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1、小学六年级奥数教案：行程问题小学六年级奥数教案：行程问题第一讲 行程问题走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等;速度在单位时间内(例如 1 小时内)行走或移动的距离;时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度时间很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量人数.工作量=工作效率时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问
2、题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.这一讲，用 5 千米/小时表示速度是每小时 5 千米，用 3 米/秒表示速度是每秒 3米一、追及与相遇有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离=甲的速度时间-
3、乙的速度时间=(甲的速度-乙的速度)时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.例 1 小轿车的速度比面包车速度每小时快 6 千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早 10 分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门 9 千米，问学校到城门的距离是多少千米?解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了 9 千米，而小轿车与面包车的速度差是 6 千米/小时，因此所用时间=96=1.5(小时).小轿车比面包车早 10 分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门 9 千米，说明小轿车的速度是面包车速度是 54-6=48(千米/小时).城
4、门离学校的距离是481.5=72(千米).答：学校到城门的距离是 72 千米.例 2 小张从家到公园，原打算每分种走50 米.为了提早 10 分钟到，他把速度加快，每分钟走 75 米.问家到公园多远?解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10 分钟出发.考虑小张以 75 米/分钟速度去追赶，追上所需时间是50 10(75-50)=20(分钟)?因此，小张走的距离是75 20=1500(米).答：从家到公园的距离是 1500 米.还有一种不少人采用的方法.家到公园的距离是一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢?对不同的解法进行比较，能逐渐
5、形成符合你思维习惯的解题思路.例 3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是 30千米/小时，要 1 小时才能追上;如果速度是 35 千米/小时，要 40 分钟才能追上.问自行车的速度是多少?解一：自行车 1 小时走了301-已超前距离，自行车 40 分钟走了自行车多走 20 分钟，走了因此，自行车的速度是答：自行车速度是 20 千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上距离速度差1 小时与 40 分钟是 32.所以两者的速度差之比是 23.请看下面示意图：马上可看出前一速度差是 15.自行车速度是35-15=20(千米/小时).解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同
6、.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.例 4 上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是 8 千米，这时是几点几分?解：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4=4(千米).而爸爸骑的距离是 4+8=12(千米).这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 124=3(倍).按照这个倍数计算，小明骑 8 千米，爸爸可以骑行 83=24(千米).但事实上，爸爸少用了 8 分钟，骑行了4+12=16(千米).少
7、骑行 24-16=8(千米).摩托车的速度是 1 千米/分，爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟.8+8+16=32.答：这时是 8 点 32 分.下面讲“相遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么甲走的距离+乙走的距离=甲的速度时间+乙的速度时间=(甲的速度+乙的速度)时间.“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.例 5 小张从甲地到乙地步行需要 36 分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要 12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇?解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 3612=3(倍)，因此
8、自行车的速度是步行速度的 3 倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的 3 倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的 4 段，小王走了 3 段，小张走了 1 段，小张花费的时间是36(3+1)=9(分钟).答：两人在 9 分钟后相遇.例 6 小张从甲地到乙地，每小时步行 5 千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4 千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点 1 千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.解：画一张示意图离中点 1 千米的地方是 A 点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多 1千米，小王走了两地距离的一半少 1 千米.从出发到相遇，小张比小王多走了 2千米小
