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1、小学六年级奥数教案：行程问题第一讲 行程问题走路、行车、一个物体的挪动，总是要涉及到三个数量：间隔 走了多远，行驶多少千米，挪动了多少米等等;速度在单位时间内(例如1小时内)行走或挪动的间隔 ;时间行走或挪动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：间隔 =速度时间很明显，只要知道其中两个数量，就立刻可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最根本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量人数.工作量=工作效率时间.因此，我们从行程问题入手，驾驭一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它单独的特点，在小学的
2、应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶好玩味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们特别盼望大家能学好这一讲，特殊是学会对一些问题的思索方法和处理技巧.这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米一、追及与相遇有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.本质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的间隔 ，也就是要计算两人走的间隔 之差.假如设甲走得快，乙走得慢，在一样时间内，甲走的间隔 -乙走的间隔 = 甲的速度时间-乙的速度时间=(甲的速度-乙的
3、速度)时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路途行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的间隔 是多少千米解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间=96=1.5(小时).小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是面包车速度是 54-6=48(千米/小时).城门离学校的间隔 是481.5=72(千米).答：学校到城门的
4、间隔 是72千米.例2 小张从家到公园，原准备每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟动身.考虑小张以75米/分钟速度去追逐，追上所需时间是50 10(75- 50)= 20(分钟)因此，小张走的间隔 是75 20= 1500(米).答：从家到公园的间隔 是1500米.还有一种不少人采纳的方法.家到公园的间隔 是一种解法好不好，首先是“易于思索”，其次是“计算便利”.那么你更喜爱哪一种解法呢对不同的解法进展比拟，能渐渐形成符合你思维习惯的解题思路.例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆
5、汽车要去追逐.假如速度是30千米/小时，要1小时才能追上;假如速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少解一：自行车1小时走了301-已超前间隔 ，自行车40分钟走了自行车多走20分钟，走了因此，自行车的速度是答：自行车速度是20千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上间隔 速度差1小时与40分钟是32.所以两者的速度差之比是23.请看下面示意图：立刻可看出前一速度差是15.自行车速度是35- 15= 20(千米/小时).解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清晰后，特别便于心算.例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里动身，8分钟后，爸爸骑摩托车
6、去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸马上回家，到家后又马上回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分解：画一张简洁的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4=4(千米).而爸爸骑的间隔 是 4+ 8= 12(千米).这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 124=3(倍).依据这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行83=24(千米).但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4+12=16(千米).少骑行24-16=8(千米).摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米须要16分钟.8+8+16=32.答：这时是8点32分.下面讲“相
7、遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，本质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段间隔 .假如两人同时动身，那么甲走的间隔 +乙走的间隔 =甲的速度时间+乙的速度时间=(甲的速度+乙的速度)时间.“相遇问题”，经常要考虑两人的速度和.例5 小张从甲地到乙地步行须要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地须要12分钟.他们同时动身，几分钟后两人相遇解：走同样长的间隔 ，小张花费的时间是小王花费时间的 3612=3(倍)，因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的间隔 是小张步行走的间隔 的3倍.假如把甲地乙地之间的间隔 分成相等的4段，小王走了3段，小张
8、走了1段，小张花费的时间是36(3+1)=9(分钟).答：两人在9分钟后相遇.例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时动身，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的间隔 .解：画一张示意图离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地间隔 的一半多1千米，小王走了两地间隔 的一半少1千米.从动身到相遇，小张比小王多走了2千米小张比小王每小时多走(5-4)千米，从动身到相遇所用的时间是2(5-4)=2(小时).因此，甲、乙两地的间隔 是(5+ 4)2=18(千米).本题外表的现象是“相遇”，本质上却要考虑“小张比小王多走多少
9、”岂不是有“追及”的特点吗对小学的应用题，不要简洁地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，原委考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.请再看一个例子.例7 甲、乙两车分别从A，B两地同时动身，相向而行，6小时后相遇于C点.假如甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时动身相向而行，则相遇地点距C点12千米;假如乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时动身相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地间隔 .解：先画一张行程示意图如下设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙
10、相遇于E点.同时动身后的相遇时间，是由速度和确定的.不管甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不管在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.下面的考虑重点转向速度差.在同样的时间内，甲假如加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点间隔 是 12+ 16= 28(千米)，加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点(或E点)相遇所用时间是285= 5.6(小时).比C点相遇少用 6-5.6=0.4(小时).甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是120.4=30(千米/小时).同样道理，乙的速度是16
