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1、【2022版】典型高考数学试题解读与变式考点44 圆锥曲线中的综合性问题【考纲要求】应从“数，与“形，两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系.会判断已知直线与曲线的位置关系（或交点个数），会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题.【命题规律】圆锥曲线中的综合性问题一般在解答题中考查.难度较大.【典型高考试题变式】（-）探究直线与曲线的公共点2 2例2.【2 0 2 1年高考天津卷1 8】已知椭圆二+二=1（。b 0）的右焦点为F，上顶点为B ,a离 心 率 为 管，且怛 耳=石.（1）求椭圆的方程；（2）直线/与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正
2、半轴交于点N,过N与8尸垂直的直线交x轴于点P.若M P/B F,求直线/的方程.2【答案】y+/=l；（2）x-y +而=0.【分析】（1）求出。的值，结合C的值可得出匕的值，进而可得出椭圆的方程；设 点”（工,%），分析出直线/的 方 程 为 管+%丫=1，求出点尸的坐标，根据M P/M可得出=求出不、%的值，即可得出直线/的方程.【解析】易知点尸（c,0）、B（0,。），故 忸 同=J?寿=a =5.椭 圆 的 离 心 率 为e=拽，故c=2,b=&d=1，因 此，椭圆的方程为a 5X 2 1+V=1 .5丫2（2）设点（玉）,坊）为椭 圆 二+9=1匕一点，先证明直线MN的方程为2-+
3、%y =l,5 3联立4 ,消去V并整理得x2-2 x 0 x +片=o,=4片一 4片=o,2因此，椭 圆 土 +V =1在点M（面,%）处的切线方程 为 等+=1.5,1（1 1在宜线A/N的方程中，令x=（）,可得 =一，由题意可知为 0，即点N 0,丁。I%,b 1 cl直线BF的斜率为kBF=一一=一一，.直线PN的方程为）=2x+,c 2 N o1 （1 在直线PN的方程中，令y=0,可得x=-丁，即点P-,0,2yo I 2%1 2 2x0y0+l 2人0 T C2%下面有两种方法消元：（方法一）由1 =寸+必 整理可得（/+5%）2=0,;.%=5%，代 入 正 +y：=l得6
4、y；=l,又%o,，%=渔,%=-亚,直 线/的 方 程 为5 6 6 x+=1,即工 -y+#=0.6 6（方 法 二）由 需+5*=5得4代=5 焉 一 呼，.5-年 一 尤+2/%+1 =0,即（九0-%=6,=&，.%=为 土 灰，代 入*+5y：=5并 整 理 得（6为1）一 =0,.%=坐,.%直 线/的 方 程 为 一够y=l /6 6 6 6即x-y +76=0.【点睛】结论点睛：在利用椭圆 切线方程时，一般利用以卜方法进行直线:（1）设切线方程为了 =+机与椭圆方程联立，山A=0进行求解；2 2（2）椭 圆 千+卓=1在其上一点（天,均）的切线方程为竽+茅=1,再应用此方程时
5、,2 2首先应证明直线岑+誓=1与椭圆=+4=1相切.a2 b2 a2 b22 2例2.【2 0 2 0年高考全国n卷理数1 9】己知椭圆G :=+与=1（4 0）的右焦点F与抛物a b线C2的焦点重合，G的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交 于A,B两点,4交 C?于 C,。两点，K|CD|=-|AB|.（1）求G的离心率；（2）设 似 是G与C2的 公 共 点，若|MF|=5,求G与C2的标准方程.1丫2 2【答案】（1）-；（2）G：+L =1，。2：旷=1 2x.2 1 36 27【思路导引】求出、|8|,利用|。|=3 4同可得出关于。、c的齐次等式，可2 2解得椭圆a的
6、离心率的值；（2）山（1）可得出G的方程为；，+六=i,联立曲线G与的方程，求出点M的坐标，利 用 抛 物 线 的 定 义 结 合 曰=5可求得C的值，进而可得出G 4 C,的标准方程.【解析】（1）.尸（c,0）,轴且与椭圆G相交于4、B两点,则直线A 5的方程为了=。,X c*解得 4 一 ，二|CD|=4c,j =2c 1 1v|CZ)|=|AB|,即 4c8/3。2Z?2=3 c le，即2c2+3。一2。2=0，即2/+3e 2=0，Q O e l,解得e =(,因此，椭圆G的离心率为J；2 2(2)由(1)知a =2c,b=&，椭圆G的方程 为 二+1 =1，4c2 3c2y2=4
