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1、小学六年级奥数教案 小学六年级奥数教案：行程问题 第一讲 行程问题 走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量： 距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等; 速度在单位时间内(例如1小时内)行走或移动的距离; 时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示： 距离=速度时间 很明显，只要知道其中两个数量，就立刻可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如 总量=每个人的数量人数.工作量=工作效率时间.因此，我们从行程问题入手，驾驭一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行
2、程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶好玩味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们特别希望大家能学好这一讲，特殊是学会对一些问题的思索方法和处理技巧.这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米 一、追及与相遇 有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.假如设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内， 甲走的距离-乙走的距离 = 甲的速度时间-
3、乙的速度时间 =(甲的速度-乙的速度)时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路途行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米? 解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此 所用时间=96=1.5(小时).小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是 面包车速度是 54-6=48(千米/小时).城门离学校的距离是 48
4、1.5=72(千米).答：学校到城门的距离是72千米.例2 小张从家到公园，原准备每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远? 解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟动身.考虑小张以75米/分钟速度去追逐，追上所需时间是 50 10(75- 50)= 20(分钟)? 因此，小张走的距离是 75 20= 1500(米).答：从家到公园的距离是1500米.还有一种不少人采纳的方法. 家到公园的距离是 一种解法好不好，首先是“易于思索”，其次是“计算便利”.那么你更喜爱哪一种解法呢?对不同的解法进行比较，能渐渐形成符合你思维习惯的解题思路
5、.例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追逐.假如速度是30千米/小时，要1小时才能追上;假如速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少? 解一：自行车1小时走了 301-已超前距离， 自行车40分钟走了 自行车多走20分钟，走了 因此，自行车的速度是 答：自行车速度是20千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上距离速度差 1小时与40分钟是32.所以两者的速度差之比是23.请看下面示意图： 立刻可看出前一速度差是15.自行车速度是 35- 15= 20(千米/小时).解二的想法与其次讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清晰后，特别便于心算.例
6、4 上午8点8分，小明骑自行车从家里动身，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸马上回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分? 解：画一张简洁的示意图： 图上可以看出，从爸爸第一次追上到其次次追上，小明走了 8-4=4(千米).而爸爸骑的距离是 4+ 8= 12(千米).这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 124=3(倍).根据这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行83=24(千米).但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了 4+12=16(千米).少骑行24-16=8(千米).摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行1
7、6千米须要16分钟.8+8+16=32.答：这时是8点32分.下面讲“相遇问题”. 小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.假如两人同时动身，那么 甲走的距离+乙走的距离 =甲的速度时间+乙的速度时间 =(甲的速度+乙的速度)时间.“相遇问题”，经常要考虑两人的速度和.例5 小张从甲地到乙地步行须要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地须要12分钟.他们同时动身，几分钟后两人相遇? 解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 3612=3(倍)，因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的
8、距离的3倍.假如把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是 36(3+1)=9(分钟).答：两人在9分钟后相遇.例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时动身，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.解：画一张示意图 离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从动身到相遇，小张比小王多走了2千米 小张比小王每小时多走(5-4)千米，从动身到相遇所用的时间是 2(5-4)=2(小时).因此，甲、乙两地的距离是 (5+ 4)2=1
9、8(千米).本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少?”岂不是有“追及”的特点吗?对小学的应用题，不要简洁地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，原委考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.请再看一个例子.例7 甲、乙两车分别从A，B两地同时动身，相向而行，6小时后相遇于C点.假如甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时动身相向而行，则相遇地点距C点12千米;假如乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时动身相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B
10、两地距离.解：先画一张行程示意图如下 设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时动身后的相遇时间，是由速度和确定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.下面的考虑重点转向速度差.在同样的时间内，甲假如加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12+ 16= 28(千米)，加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点 (或E点)相遇所用时间是 285= 5.6(小时).比C点相遇少用 6-5.6=0.4(小时).甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走1
11、2千米，因此甲的速度是 120.4=30(千米/小时).同样道理，乙的速度是 160.4=40(千米/小时).A到 B距离是(30+ 40)6= 420(千米).答： A，B两地距离是 420千米.很明显，例7不能简洁地说成是“相遇问题”. 例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时. 问：(1)小张和小王分别从A， D同时动身，相向而行，问多少时间后他们相遇? (2)相遇后，两人接着向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米? 解：(1)小张从
12、 A到 B须要 1660= 10(分钟);小王从 D到 C也是下坡，须要 2.5660= 25(分钟);当小王到达 C点时，小张已在平路上走了 25-10=15(分钟)，走了 因此在 B与 C之间平路上留下 3- 1= 2(千米)由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是 2 (4+ 4)60= 15(分钟).从动身到相遇的时间是 25+ 15= 40 (分钟).(2)相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点须要走 1260=30分钟，即他再走 60分钟到达终点.小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走 小张离终点还有2.5-1.5=1(千米).答：40分钟后小张和小王相遇.
