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1、人教版高中数学必修一各章节学问点及重难点第一章 集合及函数概念1.1 集合1.1.1集合的含义及表示【学问要点】1、集合的含义一般地，我们把探讨对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。2、集合的中元素的三个特性（1）元素确实定性； （2）元素的互异性； （3）元素的无序性2、“属于”的概念我们通常用大写的拉丁字母, 表示集合，用小写拉丁字母, 表示元素如：假如a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 aA，假如a不属于集合A 记作 3、常用数集及其记法非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N*或 ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R4、集合的表示法（1）列举法：把
2、集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。（2）描绘法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描绘法。语言描绘法：例：不是直角三角形的三角形数学式子描绘法：例：不等式32的解集是x 32或 32（3）图示法（图）【重点】集合的根本概念和表示方法【难点】运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简洁的集合1.1.2 集合间的根本关系【学问要点】1、“包含”关系子集一般地，对于两个集合A及B，假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作2、“相等”关系假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，
3、我们就说集合A等于集合B，即：3、真子集假如,且那就说集合A是集合B的真子集，记作(或)4、空集不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集.【重点】子集及空集的概念；用图表达集合间的关系【难点】弄清元素及子集、属于及包含之间的区分1.1.3 集合的根本运算【学问要点】1、交集的定义一般地，由全部属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做的交集记作AB(读作“A交B”)，即A xA，且xB2、并集的定义一般地，由全部属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做的并集。记作：AB(读作“A并B”)，即Ax | xA，或xB3、交集及并集的性质AA =
4、A，A= , AB = BA，AA = A，A= A , AB = BA.4、全集及补集（1）全集假如集合U含有我们所要探讨的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。（2）补集设U是一个集合，A是U的一个子集（即），由U中全部不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集）。记作： ，即 =x | 且 （3）性质(C )，(C )，(C )；(C )(C ) U(AB)，(C )(C ) U(AB).【重点】集合的交集、并集、补集的概念【难点】集合的交集、并集、补集的概念及应用1.2 函数及其表示1.2.1函数的概念【学问要点】1、函数的概念设A、B是非空的数集
5、，假如根据某个确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： (x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；及x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域【留意】（1）假如只给出解析式(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；（2）函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要根据是（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零； （3）对数式的真数必需大于零;
6、（4）指数、对数式的底数必需大于零且不等于1.（5）假如函数是由一些根本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不行以等于零（7）实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义.(留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)2、构成函数的三要素定义域、对应关系和值域【留意】（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，假如两个函数的定义域和对应关系完全一样，即称这两个函数相等（或为同一函数）。（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样，而及表示自变量和函数值的字母无关。3、一样函数
7、的推断方法（1）定义域一样；（2）表达式一样 (两点必需同时具备)【值域补充】（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不管实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. （2）应熟识驾驭一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解困难函数值域的根底。4、区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示【重点】理解函数的模型化思想，用集合及对应的语言来刻画函数【难点】符号“(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示1.2.2函数的表示法【学问要点】1、常用的函数表示法及各自的优点（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离
8、散的点等等，留意推断一个图形是否是函数图象的根据：作垂直于x轴的直线及曲线最多有一个交点。（2）函数的表示法解析法：必需注明函数的定义域；图象法：描点法作图要留意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；视察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征【留意】解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值2、分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必需把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值状况留意：（1）分
9、段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集3、复合函数假如(u),(uM)(x),(xA),则 g(x)(x)，(xA) 称为f是g的复合函数.4、函数图象学问归纳（1）定义在平面直角坐标系中，以函数 (x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 (x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满意函数关系(x)，反过来，以满意(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为 P() | f(x) , xA 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由