9、张比小王每小时多走(5-4)千米，从出发到相遇所用的时间是2(5-4)=2(小时).因此，甲、乙两地的距离是(5+4)2=18(千米).本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少?”岂不是有“追及”的特点吗?对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.请再看一个例子.例 7 甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发，相向而行，6 小时后相遇于 C 点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5 千米，且两车还从A，B 两地同时出发相向而行
10、，则相遇地点距 C 点 12 千米;如果乙车速度不变，甲车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 16 千米.求 A，B 两地距离.解：先画一张行程示意图如下设乙加速后与甲相遇于 D 点，甲加速后与乙相遇于 E 点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加 5 千米，因此，不论在 D 点相遇，还是在 E 点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.下面的考虑重点转向速度差.在同样的时间内，甲如果加速，就到E 点，而不加速，只能到 D 点.这两点距离是 12+16=28(千米)，加速与不加速所形成的速
11、度差是5 千米/小时.因此，在D点(或 E 点)相遇所用时间是285=5.6(小时).比 C 点相遇少用 6-5.6=0.4(小时).甲到达 D，和到达 C 点速度是一样的，少用 0.4 小时，少走 12 千米，因此甲的速度是120.4=30(千米/小时).同样道理，乙的速度是160.4=40(千米/小时).A 到 B 距离是(30+40)6=420(千米).答：A，B 两地距离是 420 千米.很明显，例 7 不能简单地说成是“相遇问题”.例 8 如图，从 A 到 B 是 1 千米下坡路，从 B 到 C 是 3 千米平路，从 C 到 D 是2.5 千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是
12、6 千米/小时，平路速度都是 4千米/小时，上坡速度都是 2 千米/小时.问：(1)小张和小王分别从 A，D 同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇?(2)相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米?解：(1)小张从 A 到 B 需要 1660=10(分钟);小王从 D 到 C 也是下坡，需要2.5660=25(分钟);当小王到达 C 点时，小张已在平路上走了 25-10=15(分钟)，走了因此在 B 与 C 之间平路上留下 3-1=2(千米)由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是2(4+4)60=15(分钟).从出发到相遇的时间是25+15=40(分钟)
13、.(2)相遇后，小王再走 30 分钟平路，到达 B 点，从 B 点到 A 点需要走 1260=30分钟，即他再走 60 分钟到达终点.小张走 15 分钟平路到达 D 点，45 分钟可走小张离终点还有 2.5-1.5=1(千米).答：40 分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有 1 千米.二、环形路上的行程问题人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.例 9 小张和小王各以一定速度，在周长为 500 米的环形跑道上跑步.小王的速度是 180 米/分.(1)小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75 秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分?(2)小张和小王同时从同一
14、点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王?解：(1)75 秒-1.25 分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是5001.25-180=220(米/分).(2)在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈(一个周长)，因此需要的时间是500(220-180)=12.5(分).22012.5500=5.5(圈).答：(1)小张的速度是 220 米/分;(2)小张跑 5.5 圈后才能追上小王.例 10 如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向行走，他们在 C 点第一次相遇，C 离 A 点 80 米;在 D 点第二次相遇，D
15、 点离 B点 6O 米.求这个圆的周长.解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长;第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的 3 倍，那么从 A 到 D 的距离，应该是从 A 到 C 距离的 3 倍，即 A 到 D 是803=240(米).240-60=180(米).1802=360(米).答：这个圆的周长是 360 米.在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节.例 11 甲村、乙村相距6 千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走(到达另一村后
16、就马上返回).在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村 2 千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少?解：画示意图如下：如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的 3 倍，因此所需时间是40360=2(小时).从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了62-2=10(千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他们的速度分别是小张 102=5(千米/小时)，小王 82=4(千米/小时).答：小张和小王的速度分别是 5 千米/小时和 4 千米/小时.例 12 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走(