7、c x2联立 力 0）.or b3 1 ,（2 ）1-X.3 1 /I=：4又点（G）在椭圆C上，./4b2 解 得，-2 i=3,I，因此，椭圆C的方程 为=+2=1.因为圆。的直径为百外，所以其方程为V+9=3.（2）设直线/与圆。相切于（%）（%0,y0 0）,则 x02+y02=3 ,所以直线/的方程为了 =一 五 一%）+%,BPy =-x+.%为7+y =i，由 广 ，消去y,得（4/2+%2*_ 2 4 守 +3 6 4%2=0.（*）尸_&+上，%直线/与椭圆。有且只有一个公共点，A=（-2 4%）2 _ 4（4/2+为2）（3 6 4 y 2）=4 8y02（x02-2）=0
8、.XQ 9 y0 09:.XQ=/2 9 yQ=1.因此，点尸的坐标为（&）.钻 的 面积为2y 5,所以_!_ 4 8.02=2西，从而4 8 =逑n坟 A（S）,B（Z 2）,由,z*）得9=2-4 x 2（J44 81y+；（%x2；）-2）Xo+yo=3,A B2=1 6（,a p 2x 4-4 5 x02+1 00=0,0 （x02+1）2 4 9 0,解 得 年=玉/2=2 0舍去），贝i J%2=g，因此P的坐标为（综上，直线/的方程为y =-V+3近.【名师点睛】直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求 思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方
9、程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.2 2【变式2】【改编条件和结论】已知抛物线G：/=4y的焦点F也是椭圆C 2：与+二=1a b（。人 0）的一个焦点，C与 的 公 共 弦 长 为2 ，过点F的直线/与G相交于A,B两点，与。2相交于C,。两点，且 恁 与 而 同 向.（I）求。2的方程；（II）若|4 7|=忸0，求直线/的斜率.【答案】（I）=1 ；（II）-.【解析】试题分析:（I）由题通过F的坐标为（0,1），因为F也是椭圆。2的一个焦点,可得/一=1,根据G与c2的公共弦长为2a,G与G都关于y轴对称可得当+乌=1，然后得到对应曲线方程即可；（
10、II）设 人 卬 乂 入 父 与 必 入 乂 工“七 与 二 根 据 恁;方，可得（%3 +%4尸一4工3%4 =（%+工2）2 -4%工2，设直线/的斜率为上，则/的方程为丁 =+1，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果.试题解析：（I）由：Y =4 y知其焦点F的坐标为（0,1）,因为F也是椭圆G的一个焦点，所以4 =1 ；乂G与G的公共弦长为2#，G与02都关于y轴对称，且G的方程为G：V=4y,由此易知G与G的公共点的坐标为（土石,3），二3+乌=12 4a b，2 2联立得=96=8,故G的方程为-+y=l.（H）如图,设 4 ,乂）,8（工2，%）
11、，。（工3，%），0。4，乂），因 衣 与 而 同 向，且|4?|=忸。|,所以 AC=BD,从而 x3-%=x4-x2,即 x3-x4=%1 -x2,于是（x3+*4-4与=（X +x2）2-4X,X2设直线/的斜率为h 则/的方程为丁 =履+1,Y=K X+1由,得 2一4收一4 =0,由斗,是这个方程的两根，X 1+X，=4 Z,X|X,=-4 x=4 y由y=Ax +1x2 2 得(9 +8/)f+1 6 区 64 =0,+2-=18 9而毛，5是这个方程的两根，1 6&项+Z =一9+8严64 卬L即将、代入，得1 6（公+1）攻 公 4 x 6 4(9 +8/)2 4 9 +8/即
12、 1 6(二+1)162X9(A:2+1)(9 +8必)2所 以（9+8Z：2）2=1 6X9,解 得&=如，即直 线/的斜率为 士 如44（-）探求参数值例2.1 20 1 8高 考 浙 江1 7 1已 知 点P（0,l）,椭 圆 +9=见 1）上 两 点A,B满足A P =2 P B,则 当 机=.时，点8横坐标的绝对值最大为.【答 案】5【解 析】试题分析：先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即 得8的 横 坐 标 关 于，的 函数关系，最后根据:次函数性质确定最值取法.试题解析：解法一：显 然 宜 线A 8的斜率存在，设 宜 线A 3的方程为：y=kx+l,联
