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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二次函数压轴之矩形问题1（2022 宜宾）如图,抛物线y=1 2x2+bx+c 与 x 轴分别相交于点A（2,0）、 B（4,0）,与 y 轴交于点C,顶点为点 P. （1）求抛物线的解析式；（2）动点 M、N从点 O同时动身,都以每秒 1 个单位长度的速度分别在线段 OB、OC上向点 B、C方向运动,过点 M作 x 轴的垂线交 BC于点 F,交抛物线于点 H. 当四边形 OMHN为矩形时,求点 H的坐标；是否存在这样的点 F,使 PFB为直角三角形？如存在,求出点 F 的坐标；如不存在,请说明理由；yHPCFANB名师归纳总
2、结 OMx第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载22（2022 成都）如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ax 2ax3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A在点 B 的左侧）,经过点 A 的直线 l ：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C,与抛物线的另一个交点为 D,且 CD 4AC（1）直接写出点 A的坐标,并求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示）；5（2）点 E是直线 l 上方的抛物线上的动点,如ACE的面积的最大值为 4,求 a 的值；（3）设 P是抛物线的对称轴上
3、的一点,点 Q在抛物线上,以点 A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？如能,求出点 P 的坐标；如不能,请说明理由y y E A C O B x A C O B x D l D l 备用图名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. （2022.衡阳）如图,已知抛物线经过精品资料欢迎下载x= 1A（1,0）,B（0,3）两点,对称轴是（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点 Q从点 O动身,以每秒1 个单位长度的速度在线段OA上运动,同时动点M从 M从 O点动身以每秒3 个单位长度的速度在线段OB上运动,过点Q作 x
4、 轴的垂线交线段AB于点 N,交抛物线于点P,设运动的时间为t 秒当 t 为何值时,四边形OMPQ为矩形； AON能否为等腰三角形？如能,求出t 的值；如不能,请说明理由解：（1）依据题意,设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k,点 A（1, 0）,B（ 0,3）在抛物线上,抛物线的解析式为：y= （ x+1）2+4,解得： a= 1,k=4,（2）四边形OMPQ为矩形, OM=PQ,即 3t= （t+1 ）2+4,整理得： t2+5t 3=0,解得 t=,由于 t=0,故舍去,当 t=秒时,四边形OMPQ为矩形；Rt AOB中, OA=1,OB=3, tanA=3 如 AON为等腰三角形
5、,有三种情形：（I ）如 ON=AN,如答图 1 所示：过点 N作 NDOA于点 D,就 D为 OA中点, OD= OA= , t=；（II ）如 ON=OA,如答图 2 所示：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载过点 N作 NDOA于点 D,设 AD=x,就 ND=AD. tanA=3x ,OD=OA AD=1 x,在 Rt NOD中,由勾股定理得：OD 2+ND 2=ON 2,OD=1 x=, t=；即（ 1 x）2+（3x）2=1 2,解得 x 1=,x 2=0（舍去）, x=（III）如 OA
6、=AN,如答图 3 所示：过点 N作 NDOA于点 D,设 AD=x,就 ND=AD. tanA=3x ,在 Rt AND中,由勾股定理得：ND 2+AD 2=AN 2,即（ x）2+（ 3x）2=1 2,解得 x1=,x2=（舍去）, OD=1 x=1, t=1综上所述,当 t 为 秒、秒,（1）秒时,AON为等腰三角形4. （2022.常德）如图,已知二次函数的图象过点 A（0, 3）,B（,）,对称轴为直线 x=,点 P 是抛物线上的一动点, 过点 P 分别作 PMx 轴于点 M,PNy 轴于点 N,在四边形 PMON上分别截取 PC= MP,MD= OM,OE= ON,NF= NP（1
7、）求此二次函数的解析式；（2）求证：以 C、D、 E、F 为顶点的四边形 CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点 P,使四边形 CDEF为矩形？如存在,恳求出全部符合条件的 P点坐标；如不存在,请说明理由（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+）2+k,点 A（0, 3）,B（,）在抛物线上, ,解得： a=1,名师归纳总结 k=抛物线的解析式为：y=（x+）2=x 2+x 3第 4 页,共 5 页（2）证明：如右图,连接CD、DE、EF、FC PMx 轴于点 M,PNy 轴于点 N,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下
8、载四边形 PMON为矩形, PM=ON,PN=OM PC= MP,OE= ON, PC=OE；MD= OM, NF= NP, MD=NF, PF=OD在 PCF与 OED中, PCF OED（SAS）, CF=DE同理可证：CDM FEN, CD=EFCF=DE,CD=EF,四边形 CDEF是平行四边形（3）解：假设存在这样的点 P,使四边形 CDEF为矩形设矩形 PMON的边长 PM=ON=m,PN=OM=n,就 PC= m, MC= m,MD= n,PF= n如四边形 CDEF为矩形,就 DCF=90 ,易证PCF MDC,即,化简得： m 2=n 2, m=n,即矩形 PMON为正方形点 P为抛物线 y=x 2+x 3 与坐标象限角平分线 y=x 或 y= x 的交点联立,解得, P1（,）,P2（,）；联立,解得, P3（ 3,3）,P4（ 1,1）抛物线上存在点 P,使四边形 CDEF为矩形 这样的点有四个,在四个坐标象限内各一个,其坐标分别为：P1（,）,P2（,）,P3（3,3）,P4（1,1）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页