA=3若AON为等腰三角形，有三
4、种情况：（I）若ON=AN，如答图1所示：过点N作NDOA于点D，则D为OA中点，OD=OA=，t=；（II）若ON=OA，如答图2所示：过点N作NDOA于点D，设AD=x，则ND=ADtanA=3x，OD=OAAD=1x，在RtNOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，即（1x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去），x=，OD=1x=，t=；（III）若OA=AN，如答图3所示：过点N作NDOA于点D，设AD=x，则ND=ADtanA=3x，在RtAND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，即（x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=（舍去），OD=1x=1，t=
5、1综上所述，当t为秒、秒，（1）秒时，AON为等腰三角形4.（2013常德）如图，已知二次函数的图象过点A（0，3），B（，），对称轴为直线x=，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PMx轴于点M，PNy轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+）2+k，点A（0，3），B（，）在抛物线上，解得：a=1，k
6、=抛物线的解析式为：y=（x+）2=x2+x3（2）证明：如右图，连接CD、DE、EF、FCPMx轴于点M，PNy轴于点N，四边形PMON为矩形，PM=ON，PN=OMPC=MP，OE=ON，PC=OE；MD=OM，NF=NP，MD=NF，PF=OD在PCF与OED中，PCFOED（SAS），CF=DE同理可证：CDMFEN，CD=EFCF=DE，CD=EF，四边形CDEF是平行四边形（3）解：假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=m，MC=m，MD=n，PF=n若四边形CDEF为矩形，则DCF=90，易证PCFMDC，即，化简得：m2=n2，m=n，即矩形PMON为正方形点P为抛物线y=x2+x3与坐标象限角平分线y=x或y=x的交点联立，解得，P1（，），P2（，）；联立，解得，P3（3，3），P4（1，1）抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1（，），P2（，），P3（3，3），P4（1，1）