13、 立 方 程 y=kx+12,2,可 得(1 +4&2)/+8依+4-4根=0,x+4 y =4m记,y J,B(X2,%)，则 M +%8k4-4%由 乔=2而 可 得 芭=-2%2,所 以-马8kM i e,%28k l1 7充，中2二 正 标8软+平I当|马|取最大值时，出2=:,此 时 加=5.解法二：令 BQJ/COS。,J/sin 6).-.AP2PB则A(-4Vmcos/3-2ym sin。)(-4 V j co s。)+(3-2/s i ne)2V m s i n 0=m 4机=x j +22，即当 5时，点8横4=m，即m+32坐标的绝对值最大.【名师点睛】解析几何中的最值是
14、高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.例3.20 1 8高 考 全 国I I I文20 （1 2分）已 知 斜 率 为 左 的 直 线/与 椭 圆U+f=l交 于A,8两 点，线 段A 3的 中 点 为4 3A/(l,m)(/n0)-（1）证明：k 一；2 设 尸 为 C 的右焦点，P 为C 上一点，且 丽+丽+丽=0.证明：2网=网+|司.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明；
15、（2）解出？，进而求出点P的坐标，得到|砂再由两点间距离公式表示出|丽 而|,得到直i 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解.试题解析：设&占，%）,B（X2,必），则 今+:=1，.+=1.两式相减，并由上二&斗 得 三 三+2t&心=（）.x,-x 4 3由题设知三上工=i,息土&=机，于是A=_ A.由题设得o 3,故人 .2 2 4m 2 2（2）由题意得 F（l,0）.设 尸（三,%），则（三-1，必）+。一 1，%）+（%-1，%）=（0,0）由（1）及题设得马=3-（石+X2）=1，%=一（乂+%）=-v0.7 3 ULT Q又点尸在C 上，所以 2 =：,从而尸（1,；
16、）,炉年.UUT J-r 211 1 r于是尸4 1=J（xi y+y；=，（苞-+3（1 -十）=2-1.同理匹用=2-.ULT ULT I所 以 必+尸8=4 5（%,+9）=3UIX故2 FPuirFA+uirFB【名师点睛】本题主要考查宜线与椭圆的位置关系，第问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得求出加，得到|百|UIT 1111再有两点间距离公式表示出FA,FB考查了学生的计算能力，难度较大.尤 2 V2【变 式 1】【改变条件】已知椭圆氏 一+=1（。80）的两个焦点与短轴的一个a b端点是直角三角形的三个顶点，直线/:y =-x+3 与椭圆E 有且只有一个公共点T.（
17、1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（2）设。是坐标原点，直线平行于O T,与椭圆E 交于不同的两点A、B,且与直线1交于点P证明：存在常数;I，使得卢 中=4 酬.|尸邳，并求义的值.【分析】（1）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得a=0 c ,从而可得a=岳，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用直线和椭圆只有一个公共点,联立方程，方程有两个相等实根，解出b 的值，从而得到椭圆的标准方程：（I I）首先设出1?直 线r方 程 为=5%+加，由 两 直 线 方 程 求 出 点 尸 坐 标，得|PT|,同时设交点A(xy,),B(x2,y2),把厂方程与椭圆方程联立后消去
18、y得x的二次方程，利用根与系数关系，得玉+,中2,再计算|/训忖 却，比较可得力值.【解析】(1)由己知，a2+a2=(2c)2,即。=血。，所以a=6 b,则 椭 圆E的方程 为 二+f =1程为2/2由 方 程 组2b2 b2L 得一 12X+(18 2)=o.y =x +3,方程的判别式为4=2 4(6-3),由4=0,得廿=3,此方程的解为x=2,2 2所以椭圆E的方程 为 二+2-=1,点T坐 标 为(2,1).63(2)由已知可设直线/的方程为y =/X+2(J篦w 0),有方程组1y-x+m,2y =-x+3,x =2-也,3.2 m1+.32/2m8-9-2刀产可得y3设点A,