17、到达另一村后就马上返回)，他们在离甲村 3.5 千米处第一次相遇，在离乙村 2 千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)?解：画示意图如下.第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的 3 倍，因此张走了3.53=10.5(千米).从图上可看出，第二次相遇处离乙村 2 千米.因此，甲、乙两村距离是10.5-2=8.5(千米).每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离 2 倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离(3+2+2)倍的行程.其中张走了3.57=24.5(千米)，24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇处，离乙村8.5-7.5=1
18、(千米).答：第四次相遇地点离乙村 1 千米.下面仍回到环行路上的问题.例 13 绕湖一周是 24 千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以 4 千米/小时速度每走 1 小时后休息 5 分钟;小张以 6 千米/小时速度每走 50 分钟后休息 10 分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇?解：小张的速度是6 千米/小时，50 分钟走 5 千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：12+15=27 比 24 大，从表上可以看出，他们相遇在出发后 2 小时 10 分至 3 小时15 分之间.出发后 2 小时 10 分小张已走了此时两人相距24-(8+11)=5(千米).由于从此时到相遇
19、已不会再休息，因此共同走完这 5 千米所需时间是5(4+6)=0.5(小时).2 小时 10 分再加上半小时是 2 小时 40 分.答：他们相遇时是出发后 2 小时 40 分.例 14 一个圆周长 90 厘米，3 个点把这个圆周分成三等分，3 只爬虫 A，B，C分别在这 3 个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A 的速度是 10厘米/秒，B 的速度是 5 厘米/秒，C 的速度是 3 厘米/秒，3 只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置?解：先考虑 B 与 C 这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差 30厘米，每秒钟 B 能追上 C(5-3)厘米 0.30(5-3)=1
20、5(秒).因此 15 秒后 B 与 C 到达同一位置.以后再要到达同一位置，B 要追上 C 一圈，也就是追上 90 厘米，需要90(5-3)=45(秒).B 与 C 到达同一位置，出发后的秒数是15，105，150，195，再看看 A 与 B 什么时候到达同一位置.第一次是出发后30(10-5)=6(秒)，以后再要到达同一位置是 A 追上 B 一圈.需要90(10-5)=18(秒)，A 与 B 到达同一位置，出发后的秒数是6，24，42，78，96，对照两行列出的秒数，就知道出发后 60 秒 3 只爬虫到达同一位置.答：3 只爬虫出发后 60 秒第一次爬到同一位置.请思考，3 只爬虫第二次到达
21、同一位置是出发后多少秒?例 15 图上正方形 ABCD 是一条环形公路.已知汽车在 AB 上的速度是 90 千米/小时，在 BC 上的速度是 120 千米/小时，在 CD 上的速度是 60 千米/小时，在DA 上的速度是 80 千米/小时.从 CD 上一点 P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在 AB 中点相遇.如果从 PC 中点 M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点 N 处相遇.求解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.设汽车行驶 CD 所需时间是 1.根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得
22、出分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以 24.这样，汽车行驶 CD，BC，AB，AD 所需时间分别是 24，12，16，18.从 P 点同时反向各发一辆车，它们在 AB 中点相遇.PDA 与 PCB 所用时间相等.PC 上所需时间-PD 上所需时间=DA 所需时间-CB 所需时间=18-12=6.而(PC 上所需时间+PD 上所需时间)是 CD 上所需时间 24.根据“和差”计算得PC 上所需时间是(24+6)2=15，PD 上所需时间是 24-15=9.现在两辆汽车从 M 点同时出发反向而行，MPDAN 与 MCBN 所用时间相等.M 是 PC 中点.PDAN 与 CBN 时间相等，就有
23、BN 上所需时间-AN 上所需时间=PDA 所需时间-CB 所需时间=(9+18)-12=15.BN 上所需时间+AN 上所需时间=AB 上所需时间=16.立即可求 BN 上所需时间是 15.5，AN 所需时间是 0.5.从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些.三、稍复杂的问题在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：(1)在行程中能设置一个解题需要的点;(2)灵活地运用比例.例 16 小王的步行速度是 4.8 千米/小时，小张的步行速度是 5.4 千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们 3 人同时出发，在
24、小张与小李相遇后 5 分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间?解：画一张示意图：图中 A 点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个 B 点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5 分钟后小王与小李相遇，也就是 5 分钟的时间，小王和小李共同走了 B 与 A 之间这段距离，它等于这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是(5.4-4.8)千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是1.3(5.4-4.8)60=130(分钟).这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度 10.8 千米/小时是小张速度 5.4 千米/小时的 2 倍.因此小李从 A
