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1、奥数十二讲牛吃草问题（一）牛吃草问题也叫牛顿问题或是消长问题，来由牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。英国闻名的物理学家学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，假如供给25头牛吃，可以吃几天？解题关键牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断匀称生长。解题环节主要有四步： 1、求出每天长草量； 2、求出牧场原有草量； 3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量- 生长的草量= 消耗原有草量)； 4、最终求出可吃天数 想：这片草地每天以匀速生长是分析问题的难点。把10头牛
2、22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比拟，得到的1022-1610=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把全部头牛分成两局部来探讨，用其中头吃掉新长出的草，用其余头数吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数。 设一头牛1天吃的草为一份。 那么10头牛22天吃草为11022=220份，16头牛10天吃草为11610=160份 （220-160）（22-10）=5份，说明牧场上一天长出新草5份。 220-522=110份，说明原有老草110份。 综合式：110（25-5）=5.5天，算出一共多少天。 牛顿曾提出的问
3、题牛顿在其著作普遍的算术(1707年出版)中提出如下问题：12条公牛在四个星期内吃掉了三又三分之一由格尔的牧草；21条公牛在9星期吃掉10由格尔的牧草，问多少条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草？ （由格尔是古罗马的面积单位，1由格尔约等于2,500平方米）。这个闻名的公牛问题叫做“牛顿问题”。牛顿曾说过：“假如我看得比别人更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上”。牛顿的解法是这样的：在牧草不消费的条件下，假如12条公牛在四星期内吃掉三又三分之一由格尔的牧草、则按比例36头公牛四星期内，或16头公牛九个星期内，或八头公牛18星期内吃掉10由格尔的牧草，由于牧草在生长，所以21头公牛9星期只吃掉
4、10由格尔牧草，即在随后的五周内，在10由格尔的草地上新长的牧草足够21-16=5头公牛吃9星期，或足够5/2头公牛吃18个星期，由此推得，14个星期（即18个星期减去初的四个星期）内新长的牧草可供7头公牛吃18个星期，因为5：14=5/2：7。前已算出，如牧草不长，则10由格尔草地牧草可供八头公牛吃18个星期，现考虑牧草生长，故应加上7头，即10由格尔草地的牧草实际可供15头公牛吃18个星期，由此按比例可算出。24由格尔草地的牧草实际可供36头公牛吃18星期。 牛顿还给出代数解法：他设1由格尔草地一个星期内新长的牧草相当于面积为y由格尔，由于每头公牛每个星期所吃牧草所占的面积看成是相等的，
5、依据题意，设若所求的公牛头数为x，则（10/3+10/3）*4y/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x 解得x=36 即36条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草。 还有一种方法就是运用方程式的解法。 例如有一块牧场，可供9头牛吃3天，或者5头牛吃6天，请问多少牛可以2天吃完？ 我们做方程式：设牧场原有草量为y，每天新增加的牧草可供x头牛食用，N头牛可以2天将草吃完，依据题目条件，我们列出方程式： y=(9-x）3 y=(5-x) 6 y=(N-x) 2 解方程组得x=1 y=24 N=13 其实这种牛吃草问题的核心公式是：原有草量=（牛数-单位时
6、间长草量可供给的牛的数量）天数 解法二： 牛吃草问题的关键点在于这个问题隐藏了一个根本的平衡在其中，那就是：假如每头牛每天的吃草速率与吃草量都不一样，那么此题无解，为什么？因为很可能一头牛心情好一天就能吃完这些草，也可能10头牛食欲不佳一个月吃都不完这些草，因此每头牛每天的吃草速率与数量必需都是一样的是这个问题成立并且可以得到答案的充要条件。 得到这个结论后，我们就要开场确定一个平衡的方程式出来，如何确定？不难想到，可以是吃草量与草本身量之间的平衡，也就是吃草量=草总量。于是我们就可以假设一头牛一天的吃草量为M，并假设第三种状况牛吃草的天数为N；接下来开场找寻平衡方程，我们可以看到，在问题供给
7、的条件中，第一种状况的草地总量为10M22，第二种状况的草地总量为16M10，第三种状况的草地总量为25MN。 然后我们开场找寻方程的平衡：既然我们如今已经找到三种状况里草地的总量，那么不难想到方程的另一边就要靠草的量来进展平衡，于是，我们假设原有草量为Y，草每天的生长量为X，得到如下方程组： 10M22=22X+Y 16M10=10X+Y 25MN=NX+Y 解此方程组，可得X=5，Y=110，N=5.5，因此25头牛用五天半的时间就能吃完这些草。规律总结牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断改变。解答这类题目的关键是想方法从改变中找出不变量，我们可以把总草量看成两局部的与，
8、即原有的草量加新长的草量。自不待言，原有的草量是肯定的，新长的草量虽然在变，但假如是匀速生长，我们也能找到另一个不变量每天（每周）新长出的草的数量。 方法指导：通常思路 把每头牛每天（周）的吃草量看作是“1”；求出每天（周）的新生长的草量是多少；求出原来的草量是多少；假设几头牛特地去吃新生长的草，剩下的牛吃原来的草所用几天（周）数即为所求。由于牛吃草的天数不同。例题：例1 牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在改变。解题的关键应找到不变量即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两局部：原有的草与新长出的
9、草。新长出的草虽然在变，但应留意到它是匀速生长的，因此这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在改变的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的;，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解题的关键。这里因为未知数许多，我教大家一种奇妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份，详细1份是多少我们不知道，也不用管它，设草每天增长的数量是a份，设原来的草的数量为b份，那么我们可以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a【思索1】一片草地，每天都匀速长出青草，假如可供24头牛吃6天
10、，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？15天设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是（2010-246）(10-6)=14份，原来的草量是（24-14）6=60份。可供18头牛吃60（18-14）=15天例2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以匀称的速度在削减。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速削减，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天削减的草量与原来的草的总量【思索2】由于天气渐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在削减，经计算，牧场上的草可供20头
11、牛 吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？8天，设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天削减的草量：（205-166）（6-5）=4份，原来的草量：（20+4） 5=120份，可供11头牛吃120(11+4)=8天。总结：想方法从改变中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在改变，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。学问衍变牛吃草根本问题就先介绍到这，盼望大家驾驭这种方法，以后出现样吃草问题，驴吃草问题也知道怎么做，甚至，以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法例3 自动扶梯以匀称速度由下往上
12、行驶，小明与小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？【分析】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。【思索3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是一样的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？
13、15米。蜗牛每夜下降：（205-156）（6-5）=10分米所以井深：（20+10）5=150分米=15米例4 一条船有一个破绽，水以匀称的速度漏进船内，待发觉时船舱内已进了一些水。假如用12人舀水，3小时舀完。假如只有5个人舀水，要10小时才能舀完。如今要想在2小时舀完，须要多少人？【分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”与“草”是解题的关键【思索4】一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部一样的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？5小时。设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是：（2010-1510）(20-10
14、)=5份，池内原有的水是：（10-5）20=100份.所以,用25部抽水机须要:100(25-5)=5小时1、 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？2、 一个水池装一个进水管与三个同样的出水管。先翻开进水管，等水池存了一些水后，再翻开出水管。假如同时翻开2个出水管，那么8分钟后水池空；假如同时翻开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？3、 由于天气渐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在削减。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？4、 自动扶梯以匀称速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？