19、8的坐标分别为4内,乂)，B(x2,y2).由方程组 0 J 可得3尤2+4m+(4加2-1 2)=0.y-x+m,V 2方程的判别式为/=1 6(9-2加2),由/0,解得 一 述 加 逑.2 2,口 4 m 4 m2-12由得玉+%2=一-晨,玉 了2 =所以|PA|=J(2 _ _%)2 +(l +-y)22-也f3同理归 耳=42_与 _ 工2，所以i c z 5 ，-2 m、-2 m、5，2 m、)小 2 m、,、|PA|-|PB|=-(2-)(2-x2)=-(2-)-(2-)(x,+x2)+xtx254。2 m 2 2 m 4 m 4 m2-1 2(Z -)T N)(-)+T-3
20、3 3 31 0 2=m故存在常数a=1.使 得|P7 f =2|PA|-|PB|.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题时，一般都设交点坐标为(西,乂),(2，2)，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得用+%2，西，再把|2 4卜|尸川用 表 示 出 来，并代入刚才的西+，中2，这种方法是解析几何中的“设而不求”法.可减少计算量，简化解题过程.【变式2】【改编条件和结论】如图，在平面直角坐标系X。)，中，已知4、尸2分别是椭圆E：2 2厂 厂/+5=1(。匕0)的左、右焦点，A,3分别是
21、椭圆的左、右顶点，0(1,0)为线段。巳 的中点，且 亚+5砥=6.(1)求椭圆E的方程；(2)若M为椭圆E上的动点(异于点A、B),连接ME并延长交椭圆E于点N,连接M。、ND并分别延长交椭圆E于点P,Q,连接尸Q,设直线MN、PQ的斜率存在且分别为占、k2.试问是否存在常数/I,使得占+/1&=()恒成立？若存在，求出入的值；若不存在，说明理由.【解析】(1);AE+5*=0,.福=5展，-：a+c =5(a-c),化简得2 a =3 c,点。(1,0)为线段。用 的中点，2 2，c =2,从而。=3,b=y5,左焦点6(2,0),故椭圆E的方程为(+-=1；4(2)存在满足条件的常数4,
22、设加(西,%)，N(W，2)，。(刍，为)，。(乙，”)，2则直线M D的方程为x=y+l,代入椭圆方 程 土+5=1,整理得，y 95 X,2 X 1-1 .c+-y-4=0,+犷2，=，从而w=J，故点a J,R),七一5 xx-5-5 工 一5 X,-5同理，点。(也 心,刍)，.1点M,6,N共线，.上 一=一,一 5%5 X +2 +2从而不%一左2,=2(X-%)，从而4 y 4%二 3一”二%5%5 _%必 一 y+5(弘一必)2 天一刀4 5%-9 5-9 4(x,-x2)%1 5 X|一 5=7(X二段=退,故匕一竺L=O,从而存在满足条件的常数几，Z=-.4(X j-x2)
23、4 7 7【变式3】【改编条件和结论】己知A(2,0),3(2,0),动点M满足乙4 AfB=26,A M B M=-.cos-0(1)求|通了|+|的 j的值，并写出M 的轨迹曲线。的方程；(2)动直线/:丁=履+加 与 曲 线C交于尸，。两点，且Q P L OQ,是否存在圆x 2 +y 2=，使得/恰好是该圆的切线，若存在，求出；若不存在，说明理由.【答案】|布？|+|丽j=4后，C：+=1 (2)存在圆f +y2=8 4 3【解析】(1)设|丽 7|=加，|丽7|=，4 I A 51=4且|AM|8M|=,mncos20 =4,cos 0在AABM中，由余弦定理得m2 4-H2-42=2
24、m/?cos20=2/n/?(2cos2 6-1)=4 mncos2 0-2mn,*m2+A?+2mn=4mn cos2 6+16=3 2，加+”=4夜，即|丽7|+|丽7|=40，y.A M +B M A B,所以M 的轨迹是椭圆，且a=2近,c=2,，=4，(2)设 尸(须，|),。(电，%)，将/：丁 =依+加 代入。：工+匕=1 得8 4(1+2女 之)x2+4kntx4-2m2-8 =0,4 k7 Tl 0 jr-j R 0,A 82-zn2+4 0 且+9 二；7，x1x2=:-1 +2/1-1 +2公yy2=(kx、+m)(kx2+m)=k2xx2+km(x+%)+m2=今 cr
25、)I 八八.八 “I 2m 8 m?8K 八.，2 3 m 8O P O Qf 石工,+弘力=0,即-+-=0,:匕=-,1 +2 氏 2 1 +2&2 84%?2 _ o Q由吆!_ 2 0 和82机2+4 0,得机2即可，8 3因为/与圆炉+；/=/相切，./=_ 四;=,1 +%-3Q存在圆f+y 2=2 符合题意.3【数学思想】数形结合思想；分类讨论思想；转化与化归思想.【温馨提示】解决探索性问题的注意事项：探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出