13、小王到达终点时，小张离终点还有1千米. 二、环形路上的行程问题 人在环形路上行走，计算行程距离经常与环形路的周长有关.例9 小张和小王各以肯定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小张和小王同时从同一地点动身，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分? (2)小张和小王同时从同一点动身，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王? 解：(1 )75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是 5001.25-180=220(米/分).(2)在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈(一个周长)，因此须要
14、的时间是 500(220-180)=12.5(分).22012.5500=5.5(圈).答：(1)小张的速度是220米/分;(2)小张跑5.5圈后才能追上小王.例10 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时动身反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米;在D点其次次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长. 解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长;其次次相遇，两个人合起来又走了一圈.从动身起先算，两个人合起来走了一周半.因此，其次次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应当是从A到C距离的3倍，即A到D是 803=240(米).
15、240-60=180(米).1802=360(米).答：这个圆的周长是360米.在一条路上来回行走，与环行路上行走，解题思索时极为类似，因此也归入这一节.例11 甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时动身，在两村之间来回行走(到达另一村后就立刻返回).在动身后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人其次次相遇.问小张和小王的速度各是多少? 解：画示意图如下： 如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，其次次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是 40360=2(小时).从图上可以看出从动身至其次次相遇，小张已走了 62-2=10(
16、千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他们的速度分别是 小张 102=5(千米/小时)， 小王 82=4(千米/小时).答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.例12 小张与小王分别从甲、乙两村同时动身，在两村之间来回行走(到达另一村后就立刻返回)，他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处其次次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)? 解：画示意图如下. 其次次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了 3.53=10.5(千米).从图上可看出，其次次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是 10.5-2=8.5(千米).每次要
17、再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离(3+2+2)倍的行程.其中张走了 3.57=24.5(千米)， 24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇处，离乙村 8.5-7.5=1(千米).答：第四次相遇地点离乙村1千米.下面仍回到环行路上的问题.例13 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时动身反向而行.小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟;小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人动身多少时间第一次相遇? 解：小张的速度是6千米/小时，50分钟走5千米我们可以把他们动身后时间与行程列出下表： 12
18、+15=27比24大，从表上可以看出，他们相遇在动身后2小时10分至3小时15分之间.动身后2小时10分小张已走了 此时两人相距 24-(8+11)=5(千米).由于从今时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需时间是 5(4+6)=0.5(小时).2小时10分再加上半小时是2小时40分.答：他们相遇时是动身后2小时40分.例14 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时动身，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只 爬虫动身后多少时间第一次到达同一位置? 解：先考虑B与C这两只爬
19、虫，什么时候能到达同一位置.起先时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C(5-3)厘米0.30(5-3)=15(秒).因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，须要 90(5-3)=45(秒).B与C到达同一位置，动身后的秒数是 15，105，150，195， 再看看A与B什么时候到达同一位置.第一次是动身后 30(10-5)=6(秒)， 以后再要到达同一位置是A追上B一圈.须要 90(10-5)=18(秒)， A与B到达同一位置，动身后的秒数是 6，24，42，78，96， 比照两行列出的秒数，就知道动身后60秒3只爬虫到达同一位置.答：3只爬虫
20、动身后60秒第一次爬到同一位置.请思索， 3只爬虫其次次到达同一位置是动身后多少秒? 例15 图上正方形ABCD是一条环形马路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在BC上的速度是120千米/小时，在CD上的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.假如从PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相遇.求 解：两车同时动身至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算便利，取什么作计算单位是很重要的.设汽车行驶CD所需时间是1.依据“走同样距离，时间与速度成反比”，可
21、得出 分数计算总不太便利，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD，BC，AB，AD所需时间分别是24，12，16，18.从P点同时反向各发一辆车，它们在AB中点相遇.PDA与 PCB所用时间相等.PC上所需时间-PD上所需时间 =DA所需时间-CB所需时间 =18-12 =6.而(PC上所需时间+PD上所需时间)是CD上所需时间24.依据“和差”计算得 PC上所需时间是(24+6)2=15， PD上所需时间是24-15=9.现在两辆汽车从M点同时动身反向而行，MPDAN与MCBN所用时间相等.M是PC中点.PDAN与CBN时间相等，就有 BN上所需时间-AN上所需时间 =PDA所需时间-
