《圆锥曲线(直线与圆锥曲线的位置关系、定值、存在性问题(教师版).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线(直线与圆锥曲线的位置关系、定值、存在性问题(教师版).doc（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、圆锥曲线直线与圆锥曲线定值、存在性问题1.已知椭圆，点为其长轴的等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，则10条直线的斜率乘积为 . 2.如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点若直线斜率为时，（1）求椭圆的标准方程；NMQAOPxy（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论解：（1）设直线斜率为时， ，椭圆的标准方程为（2）以为直径的圆过定点设，则，且，即，直线方程为，直线方程为， 以为直径的圆为，即 ，令，解得，以为直径的圆过定点 PNMBOAxyE3.（苏州期末）如
2、图，已知椭圆，点是其下顶点，过点的直线交椭圆于另一点（点在轴下方），且线段的中点在直线上（1）求直线的方程；（2）若点为椭圆上异于的动点，且直线，分别交直线于点，证明：为定值解：（1）设点E（m，m），由B（0，2）得A（2m，2m+2）代入椭圆方程得，即，解得或（舍）所以A（，），故直线AB的方程为 （2）设，则，即设，由A，P，M三点共线，即，又点M在直线上，解得M点的横坐标， 设，由B，P，N三点共线，即，点N在直线上，解得N点的横坐标 所以OMON=24.（淮安宿迁摸底）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（1）若直线，互
3、相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，求证：；（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由解析：（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即，又点在椭圆上，所以， 联立，解得 所以所求圆的方程为 （2）因为直线：，：，与圆相切，所以,化简得 同理， 所以是方程的两个不相等的实数根，因为点在椭圆C上，所以，即，所以，即 （3）是定值，定值为36， 理由如下：法一：是定值，定值为36， 当直线不落在坐标轴上时,设,联立解得 所以，同理，得，由，所以 (ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，综上： 法二：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,因为，
4、所以,即，因为在椭圆C上，所以， 即，所以，整理得，所以， 所以 (ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，综上： 5.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，直线：与椭圆相交于两点，、是椭圆上异于的任意两点，且直线，相交于点，直线，相交于点 xyAOBCDMN（1）求的值；（2）求证：直线的斜率为定值解：（1）因为e，所以c2a2，即a2b2a2，所以a22b2故椭圆方程为1由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限由解得A(b，b)又AB2，所以OA，即b2b25，解得b23故a，b （2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为 1，从而A(2，1)，B(2，1)当CA，CB，DA，DB斜率
5、都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1k2从而k1 kCB 所以kCB 同理kDB 于是直线AD的方程为y1k2(x2)，直线BC的方程为y1(x2)由解得 从而点N的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)所以kMN 1 即直线MN的斜率为定值1 当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)仍然设DA的斜率为k2，由知kDB此时CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N(2，1)，从而kMN
6、1也成立 由可知，直线MN的斜率为定值1 方法二：由（1）知，椭圆E的方程为 1，从而A(2，1)，B(2，1)当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2 显然k1k2直线AC的方程y1k1(x2)，即yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0设点C的坐标为(x1，y1)，则2x1，从而x1 所以C(，) 又B(2，1)，所以kBC 所以直线BC的方程为y1(x2)又直线AD的方程为y1k2(x2)由解得 从而点N的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)所以kMN 1即直线MN的斜率为定值1 当C
7、A，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)仍然设DA的斜率为k2，则由知kDB此时CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N(2，1)，从而kMN1也成立由可知，直线MN的斜率为定值1 6.在平面直角坐标系中，设中心在坐标原点的椭圆的左、右焦点分别为，右准线：与轴的交点为，（1）已知点在椭圆上，求实数的值；（2）已知定点若椭圆上存在点，使得，求椭圆的离心率的取值范围；xyAOBMPQF2F1l当时，记为椭圆上的动点，直线分别与椭圆交于另一点，若，求证
8、：为定值解：（1）设椭圆C的方程为 1(ab0)由题意，得 解得 所以椭圆方程为1 因为椭圆C过点(，1)，所以1，解得m2或m (舍去）所以m2 （2）设点T(x，y)由，得(x2)2y22(x1)2y2，即x2y22 由 得y2m2m 因此0m2mm，解得1m2所以椭圆C的离心率e， （方法一）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)则(x02，y0)，(x12，y1)由l， 得 从而 因为y021，所以(ly1)21即l2(y12)2l(l1)x12(l1)210因为 y121，代入得2l (l1)x13l24l10由题意知，l1，故x1，所以x0 同理可得x0 因此，所以
9、lm6 （方法二）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)直线AM的方程为y(x2)将y(x2)代入y21，得(x02)2y)x24yx4y(x02)2 0(*)因为y021，所以（*）可化为(2x03)x24yx3x4x00因为x0x1，所以x1同理x2 因为l，m，所以lm6即m为定值67.如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为.（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.解：（1）由，设，则，所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，所以椭圆的方程为 （2）将代入，解得，因点在第一象限，从而，由点的坐标为，所以，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，解得，又过原点，于是，所以直线的方程为，所以点到直线的距离， （3）假设存在点，使得为定值，设，当直线与轴重合时，有，当直线与轴垂直时，由，解得，所以若存在点，此时，为定值2. 根据对称性，只需考虑直线过点，设，又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，化简得，所以，又，所以，将上述关系代入，化简可得.综上所述，存在点，使得为定值2 .