10、及随意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.（2）画法A、描点法根据函数解析式和定义域，求出的一些对应值并列表，以()为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最终用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换（）对称变换将 f(x)在x轴下方的图象向上翻得到f(x)的图象如：书上P21例5 f(x)和 f()的图象关于y轴对称。如 f(x)和 (x)的图象关于x轴对称。如（）平移变换由f(x)得到f() 左加右减；由f(x)得到f(x)a 上加下减（3）作用A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C
11、、进步解题的速度；发觉解题中的错误。5、映射定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的随意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y及之对应，那么就称对应f：为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：”给定一个集合A到B的映射，假如aB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象【说明】函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应（1）集合A、B及对应法则f是确定的；（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它及从B到A的对应关系一般是不同的；（3）对于映射f：AB来说，则应满意：（）集合A中的每一个元
12、素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6、函数的解析式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等A、假如已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；B、已知复合函数fg(x)的表达式时，可用换元法，这时要留意元的取值范围；当已知表达式较简洁时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)【重点】函数的三种表示法，分段函数
13、的概念，映射的概念【难点】根据不同的须要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象，映射的概念1.3函数的根本性质1.3.1函数单调性及最大（小）值【学问要点】1、函数的单调性定义设函数(x)的定义域为I，假如对于定义域I内的某个区间D内的随意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为(x)的单调增区间；假如对于区间D上的随意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为(x)的单调减区间.【留意】（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的
14、部分性质；（2）必需是对于区间D内的随意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) （或f(x1)f(x2)）。2、图象的特点假如函数(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、函数单调区间及单调性的断定方法(A) 定义法任取x1，x2D，且x1 0（C为常数）时，及的单调性一样；当C 0（C为常数）时，及的单调性相反；函数、都是增（减）函数，则仍是增（减）函数；若且及都是增（减）函数，则也是增（减）函数；若且及都是增（减）函数，则也是减（增）函数；设，若在定义
15、域上是增函数，则、 都是增函数，而是减函数.5、函数的最大（小）值定义（）一般地，设函数(x)的定义域为I，假如存在实数M满意：（1）对于随意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数(x)的最大值（）一般地，设函数(x)的定义域为I，假如存在实数M满意（1）对于随意的xI，都有f(x) M；（2）存在x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数(x)的最大值.【留意】 函数最大（小）首先应当是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函数最大（小）应当是全部函数值中最大（小）的，即对于随意的xI，都有f(x)M（f(x)M）6、利用函数单调
16、性的推断函数的最大（小）值的方法 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 利用函数单调性的推断函数的最大（小）值假如函数(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数(x)在处有最大值f(b)；假如函数(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数(x)在处有最小值f(b)；【重点】函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义【难点】利用函数的单调性定义推断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值.1.3.2 函数的奇偶性【学问要点】1、偶函数定义一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f(
17、x)(x)，那么f(x)就叫做偶函数2、奇函数定义一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数【留意】函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的随意一个x，则x也肯定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称4、利用定义推断函数奇偶性的格式步骤首先确定函数的定义域，并推断其定义域是否关于原点对称；确定f(x)及f(
18、x)的关系；作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数5、函数奇偶性的性质奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全一样；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称.若为偶函数，则.若奇函数定义域中含有0，则必有.定义在关于原点对称区间上的随意一个函数，都可表示成“一个奇函数及一个偶函数的和（或差）”.如设是定义域为R的任一函数， 则，.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有
19、无穷多个（，定义域是关于原点对称的随意一个数集）.【重点】函数的奇偶性的定义及其几何意义【难点】推断函数的奇偶性的方法及格式第二章 根本初等函数2.1 指数函数2.1.1指数及指数幂的运算【学问要点】1、根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0.【留意】(1)(2)当 n是奇数时， ，当 n是偶数时， 2、分数指数幂（1）正数的正分数指数幂的意义，规定：（2）正数的正分数指数幂的意义： （3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3、实数指数幂的运算性质（1）（2）（3）【留意】在化简过程中，偶数不能轻易约分；如【重点】分数指数幂的意义，根式及分数指数幂之间的互相