26、条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.【典例试题演练】1.(2022浙江模拟预测)已知椭圆/+营=1(%0),过 P(0,g)的直线/与椭圆交于4 B两点，过。(为(闻 6 0)可 得%2=b2|MN=4升=4。2（“2 _/2）所以附 呼|1MN。3必丁今4h 2-2x A0 2a当/=0 时,1PAi1尸 8|MN2得 成立,综上所述：当题=0 时，喘胃为常数.【点睛】思路点睛：解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设
27、而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.2.（2022江苏海安高级中学高三月考）如图，已知直线y=2x与椭圆E：x2+2y2=l A,B 两 点（点 A 在第一象限），点P（-4 f,f）在椭圆E 内部，射线AP,BP与椭圆E 的另一交点分别为C,D.（1）求点A到椭圆左准线的距离；（2）求证：直线C Z）的斜率为定值.【答案】（1）1 +3 03（2）证明见解析【分析】（1）根据椭圆方程求得椭圆做准线方程，联立直线和椭圆求得A点横坐标，即可求得距离.（2）设 A（X|,y）,B（x2,y2）,C（xi,y3）,D（x4,y4）,A P=PC B P=P D 表示出出,%,代
28、入椭圆方程，同理求得。点满足的条件，化简证得4=4,即/m C D,从而证得斜率为定值.（1）因为椭圆Y+2 y 2 =i 中，/=1,从=；,所以一从=；,故左准线为x =-&.由1 2+：，=1,得=因为点4 在第一象限，所以 故所求距离为 匕 逑y=2x 3 3 3（2）设 （x。,%）,A（X 1,%）,B（x2,y2）,C（x3,y3）,D（x4,y4）,则%+4%=0,x,2+2 y（2=1,x22+2 y22=1,又设BP=z,PD 其中4,4 e R,、._（4+1）%-%“3=7 则 一 二 代入椭圆/+2 y 2=l 并整理得，（4 +1）2（/+2 y 0 2）+（石 2
29、 +2 城）-2（4 +l）（x0X j +2%）=储,从而有（4 +1）（X（/+2 y（：）2（x0X j +2 为凹）=4 一 1,同 理 可 得,+l）（x（；+2 （）2）-2（工 0 工 2+2%为）=4 一 1，结合y0=f,A,5两点均在直线y =2%上，一得，（4 一 4）（%2+2 y（；-1）=0,因为玉:+2 稣2 i,所以4=4，从而 A B /C D ,故心 口 =2 .故直线8 的斜率为定值.2 23.（2 0 2 2 海南北京师范大学万宁附属中学高三月考）已知椭圆C:二+4=1（人 0）的离a b1心 率 为 且 过 点 42,3）.（1）求椭圆C的标准方程；（
30、2）过点A作两条直线分别交椭圆于点，N满足直线4 W,AN的斜率之和为-3,求证：直线MN过定点.【答案】（1）+-=1；（2）证明见解析.1 6 1 2【分析】（1）由离心率e=；,及椭圆过4 2,3）,结合a,b,c 的关系，列出方程组求解，即可得椭圆标准方程；（2）当直线斜率存在时，设M N：y=k x+t,M（X,y,）,N（x2,y2）,与椭 圆 C联立，根据韦达定理可得石+当*2 的表达式，结合题干条件，化简整理，可得上，关系，即可得出直线所过定点，当直线MN斜率不存在时，检验可知不符合题意.【解析】（1）由题意可得,b2+c2=a2 e=7，解得:a 2|4/+记9 _=11a=
31、42 2b=2后,所以C的标准方程为土+二=1.-1 6 1 2解得此时重合，舍去.1%=0（2）若直线MN斜率不存在，设 用5，%）”5，-%）,此+日=1则 1 6 1 2y 3 1.工 0-2 XQ-2若直线MN斜率存在，设直线MM y=H+f,M（x，x）,N（w，%）,联立,1 6 1 2 ,得（4 公+3）x?+8 A/X +4,2-4 8 =0,所以内+马二 挚一,X 也=一 y=+/必 2+3 4 公+3y-J由题 意 二I k x、+-3 +k x2+1-3M -2 一 2+金工2-2化简得Q k+3）玉+Q 2 左 一 9）（玉+）一 冬+2 4 =0.因此（2 A+3）一