11、0.4=40(千米/小时).A到 B间隔 是(30+ 40)6= 420(千米).答： A，B两地间隔 是 420千米.很明显，例7不能简洁地说成是“相遇问题”.例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问：(1)小张和小王分别从A， D同时动身，相向而行，问多少时间后他们相遇(2)相遇后，两人接着向前走，当某一个人到达终点时，另一人离终点还有多少千米解：(1)小张从 A到 B须要 1660= 10(分钟);小王从 D到 C也是下坡，须要 2.5660=
12、25(分钟);当小王到达 C点时，小张已在平路上走了 25-10=15(分钟)，走了因此在 B与 C之间平路上留下 3- 1= 2(千米)由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是2 (4+ 4)60= 15(分钟).从动身到相遇的时间是25+ 15= 40 (分钟).(2)相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点须要走 1260=30分钟，即他再走 60分钟到达终点.小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走小张离终点还有2.5-1.5=1(千米).答：40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.二、环形路上的行程问题人在环形路上行走，计算行程间隔 经常与
13、环形路的周长有关.例9 小张和小王各以肯定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小张和小王同时从同一地点动身，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分(2)小张和小王同时从同一点动身，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王解：(1 )75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是5001.25-180=220(米/分).(2)在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈(一个周长)，因此须要的时间是500(220-180)=12.5(分).22012.5500=5.5(圈).答：(1)小张的速度是2
14、20米/分;(2)小张跑5.5圈后才能追上小王.例10 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时动身反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米;在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长;第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从动身开场算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的间隔 ，应当是从A到C间隔 的3倍，即A到D是803=240(米).240-60=180(米).1802=360(米).答：这个圆的周长是360米.在一条路上来回行走，与环行路上行
15、走，解题思索时极为类似，因此也归入这一节.例11 甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时动身，在两村之间来回行走(到达另一村后就立刻返回).在动身后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少解：画示意图如下：如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间间隔 ，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间间隔 的3倍，因此所需时间是40360=2(小时).从图上可以看出从动身至第二次相遇，小张已走了62-2=10(千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他们的速度分别是小张 102=5(千米/小时)，小王 82=4(千米/小
16、时).答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.例12 小张与小王分别从甲、乙两村同时动身，在两村之间来回行走(到达另一村后就立刻返回)，他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)解：画示意图如下.第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间隔 的3倍，因此张走了3.53=10.5(千米).从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村间隔 是10.5-2=8.5(千米).每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村间隔 2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村间隔 (3+2+2)倍的行程.其中张走了3.
17、57=24.5(千米)，24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇处，离乙村8.5-7.5=1(千米).答：第四次相遇地点离乙村1千米.下面仍回到环行路上的问题.例13 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时动身反向而行.小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟;小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人动身多少时间第一次相遇解：小张的速度是6千米/小时，50分钟走5千米我们可以把他们动身后时间与行程列出下表：12+15=27比24大，从表上可以看出，他们相遇在动身后2小时10分至3小时15分之间.动身后2小时10分小张已走了此时两人相距24-(8
18、+11)=5(千米).由于从今时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需时间是5(4+6)=0.5(小时).2小时10分再加上半小时是2小时40分.答：他们相遇时是动身后2小时40分.例14 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时动身，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫动身后多少时间第一次到达同一位置解：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开场时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C(5-3)厘米0.30(5-3)=15(秒).因此15秒后B与C到达同一位置.
19、以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，须要90(5-3)=45(秒).B与C到达同一位置，动身后的秒数是15，105，150，195，再看看A与B什么时候到达同一位置.第一次是动身后30(10-5)=6(秒)，以后再要到达同一位置是A追上B一圈.须要90(10-5)=18(秒)，A与B到达同一位置，动身后的秒数是6，24，42，78，96，比照两行列出的秒数，就知道动身后60秒3只爬虫到达同一位置.答：3只爬虫动身后60秒第一次爬到同一位置.请思索， 3只爬虫第二次到达同一位置是动身后多少秒例15 图上正方形ABCD是一条环形马路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在
20、BC上的速度是120千米/小时，在CD上的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.假如从PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相遇.求解：两车同时动身至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算便利，取什么作计算单位是很重要的.设汽车行驶CD所需时间是1.依据“走同样间隔 ，时间与速度成反比”，可得出分数计算总不太便利，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD，BC，AB，AD所需时间分别是24，12，16，18.从P点同时反向各发一辆车，它们在AB中点相遇.
