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1、圆锥曲线与向量的综合性问题一、常见基本题型： 在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。(1) 问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质，例1、设，点在轴的负半轴上，点在轴上，且 当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程； 解：（解法一），故为的中点 设，由点在轴的负半轴上，则 又， 又， 所以，点的轨迹的方程为 （解法二），故为的中点 设，由点在轴的负半轴上，则 - 又由，故，可得 由，则有，化简得： 所以，点的轨迹的方程为 例2、已知椭圆的方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点 重合，离心率，过椭圆的
2、右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆 于、两点 （1）求椭圆的标准方程； （2）设点，且，求直线的方程； 解：（）设椭圆的右焦点为，因为的焦点坐标为，所以 因为，则， 故椭圆方程为： （）由（I）得，设的方程为（）代入，得， 设则， 所以直线的方程为 （2）所求问题以向量的形式呈现 例3、已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是 （1）求椭圆E的方程； （2）过点C（1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上 是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请 说明理由。 解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴， 且 故所求方程为即， （2）假设存在点M
3、符合题意，设AB：代入 得： 则 要使上式与无关，则有 解得，存在点满足题意。 例4、线段过y轴上一点，所在直线的斜率为，两端点、 到y轴的距离之差为. ()求出以y轴为对称轴，过、三点的抛物线方程； ()过该抛物线的焦点作动弦，过、两点分别作抛物线的切线，设 其交点为，求点的轨迹方程，并求出的值. 解：()设所在直线方程为，抛物线方程为， 且， ，不妨设， 即 把代入得 ， 故所求抛物线方程为 ()设， 则过抛物线上、两点的切线方程分别是 ，两条切线的交点的坐标为设的直线方程为，代入得 故的坐标为点的轨迹为 而 故 (3)问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现 例5、在直角坐标系xOy中，
4、长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上 滑动，记点P的轨迹为曲线E （I）求曲线E的方程； （II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，当点 M在曲线E上时，求的值 解：（）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)由，得(xm，y)(x，ny)，得 由|1，得m2n2(1)2，(1)2x2y2(1)2，整理，得曲线E的方程为x21 （）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知点M坐标为(x1x2，y1y2)设直线l的方程为ykx1，代入曲线E方程，得(k22)x22kx10，则x1x2，x1x2 y1y2k(x1x2)2，由点M在曲线E上，知(x1x2)21，即1，解得
5、k22 这时x1x2y1y2x1x2(kx11)(kx21)(1k2)x1x2k(x2x2)1，(xy)(xy)(2x)(2x)42(xx)(x1x2)242(x1x2)22x1x2(x1x2)2，cos， 二、针对性练习 1. 已知圆M：及定点，点 P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上， 且满足（1）求点G的轨迹C的方程；（2）过点K（2，0）作直线与曲线C交于A、B两点， O是坐标原点，设 ,是否存在这样的直线使四边形OASB的对角 线相等？若存在，求出直线的方程； 若不存在，说明理由. 解：（1）由为PN的中点，且是PN的中垂线， 点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，又 （2） .
6、四边形OASB为平行四边行， 假设存在直线1，使四边形OASB为矩形 若1的斜率不存在，则1的方程为 由0. 这与相矛盾， 1的斜率存在. 设直线1的方程 ，化简得： 由 存在直线1：或满足条件. 二、针对性练习1.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于, （）两点，且（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值 解：（1）直线AB的方程是,与联立， 消去，得，所以， 由抛物线定义得：，所以p=4， 抛物线方程为： （2）由p=4，化简得， 从而,从而A(1,),B(4,)设=， 又因为，即8（4），即，解得2、在平面直角坐标系内已知两点、，若将动点的横坐标保持不变， 纵坐标扩大到原来的倍后得到点，且满足.（）求动点所在曲线的方程；（）过点作斜率为的直线交曲线于、两点，且， 又点关于原点的对称点为点，试问、四点是否共圆？若共 圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由. 解（）设点的坐标为，则点的坐标为，依据题意，有 动点所在曲线的方程是 （）因直线过点，且斜率为，故有 联立方程组，消去，得 设、，可得，于是. 又，得即 而点与点关于原点对称，于是，可得点 若线段、的中垂线分别为和，则有 联立方程组，解得和的交点为 因此，可算得所以、四点共圆，且圆心坐标为半径为