32、 +Q -2 k -9）（-）-4?+2 4 =0.4K+3 4 公+3化简得8 无 2+6 h +产一 8 化 一 f 6 =0,即（2 k +-3）（4 k +f+2）=0,若2K=0,则f=2 k+3,直线MV过点A（2,3）,舍去，所 以#+f+2=0,即t=Y t-2,所以直线方程为丫=一 必-2,g|J y=（x-4）-2,因此直线脑V 过点尸（4,-2）.2 24.（2 0 1 9 新疆克拉玛依市教育研究所 三 模（文）已知椭圆C：a +=l（a 6 0）过点焦距长2 及，一直线/交椭圆C于 A,8两点.（1）求椭圆C的方程；（2）若点为x 轴上一点 且 丽.而=-,求证：直线/
33、过定点，并求出定点坐标.（4 J 1 6【答案】（1）+-=1；（2）证明见解析，定点*（）或。,0）.【分析】（1）根据椭圆定义求出。，再根据=片一 2 得到，则椭圆方程即可求出；（2）当直线/的斜率存在时，设直线方为：y=k x+b,和椭圆方程联立，利用韦达定理计算丽丽=-与，可 得 关 系，进而可得同线所过定点，验证当直线/的斜率不存在时的情16况，最终定点可求出.【解析】（I）椭圆的两焦点为耳卜上，0），人（夜,0）,由椭圆的定义得:所以a=2椭圆标准方程为9 当 直 线/的斜率存在时，设直线方为，代入%小小整理得（2 公+1 产+4 如+力 _ 4 =0,设点4（%,%）,5（孙），
34、则有X 1 +工2-4k b 2k2+12b2-4-2k2+1（4）2-4（2J12+1）（2 -4）0所以y =（3+。）（他+）=丁+J,易=（占-1,乂）,而=卜 2-（，必）f t（7 7、7 49 15P4PB=x,-,x2-,y2 =xlx2-x+x2）+yly2=-,I 4 八 4/4 lo lo即+万一,公 4=Y,整理得：4k2+Ibk +3 b2=o,（4k +3 b（k+b）=o,2k2+i 4 2k2+l 2k2+八 4Z即 44+3。=0 或 k+b=O,即 Z?=-或 b=-k ,3山（4奶）2 -4（2二+1）（2-4）0 得所以直线方程为：y=kx-k y =k
35、 x-k,所以直线过定点（*（）或（1,0）；当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为工=1和X=满足题意，所以直线过定点（小0）或。，0）.5.（2022浙江金华.高三月考）如图，椭 圆 C：W +4 =l 的左顶点为7（-2,0）,直线/：a by=H（ZwO）与椭圆C 相交于A,B 两点，当k=I 时，|AB|=生 野，过椭圆C 右焦点尸且斜 率 为 _无 的 直 线 与 直 线 7X,7B分别相交于点M,N （点 M,N 均不在坐标轴上）.（2）设直线OM,O N（。为坐标原点）的斜率分别为勺，J 问姑&是否为定值，若是,求出该定值，若不是，请说明理由.1*2 v2 27【答案】（1）+
36、=1；（2）是；二.4 3 4【分析】（1）由题意可得。=2,然后丁 =%与椭圆方程联立，结合弦长公式列方程求事6,从而可求出椭圆的方程；（2）设点A（X,yJ,8（孙%），则用=-/，乂=-必，将直线方程1O与椭圆方程联立可求得犬=&金，再将直 线 窗 与直线/联立求出点M 的坐标，从而可求出勺，同 理 可 求 得 再 计 算 即 可 得 结 论.【解析】（1）由已知得。=2,联立2 2X y r1+L得人当4 +f t2y =x,AB=yK+l?xA-xB=y/22xA=2y/2.所以椭圆c的方程为：+-=1.4 3（2）设点A（x”x）,以孙必），则占=一，（=一为，由，+=】，坦2 1
37、 24 3得1许y=kx,直线办：丫 =壬（+2）与直线/：y =-Z（x-l）联立，得M 2-x1 3kX、2%+2 2%+2),所以k;当1 2-xJ3kx 9 2 M 力同理e=L,注意至|=一玉，所以g=丁鸟，把 犬=7；3 代入，得秘,=一为2-x,4-x1 4 A:2+3 -4定值.2 26.（2 0 2 2上海市复兴高级中学高三期中）已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为耳、鸟，a b点A（指,0）在椭圆上，且 福.房=3,点尸，Q是椭圆上关于坐标原点。对称的两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点尸在第一象限，轴于点N,直线Q N交椭圆于点M（不同于Q点），试求NMPQ的值；（3