21、PDA与 PCB所用时间相等.PC上所需时间-PD上所需时间=DA所需时间-CB所需时间=18-12=6.而(PC上所需时间+PD上所需时间)是CD上所需时间24.依据“和差”计算得PC上所需时间是(24+6)2=15，PD上所需时间是24-15=9.如今两辆汽车从M点同时动身反向而行，MPDAN与MCBN所用时间相等.M是PC中点.PDAN与CBN时间相等，就有BN上所需时间-AN上所需时间=PDA所需时间-CB所需时间=(9+18)-12= 15.BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间=16.马上可求BN上所需时间是15.5，AN所需时间是0.5.从这一例子可以看出，对要计算的数作
22、一些准备性处理，会使问题变得简洁些.三、稍困难的问题在这一节盼望读者渐渐驾驭以下两个解题技巧：(1)在行程中能设置一个解题须要的点;(2)敏捷地运用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时动身，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地须要多少时间解：画一张示意图：图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段间隔 ，它
23、等于这段间隔 也是动身后小张比小王多走的间隔 ，小王与小张的速度差是(5.4-4.8)千米/小时.小张比小王多走这段间隔 ，须要的时间是1.3(5.4-4.8)60=130(分钟).这也是从动身到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地须要1302=65(分钟).从乙地到甲地须要的时间是130+65=195(分钟)=3小时15分.答：小李从乙地到甲地须要3小时15分.上面的问题有3个人，既有“相遇”，又有“追及”，思索时要分几个层次，弄清互相间的关系，问题也就迎刃而解了.在图中设置一个B点，使我们的思索直观简明些.例17 小玲和
24、小华姐弟俩刚要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是干脆从公园门口步行向东去快”姐姐算了一下说：“假如骑车与步行的速度比是41，那么从公园门口到目的地的间隔 超过2千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的间隔 是多少米解：先画一张示意图设A是离公园2千米处，设置一个B点，公园离B与公园离家一样远.假如从公园往西走到家，那么用同样多的时间，就能往东走到B点.如今问题就转变成：骑车从家开场，步行从B点开场，骑车追步行，能在A点或更远处追上步行.详细计算如下：不妨设B到A的间隔 为1个单位，因为骑车速度是步
25、行速度的4倍，所以从家到A的间隔 是4个单位，从家到B的间隔 是3个单位.公园到B是1.5个单位.从公园到A是1+1.5=2.5(单位).每个单位是 20002.5=800(米).因此，从公园到家的间隔 是8001.5=1200(米).答：从公园门口到他们家的间隔 是1200米.这一例子中，取计算单位给计算带来便利，是值得读者仿照采纳的.请再看一例.例18 快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间解：画一张示意图：设C点是第一次相遇处.慢车从B
26、到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5(小时).我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶37=21(单位).从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1=14(单位).如今慢车从A，快车从D，同时动身共同行走14单位，相遇所需时间是14(2+3)=2.8(小时).慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了7.5+0.5+2.8=10.8(小时).答：从第一相遇到再相遇共需10
27、小时48分.例19 一只小船从A地到B地来回一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地间隔 .解：1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B间隔 的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.如今就一目了然了.D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3千米时间一样多.因此顺水速度逆水速度=53.由
28、于两者速度差是8千米.马上可得出A至B间隔 是 12+3=15(千米).答：A至B两地间隔 是15千米.例20 从甲市到乙市有一条马路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段马路的长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时动身，相向而行.1小时20分后，在第二段的解一：画出如下示意图：当从乙城动身的汽车走完第三段到C时，从甲城动身的汽车走完第一段的到达D处，这样，D把第一段分成两局部时20分相当于因此就知道，汽车在第一段须要第二段须要 303=90(分钟);甲、乙两市间隔 是答：甲、乙
29、两市相距185千米.把每辆车从动身到相遇所走的行程都分成三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例8、例13也是类似思路，仅仅是问题简洁些.还可以用“比例安排”方法求出各段所用时间.第一段所用时间第三段所用时间=52.时间一样.第一段所用时间第二段所用时间=59.因此，三段路程所用时间的比是592.汽车走完全程所用时间是 802=160(分种).例21 一辆车从甲地开往乙地.假如车速进步20%，可以比原定时间提早一小时到达;假如以原速行驶120千米后，再将速度进步25%，则可提早40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米解：设原速度
30、是1.%后，所用时间缩短到原时间的这是详细地反映：间隔 固定，时间与速度成反比.用原速行驶须要同样道理，车速进步25%，所用时间缩短到原来的假如一开场就加速25%，可少时间如今只少了40分钟， 72-40=32(分钟).说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间真巧，320-160=160(分钟)，原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长答：甲、乙两地相距270千米.特别有意思，按原速行驶120千米，这一条件只在最终用上.事实上，其他条件已完全确定了“原速”与“加速”两段行程的时间的比例关系，当然也确定了间隔 的比例关系.全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为x，就有x120=7232