20、转化，有理指数幂的运算性质【难点】根式的概念，根式及分数指数幂之间的互相转化，理解无理数指数幂2.1.2指数函数及其性质【学问要点】1、指数函数的概念一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R2、指数函数的图象和性质0a1图象性质定义域R ,值域（0，+）（1）过定点（0，1）,即0时，1(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数（3）当x0时,0y1;当x1（3）当x0时1;当x0时,0y1图象特征函数性质共性向x轴正负方向无限延长函数的定义域为R函数图象都在x轴上方函数的值域为图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）0a0时,0y1;在
21、第二象限内的图象纵坐标都大于1当x1图象上升趋势是越来越缓函数值开场减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a1自左向右看，图象渐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x0时1;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x0时,0y0且a1；（2）真数N0；（3）留意对数的书写格式2、两个重要对数（1）常用对数：以10为底的对数, ；（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , 3、对数式及指数式的互化对数式 指数式对数底数 a 幂底数对数 x 指数真数 N 幂【结论】（1）负数和零没有对数（2）1, 1=0，特殊地，10=1, 1=0 , 1, 1=0（3）对数恒等式：4、假如a 0，a 1
22、，M 0，N 0 有（1）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和（1） 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差（3） 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍【说明】（1）简易语言表达:”积的对数=对数的和”（2）有时可逆向运用公式（3）真数的取值必需是(0,)（4）特殊留意： 5、换底公式利用换底公式推导下面的结论 【重点】对数的概念，对数式及指数式的互相转化【难点】对数概念的理解，换底公式的应用2.2.2 对数函数及其性质【学问要点】1、 对数函数的概念函数 (a0，且a1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）【留意】（1）对数函数的定义及指数函数类似，都是形式
23、定义，留意区分。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2）对数函数对底数的限制：a0，且a12、对数函数的图像及性质对数函数(a0，且a1)0 a 1a 1图像yx0(1,0)yx0(1,0)性质定义域：（0，） 值域：R过点(1 ,0), 即当x 1时0在(0)上是减函数在(0)上是增函数当x1时，y0当1时，0当0x0 当x1时，y0当1时，0当0x1时，y0;当不同在(0,1) 内，或不同在(1) 内时,有0；当在1的异侧时, 0，值域求法用单调性.、区分不同底的对数函数图象利用1 ，用1去截图象得到对应的底数。、(a0且a 1) 及(a0且a 1) 互为反函数，图象关于对称。
24、5 比拟两个幂的形式的数大小的方法(1)对于底数一样指数不同的两个幂的大小比拟,可以利用指数函数的单调性来推断.(2)对于底数不同指数一样的两个幂的大小比拟,可以利用比商法来推断.(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比拟,则应通过中间值来推断.常用1和0.6 比拟大小的方法(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比拟；(4)作差比拟【重点】驾驭对数函数的图象及性质【难点】对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用2.3幂函数【学问要点】1、幂函数定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数2、幂函数性质归纳（1）全部的幂函数在（0，+）都
25、有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在0 ）上是增函数特殊地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；（3）0 时，幂函数的图象在（0，+）上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地靠近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地靠近x轴正半轴【重点】从五个详细幂函数中相识幂函数的一些性质【难点】画五个详细幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的改变规律第三章 函数的应用3.1函数及方程3.1方程的根及函数的零点【学问要点】1、函数零点的概念对于函数(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点.（本质上是函数(x
26、)及x轴交点的横坐标）2、函数零点的意义方程f(x)=0 有实数根函数(x)的图象及x轴有交点函数(x)有零点.3、零点定理函数(x)在区间上的图象是连绵不断的，并且有f(a)f(b)0,那么函数(x)在区间（）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根.4、函数零点的求法求函数(x)的零点：（1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它及函数(x)的图象联络起来，并利用函数的性质找出零点5、二次函数的零点二次函数f(x)2(a0).（1）0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象及x轴有两个交点，二次函数有
27、两个零点（2）0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象及x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3）0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象及x轴无交点，二次函数无零点【重点】零点的概念及存在性的断定【难点】零点确实定3.1.2用二分法求方程的近似解【学问要点】1、概念对于在区间上连绵不断且f(a)f(b)0的函数(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步靠近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2、用二分法求方程近似解的步骤确定区间,验证f(a)f(b)0，给定准确度；求区间()的中点c;计算f(c),若f(c)=0,则c
28、就是函数的零点；若f(a)f(c)0,则令（此时零点x0()）若f(c)f(b)0,则令（此时零点x0()）(4)推断是否到达准确度：即若0)指数函数：(a1) 指数型函数： (k01)幂函数： （ nN*) 对数函数：(a1)二次函数：2(a0) 增长快慢：V()V()V()解不等式 (1) 2x 2x x2 (2) 2x x2 0）的根的分布两个根都在（ )内两个有且仅有一个在（)内x1() x2()yxnmmnmnpqf(m)f(n)0两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于Kkyxkkf(k)0【重点】将实际问题转化为函数模型，比拟常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义【难点】怎样选择数学模型分析解决实际问题