38、）已知点R在椭圆上，直 线 网 与 圆/+产=2相切，连接。R,问：黑是否为定值？IVA I若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【答案】（1）1+4=1；（2）；（3）需=1为定值，理由见解析.6 3 2|Q KI【分析】（1）由己知可得a=布，设6（0）,玛（c,0）,根 据 斯 丽=3求得c的值，再由 从=2-?求得b的值，进而可得椭圆C的标准方程：（2）设 小,）,Q（计算4W,AM2=5,k/n Q =k 4Q =3,及时可得T TkM P-kPQ=-,即可得/M P。：；（3）直线P R 的斜率不存在时，P R 的方程为 工=&或 =-忘，求出P,Q,R三点坐标，可 得|网
39、、|Q R|的长，即 可 得 隈 的 值，当直线尸R的斜率存在时，设p（冷 y）,R（w，%）可得Q（f，-y）,设直线P R 的方程为：y =Ax+机，与椭圆方程联立可得+工2，xix2 由弦长公式计算|P R|,由两点间距离公式计算|。/，即可得黑，即可得结论.【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c,，山点4迷,0）在椭圆上，可得。=指，6（-c,0）,5（c,0）,4 耳=卜/6,oj,由丽 正 =c-n）（c-）=6-c 2 =3,可得c =/5 ,所以=/_ 0 2=6 _3 =3,所以椭圆C的标准方程为=+?=l.6 3 设 户（如），。（一 垢，一%），M（X，X），所 以 总（广
40、七 户:7 ，可得所以N M P Q =:（3）当直线P R 的斜率不存在时，由题意可得：直线尸R的方程为、=夜 或 x=-虚,当直线P R 的方程为=女 时，R2的方程为 =工，可得P（应，e（-V 2,-V 2）,7?（V 2,-/2）,则 陷=2 亚，|0 R|=2 0,所 以 黑 =1,其他情况由对称性，同理可 得 黑 =1，IQ I II当直线P R的斜率存在时，设直线尸R 的方程为：y=k x+m,因为直线尸R 与圆V+y 2 =2相切，所以圆心。到直线尸R 的距离&=也,即”=/-1,=V 2 ,可得|/n|=,2（1 +/）y=k x+tn设尸（冷乂），R（%,%）可得。（-冷
41、一乂），由 3=6 3口 J 得（1 +2 女，x?+4 fo nr+2 m2 6 =0 ,所以=-4k m2/n2-61 +2 公 与Z -1 +2 二所以 I PR =Jl +产,-X2|=J1 +&2 J（X 1 +工2）2 _ 4 中 2 =2 0 J 1 +公+4 公1 +2 公y +%=攵(玉 +Z)+2机=A-4km1 +2小,2m+2 z =-r1 +2攵2|。/=Ja+zf+(y+%y(-4km V (2m YU +2 A:2J+l +2/J_ _ 2X/F 7 F，+4 2 2 所以1 +2公阙=阚.综上所述：黑=1为定值.1 2 Kl【点睛】思路点睛：解决圆锥曲线定值、定
42、点的方法：（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.2 97.（2 0 2 2云南哦山彝族自治县第一中学高三月考（理）已知椭圆C：+马=1（。6 0）a b的离心率为丑，且椭圆C上的点到焦点距离的最大值为百+1.3（1）求椭圆。的方程；2 2（2）设椭圆E：=+4=9,尸 为椭圆C上任意一点，过点P的直线/交椭圆E于A、B两Q-tr点，射线。尸交椭圆石于点。.证明：鲁 丝 为 定 值；求 A B Q面积的最大值.2 2【答案】（1）工
43、+汇=1：（2）证明见解析；8G.3 2【分析】（1）由条件可得 =且，“+c =G +l,然后可得答案;a 3（2）设P5,%）,令 丽=4而。0）,则Q（袄,4%）,将点尸、Q的坐标带入对应的椭圆方程可解出4,然后可得答案；结 合 可 得 然 后 转 化 为 求久，的最大值，分直线/斜率存在、直线/斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设/：y=k x+m,然后利用5&=；网 上-引 表示出5皿犯，然后可求出最大值.【解析】（1）由 =及 a+c=/+l 得：c i =/3 ,c=l,椭圆C 的方程a 3为 争 三=1(2)证明：设尸(七,%),令 丽=7万(/1 0),则。(/1%),由
44、，后+武=1；32，2，得：2=3,立+以=93q /AQPS/A O P2嚼=修=2 为定值.由知 S2P=2sA40P,同理 SgQ p =2s W OP SA0B=2SA/（OB,设A（X|,y）,8（%,%）,当直线/有斜率时，设/：y=k x+m,代入椭圆E 的方程得：（2+3A?X +6,成r+3/-54=0,.,6mk 3 m2-54.X+X、_ Q ,X,X=2+3K 厂 2+3公5A AOB=|W|-|=|/n|6mk2+3公 .3 m2-54=网-6/n2+108+162fc2 j-（2+3A:2）2-M+18+27&2）/（2+3 公）2S 2O B =瓜9m22+3/n
