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1、-直线圆锥曲线与向量的综合问题-第 14 页直线圆锥曲线与向量的综合问题高考考什么知识要点：1直线与圆锥曲线的公共点的情况（1）没有公共点 方程组无解 （2）一个公共点 （3）两个公共点 2连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：3以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题4.几何与向量综合时可能出现的向量内容（1） 给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知A、B与PQ的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,
2、等于已知三点共线.（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。（8）给出,等于已知是的平分线。（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角
3、形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16） 在中，给出,等于已知是中边的中线;高考怎么考主要题型：1三点共线问题；2公共点个数问题；3弦长问题；4中点问题；5定比分点问题；6对称问题；7平行与垂直问题；8角的问题。近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。特别提醒：D法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。高考真题1. 2012上海卷 若n(2,1)是直线l的一个法向量，则l的
4、倾斜角的大小为_(结果用反三角函数值表示)arctan2解析 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率由已知可得直线的斜率k1，k2，ktan，所以直线的倾斜角arctan2.2.2012重庆卷 如图13，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形图13(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程解：(1)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点为F2(c,0)因AB1B2是直角三角形，又|AB1|AB2|，故B1AB
5、2为直角，因此|OA|OB2|，得b.结合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由题设条件SAB1B24，得b24，从而a25b220.因此所求椭圆的标准方程为：1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(
6、my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x2y20和x2y20.3 2012湖北卷 设A是单位圆x2y21上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|m|DA|(m0，且m1)当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的
7、k0，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由解：(1)如图(1)，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|m|DA|(m0，且m1)，可得xx0，|y|m|y0|，所以x0x，|y0|y|.因为点A在单位圆上运动，所以xy1.将式代入式即得所求曲线C的方程为x21(m0，且m1)因为m(0,1)(1，)，所以当0m1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(，0)，(，0)；当m1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，)，(0，)(2)方法1：如图(2)、(3)，对任意的k0，设P(x1，kx1)，H(x2，y2)，则Q(x1，kx1)，N(0，kx
8、1)，直线QN的方程为y2kxkx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得(m24k2)x24k2x1xk2xm20.依题意可知此方程的两根为x1，x2，于是由韦达定理可得x1x2，即x2.因为点H在直线QN上，所以y2kx12kx2.于是(2x1，2kx1)，(x2x1，y2kx1).而PQPH等价于0，即2m20，又m0，得m，故存在m，使得在其对应的椭圆x21上，对任意的k0，都有PQPH.方法2：如图(2)、(3)，对任意x1(0,1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(x1，y1)，N(0，y1)因为P，H两点在椭圆C上，所以两式相减可得m2(xx)(yy)0.依题意，由点P在第
9、一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合，故(x1x2)(x1x2)式可得m2.又Q，N，H三点共线，所以kQNkQH，即.于是由式可得kPQkPH.而PQPH等价于kPQkPH1，即1，又m0，得m，故存在m，使得在其对应的椭圆x21上，对任意的k0，都有PQPH.4大纲文数 2011全国卷 已知O为坐标原点，F为椭圆C：x21在y轴正半轴上的焦点，过F且图14斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足0.(1)证明：点P在C上；(2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上【解答】 (1)证明：F(0,1)，l的方程为yx1，代入x21并化简得4x22x10.设A
10、(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，则x1，x2，x1x2，y1y2(x1x2)21，由题意得x3(x1x2)，y3(y1y2)1.所以点P的坐标为.经验证，点P的坐标满足方程x21，故点P在椭圆C上(2)证明：由P和题设知Q，PQ的垂直平分线l1的方程为yx.设AB的中点为M，则M，AB的垂直平分线l2的方程为yx.由、得l1、l2的交点为N.|NP|，|AB|x2x1|，|AM|，|MN|，|NA|，故|NP|NA|.又|NP|NQ|，|NA|NB|，所以|NA|NP|NB|NQ|，由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上5 2012福建卷 如图椭圆E：1(a
11、b0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解：解法一：(1)因为|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以4a8，ae，即，所以c1，所以b.故椭圆E的方程是1.(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y
12、0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.(*)此时x0，y0kx0m，所以P.由得Q(4,4km)假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上设M(x1,0)，则0对满足(*)式的m、k恒成立因为，(4x1,4km)，由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(*)由于(*)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.解法二：(1)同解法一(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(
13、4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.(*)此时x0，y0kx0m，所以P.由得Q(4,4km)假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上取k0，m，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x2)2(y)24，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k，m2，此时P，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为22，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)以下证明M(1,0)就是满足条件的点：因为M的坐标为(1,0)，所以，(3,4km)，从而330，故恒有，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.突
14、破重难点例1过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ D ）A BC D例2 已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为1.(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将yk