22、CB所需时间 =(9+18)-12 = 15.BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间 =16.马上可求BN上所需时间是15.5，AN所需时间是0.5. 从这一例子可以看出，对要计算的数作一些打算性处理，会使问题变得简洁些. 三、稍困难的问题 在这一节希望读者渐渐驾驭以下两个解题技巧： (1)在行程中能设置一个解题须要的点; (2)敏捷地运用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时动身，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地须
23、要多少时间? 解：画一张示意图： 图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于 这段距离也是动身后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是(5.4-4.8)千米/小时.小张比小王多走这段距离，须要的时间是 1.3(5.4-4.8)60=130(分钟).这也是从动身到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地须要 1302=65(分钟).从乙地到甲地须要的时间是 130+65=195(分钟)=3小时1
24、5分.答：小李从乙地到甲地须要3小时15分.上面的问题有3个人，既有“相遇”，又有“追及”，思索时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而解了.在图中设置一个B点，使我们的思索直观简明些.例17 小玲和小华姐弟俩刚要从公园门口沿公路向东去某地，而他们的家要从公园门口沿公路往西.小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是干脆从公园门口步行向东去快”?姐姐算了一下说：“假如骑车与步行的速度比是41，那么从公园门口到目的地的距离超过2千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米? 解：先画一张示意图 设A是离公园2千米处，设置一个B点，公园离B与公园离家一样
25、远.假如从公园往西走到家，那么用同样多的时间，就能往东走到B点.现在问题就转变成： 骑车从家起先，步行从B点起先，骑车追步行，能在A点或更远处追上步行.详细计算如下： 不妨设B到A的距离为1个单位，因为骑车速度是步行速度的4倍，所以从家到A的距离是4个单位，从家到B的距离是3个单位.公园到B是1.5个单位.从公园到A是 1+1.5=2.5(单位).每个单位是 20002.5=800(米).因此，从公园到家的距离是 8001.5=1200(米).答：从公园门口到他们家的距离是1200米.这一例子中，取计算单位给计算带来便利，是值得读者仿照采纳的.请再看一例.例18 快车和慢车分别从A，B两地同时
26、开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间? 解：画一张示意图： 设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5(小时).我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.有了上面“取单位”打算后，下面很易计算了.慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢?去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶37=21(单位).从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1=1
27、4(单位).现在慢车从A，快车从D，同时动身共同行走14单位，相遇所需时间是 14(2+3)=2.8(小时).慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了 7.5+0.5+2.8=10.8(小时).答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分.例19 一只小船从A地到B地来回一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此其次小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.解：1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图 其次小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.为了
28、示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3千米时间一样多.因此 顺水速度逆水速度=53.由于两者速度差是8千米.马上可得出 A至B距离是 12+3=15(千米).答：A至B两地距离是15千米.例20 从甲市到乙市有一条马路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在其次段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段马路的长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时动身，相向而行.1小时20分后，在其次段的 解一
29、：画出如下示意图： 当从乙城动身的汽车走完第三段到C时，从甲城动身的汽车走完第一段的 到达D处，这样，D把第一段分成两部分 时20分相当于 因此就知道，汽车在第一段须要 其次段须要 303=90(分钟); 甲、乙两市距离是 答：甲、乙两市相距185千米.把每辆车从动身到相遇所走的行程都分成三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例 8、例13也是类似思路，仅仅是问题简洁些.还可以用“比例安排”方法求出各段所用时间. 第一段所用时间第三段所用时间=52. 时间一样.第一段所用时间其次段所用时间=59.因此，三段路程所用时间的比是 5
30、92.汽车走完全程所用时间是 802=160(分种). 例21 一辆车从甲地开往乙地.假如车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达;假如以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米? 解：设原速度是1. %后，所用时间缩短到原时间的 这是详细地反映：距离固定，时间与速度成反比.用原速行驶须要 同样道理，车速提高25%，所用时间缩短到原来的 假如一起先就加速25%，可少时间 现在只少了40分钟， 72-40=32(分钟).说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间 真巧，320-160=160(分钟)，原速的行程与加速的行
31、程所用时间一样.因此全程长 答：甲、乙两地相距270千米.非常有意思，按原速行驶120千米，这一条件只在最终用上.事实上，其他条件已完全确定了“原速”与“加速”两段行程的时间的比例关系，当然也确定了距离的比例关系.全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为x，就有 x120=7232 小学六年级奥数教案 小学奥数爱好班奥数教案 小学奥数教案安排 小学数学奥数教案 小学数学奥数教案 六年级奥数教案 奥数教案 六年级奥数教案3 小学六年级奥数教案圆与扇形 小学六年级奥数教案圆柱圆锥（定稿） 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第20页 共20页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页