45、2 Y2+3公）将/：丫 =履+，”代入椭圆C 的方程得：(2+3公)/+6%灶+3 一 6=0,与椭圆C 有公共点P,.由得：2+3 k2 m2,f r j2_令 春 F=则.%.=而标74 4 6当/斜率不存在时，设/:X=-百,石,代入椭圆的方程得：尸=18-白 2,.一.=与|凶-%|=/18 2二 4323综合得AAOB面积的最大值为46,所以A A Q B面积的最大值为8力.8.（2 02 2四川成都高三月考（理）已 知 椭 圆 已 毛+与=l（a 6 0）的长轴长与短轴长之a h比为2,过点P（0,2石）且斜率为1的直线与椭圆E相切.（1）求椭圆E的方程；（2）过点7（2,0）的
46、直线/与椭圆E交于A ,8两点，与直线x =8交于点，若 丽=4前,H B =RT.证明：4+4为定值.【答案】今证明见解析.【分析】（1）得 到 以 及 切 线 方 程y =x+2 6，然府假设椭圆方程为:江9+铲）2 之联立切线与椭圆方程使用A =0可得结果.（2）讨论直线/为x轴与不是x轴，假设直线方程/：x =+2,并与椭圆联立，使用韦达定理，然后得 到 丽，前，最后代入数据计算即可.【解析】（1）由题意知：=2,a=2 h,切线方程为y =x +2石，b2 2 y=x+2/5设椭圆方程为：福T +方=1，直线与椭圆联立：x2，.薪+*得5/+1 6石x+8 0-4/=0,A =0,即
47、（1 6石 一2 0（8 0-4 =0,得S =4,.椭圆方程为:（2）当/为x轴时，易得 4=2,4 =-2,4+4=0.当/不为X轴时，设直线/：x =O +2,A（X|,y J,8（,%）直线与椭圆联立：U；2=1 6 得（r+4卜2+4“-1 2 =0,-1 2 1+必=不,芦 必=不（*）直线/：x =O +2,令=8,则丁=:，即（8,_ （6、._ _ X_ 8 =4（2-不）$内一8,乂 一 一 ，A T=（2-x,-yI）,H A =A A T,/J 6 .，-=,I t J y.=一4乂 第/H B =f x2-8,y2-y j,/=（2 /,一%），丽 二%可,一 j,=
48、2 一%一 7=-4%伪-伙 稔”2将（*）代入得：-4-4=2-幺 沙）=（）,，4+乙二。.（设直线/的方程为y =Z（x 2）时可以不用讨论）【点睛】方法点睛：解决这种类型问题（1）讨论斜率存在还是不存在（可巧设方程）；（2）联立直线与圆锥曲线方程并计算：（3）韦达定理；（3）代入计算.2 99.（2 02 2 河南平顶山高三月考（理）已知椭圆E:二+与=l（a 6 0）的离心率为;，且a-b-2椭圆上的点到其右焦点F的最远距离为3.（1）求椭圆E的标准方程；（2）当直线/（斜率不为0）经过点F,且与椭圆E交于A ,8两点时，问x 轴上是否存在定点P，使得x 轴平分 B?若存在，求出点尸
49、的坐标；若不存在，请说明理由.2 2【答案】（1）+-=1 ;（2）P（4,0）4 3【分析】（1）利用题干中的条件找到关于。和。的两个方程，求出。和c ,进而求出椭圆E的标准方程；（2）假设存在点P（?.O）,使得x 轴平分4 4 尸 8,然后把角度问题转化为斜率问题是本题的关键，列出等式，利用韦达定理化简得到结果.【解析】（1）椭圆的左顶点到右焦点距离最远，.a +c =3.1 r 1二离心率为T-,2 a 2联立解得：a=2,c =l,./=/一/=3,.椭圆E的标准方程为：+=1.4 3（2）x 轴上存在点P（4,0）,使得x 轴 平 分 所理由如卜：假设x 轴上存在点P（机，0）,使
50、得x 轴平分N 4 P 32 2设直线/：X=2T1,与:+2 1 =1 联立可得：4 3（3 2+4）9+6n y-9 =0设 A（X，y J,8（%,%）r I 6 9则y+%=-E y 通 二 一 行由题意得：Z A P F =ZB PFAP+卜研=0即 -+一-=（）xx-m x2-m化简得：2 ny,y2+（l-m）（,+y2）=0把 乂+必=一4=，乂必=一不尚二代入，得:3 +4 3 +4一 1 8 -6n+6mn _3 n2+4+3 n2+4化简得：（-4 +w）”。.直线/的斜率变化，且斜率不为0T+m=O 2 =4轴上存在点P（4,o）,使得X 轴平分/4 P 3.2 21