15、x代入y21中，得(14k2)x24，所以x，将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2，得x4x，即，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.解法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2，得x，y，将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.例3.在平面直角坐标系O中，直线与抛物线y22x相交于A、B两点（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中
16、命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,)、B(3,). =3；当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为，其中，由得 又 ，综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；说明：由抛物线y
17、2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).例4已知A,B为抛物线x2=2py(p0)上异于原点的两点，点C坐标为（0，2p）（1）求证：A,B,C三点共线； （2）若（）且试求点M的轨迹方程。（1）证明：设，由得，又 ，即A,B,C三点共线。（2）由（1）知直线AB过定点C，又由及（）知OMAB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。例5椭圆的两个
18、焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1F1F2，| PF1|=，| PF2|=.（I）求椭圆C的方程；（II）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。解法一：()因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2c2=4, 所以椭圆C的方程为1.()设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2
19、+36k27=0.因为A，B关于点M对称. 所以 解得，所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)解法二：()同解法一.()已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且由得 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1（x+2），即8x9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)例6设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.（）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点M(0,2)的直线
20、l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.解：（）解法一： 易知 ，所以，设，则因为，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2当x=2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又，又，即 故由、得或例7已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P. （）设P点的坐标为，证明：；（）求四边形ABCD的面积的最小值。（）证明: 椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（）（
21、）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则：，因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为所以，四边形ABCD的面积当k2=1时，上式取等号（）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4综上，四边形ABCD的面积的最小值为例8已知函数与的图象相交于，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点（I）求的取值范围；（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）解：（I）由方程消得依题意，该方程有两个正实根，故 解得（II）由，求得切线的方程为，由，并令，得，是方程的两实根，且，、故，是关于
22、的减函数，所以的取值范围是是关于的增函数，定义域为，所以值域为，（III）当时，由（II）可知类似可得由可知从而当时，有相同的结果所以自我提升1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中a,bR，且a+b=1，则点C的轨迹方程为( D )A 3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C 2x-y=0 D x+2y-5=02、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|P(x,y)的轨迹是.( C )A椭圆B双曲线C线段D射线3、中心在原点，焦点在坐标为(0，5)的椭圆被直线3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为(C
23、 )4、直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是（A）. A、m1且m5 B、m1 C、m5 D、m55、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|-|P(x,y)的轨迹C的方程为_.( ).52012许昌一模 设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点若点P在双曲线上，且0，则|()A2 B. C4 D25D解析 根据已知PF1F2是直角三角形，向量2，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.0，则|2|2.6已知A、B为抛物线x2=2py (p0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则y轴上恒存在一点K，使得；存在实数l使得 ；若线段A
24、B中点P在在准线上的射影为T，有。中说法正确的为_，过P(1,0)作直线 l，使得l与该椭圆交于A,B两点，l与y轴的交点为Q，且，求直线 l的方程。解：直线l过P(1,0)，故可设方程为y=k(x-1)， 因为，所以 AB的中点与 PQ的中点重合.由得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0 所以，又xP+xQ=1 故得，所求的直线方程为。82012瑞安质检 设椭圆M：1(a)的右焦点为F1，直线l：x与x轴交于点A，若20(其中O为坐标原点)(1)求椭圆M的方程；(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2(y2)21的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求的最大值解：(1
25、)由题设知，A，F1，由20，得2.解得a2M的方程为1.(2)解法1：设圆N：x2(y2)21的圆心为N，则()()()()2221.设P(x0，y0)是椭圆M上一点，则1，所以2x(y02)22(y01)212.因为y0，所以当y01时，2的最大值为11.解法2：设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，P(x0，y0)，所以可得(x1x0)(x2x0)(y1y0)(y2y0)(x1x0)(x1x0)(y1y0)(4y1y0)xxyy4y14y0xy4y0(xy4y1)因为点E在圆N上，所以x(y12)21，即xy4y13.又因为点P在椭圆M上，所以1，即x63y.所以2y4y092(y01)211.因为y0，所以当y01时，()min11.9.设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且 （1）求椭圆C的离心率；APQFOxy （2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l： 相切，求椭圆C的方程. 解：设Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知设，得因为点P在椭圆上，所以整理得2b2=3ac，即2（a2c2）=3ac，,故椭圆的离心率e由知，于是F（a，0）， QAQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a所以，解得a=2，c=1，b=，所求椭圆方程为