25、 到甲地需要1302=65(分钟).从乙地到甲地需要的时间是130+65=195(分钟)=3 小时 15 分.答：小李从乙地到甲地需要 3 小时 15 分.上面的问题有 3 个人，既有“相遇”，又有“追及”，思考时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而解了.在图中设置一个 B 点，使我们的思考直观简明些.例 17 小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去快”?姐姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是 41，那么从公园门口到目的地的距离超过 2 千米时，回家取车才合
26、算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米?解：先画一张示意图设 A 是离公园 2 千米处，设置一个B 点，公园离B 与公园离家一样远.如果从公园往西走到家，那么用同样多的时间，就能往东走到 B 点.现在问题就转变成：骑车从家开始，步行从 B 点开始，骑车追步行，能在 A 点或更远处追上步行.具体计算如下：不妨设 B 到 A 的距离为 1 个单位，因为骑车速度是步行速度的 4 倍，所以从家到 A 的距离是 4 个单位，从家到 B 的距离是 3 个单位.公园到 B 是 1.5 个单位.从公园到 A 是1+1.5=2.5(单位).每个单位是 20002.5=800(米).因此，从公园到家的距离
27、是8001.5=1200(米).答：从公园门口到他们家的距离是 1200 米.这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者仿照采用的.请再看一例.例 18 快车和慢车分别从 A，B 两地同时开出，相向而行.经过 5 小时两车相遇.已知慢车从 B 到 A 用了 12.5 小时，慢车到 A 停留半小时后返回.快车到 B 停留1 小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间?解：画一张示意图：设C点是第一次相遇处.慢车从B 到 C用了 5 小时，从 C到A 用了 12.5-5=7.5(小时).我们把慢车半小时行程作为 1 个单位.B 到 C10 个单位，C 到 A15 个单位.慢车每小时
28、走 2 个单位，快车每小时走 3 个单位.有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.慢车从 C 到 A，再加停留半小时，共 8 小时.此时快车在何处呢?去掉它在 B 停留 1 小时.快车行驶 7 小时，共行驶 37=21(单位).从 B 到 C 再往前一个单位到D 点.离 A 点 15-1=14(单位).现在慢车从 A，快车从 D，同时出发共同行走 14 单位，相遇所需时间是14(2+3)=2.8(小时).慢车从 C 到 A 返回行驶至与快车相遇共用了7.5+0.5+2.8=10.8(小时).答：从第一相遇到再相遇共需 10 小时 48 分.例 19 一只小船从 A 地到 B 地往返一次共用
29、2 小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶 8 千米，因此第二小时比第一小时多行驶6 千米.求 A 至 B 两地距离.解：1 小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了 B 地.我们在 B之前设置一个 C 点，是小船逆水行驶 1 小时到达处.如下图第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是 C 至 B 距离的 2 倍，它等于 6 千米，就知 C 至 B 是 3 千米.为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶 8 千米，在图中再设置 D 点，D至 C 是 8 千米.也就是 D 至 A 顺水行驶时间是 1 小时.现在就一目了然了.D 至 B是 5 千米顺水行驶，与 C 至 B 逆水行驶
30、 3 千米时间一样多.因此顺水速度逆水速度=53.由于两者速度差是 8 千米.立即可得出A 至 B 距离是 12+3=15(千米).答：A 至 B 两地距离是 15 千米.例 20 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40 千米，在第二段上，汽车速度是每小时90 千米，在第三段上，汽车速度是每小时 50 千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的 2 倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行.1 小时 20 分后，在第二段的解一：画出如下示意图：当从乙城出发的汽车走完第三段到 C 时，从甲城出发的汽车走完第一段的到达 D 处，这样，D 把第一段分成两部分时 2
31、0 分相当于因此就知道，汽车在第一段需要第二段需要 303=90(分钟);甲、乙两市距离是答：甲、乙两市相距 185 千米.把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例 8、例 13 也是类似思路，仅仅是问题简单些.还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间.第一段所用时间第三段所用时间=52.时间一样.第一段所用时间第二段所用时间=59.因此，三段路程所用时间的比是592.汽车走完全程所用时间是 802=160(分种).例 21 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高 20%，可以比原定时间提前一小时
32、到达;如果以原速行驶 120 千米后，再将速度提高 25%，则可提前 40 分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米?解：设原速度是 1.%后，所用时间缩短到原时间的这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.用原速行驶需要同样道理，车速提高 25%，所用时间缩短到原来的如果一开始就加速 25%，可少时间现在只少了 40 分钟，72-40=32(分钟).说明有一段路程未加速而没有少这个 32 分钟，它应是这段路程所用时间真巧，320-160=160(分钟)，原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长答：甲、乙两地相距 270 千米.十分有意思，按原速行驶 120 千米，这一条件只在最后用上.事实上，其他条件已完全确定了“原速”与“加速”两段行程的时间的比例关系，当然也确定了距离的比例关系.全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为 x，就有x120=7232