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1、精品学习资源人教版高中数学必修一各章节学问点与重难点欢迎下载精品学习资源【学问要点】1、集合的含义第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示欢迎下载精品学习资源一般地，我们把争论对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合；2、集合的中元素的三个特性1元素的确定性；2元素的互异性； 3元素的无序性2、“属于的概念我们通常用大写的拉丁字母 A,B,C, 表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, 表示元素如：假如 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 aA ，假如 a 不属于集合 A 记作 aA3、常用数集及其记法非负整数集即自然数集记作：N；正整数集记作 ：N*
2、或 N+ ；整数集记作 ：Z；有理数集记作： Q；实数集记作 ：R4、集合的表示法1列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上；2描述法：用集合所含元素的公共特点表示集合的方法称为描述法；语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x R| x-32 或x| x-323图示法 Venn 图1.1.2 集合间的根本关系【学问要点】1、“包含关系子集一般地，对于两个集合 A 与 B，假如集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合 B 的子集，记作 AB2、“相等关系假如集合 A 的任何一个元
3、素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B，即： A=BAB且BA3、真子集假如 AB,且 AB 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB或 BA4、空集不含任何元素的集合叫做空集，记为欢迎下载精品学习资源规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集 .1.1.3 集合的根本运算【学问要点】1、交集的定义一般地，由全部属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集记作 AB 读作“A交 B，即 AB=x| x A，且 xB 2、并集的定义一般地，由全部属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成
4、的集合，叫做 A,B 的并集；记作：AB读作“ A 并 B，即 AB=x | x A，或 xB 3、交集与并集的性质AA = A，A = , AB = BA，AA = A， A = A , AB = BA.4、全集与补集1全集假如集合 U 含有我们所要争论的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集；通常用 U 来表示；2补集设 U 是一个集合， A 是 U 的一个子集即 AU，由 U 中全部不属于 A 的元素组成的集合， 叫做 U 中子集 A 的补集或余集；记作： CUA ，即 CSA =x | xU 且 xA3性质CUC UA=A ，C UAA= ， C UA A=U ；C UA C
5、UB=C UA B， C UA C UB=C U A B.欢迎下载精品学习资源【学问要点】1、函数的概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念欢迎下载精品学习资源设 A、B 是非空的数集，假如依据某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=fx ， xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域【留意】1假如只给出解析式 y=fx ，而没有指明它的定义域，那
6、么函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是1分式的分母不等于零；欢迎下载精品学习资源2偶次方根的被开方数不小于零；3对数式的真数必需大于零 ;4指数、对数式的底数必需大于零且不等于1.5假如函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各局部都有意义的 x 的值组成的集合 .6指数为零底不行以等于零7实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义. 留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.2、构成函数的三要素定义域、对应关系和值域【留意】1构成函数三个要素是定义域、对应
7、关系和值域由于值域是由定义域和对应关系打算的，所以，假如两个函数的定义域和对应关系完全一样，即称这两个函数相等或为同一函数；2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样，而与表示自变量和函数值的字母无关；3、相同函数的判定方法1定义域一样；2表达式相同两点必需同时具备 【值域补充】1函数的值域取决于定义域和对应法那么，不管实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 .2应熟识把握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的根底；4、区间的概念1区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；2无穷区间；3区间的数轴表示1.2.2 函数的表示法【学问要点】1、常
8、用的函数表示法及各自的优点1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，留意判定一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点；2函数的表示法解析法：必需注明函数的定义域；图象法：描点法作图要留意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观看函数的特点； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特点【留意】解析法：便于算出函数值；列表法：便于查出函数值；图象法：便于量出函数值欢迎下载精品学习资源2、分段函数在定义域的不同局部上有不同的解析表达式的函数；在不同的范畴里求函数值时必需把自变 量代入相应的表达式； 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，
9、而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各局部的自变量的取值情形留意：1分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； 2分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集3、复合函数假如 y=fu,u M,u=gx,x A,那么 y=fgx=Fx ， xA称为 f 是 g 的复合函数 .4、函数图象学问归纳1定义在平面直角坐标系中，以函数y=fx , x A 中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 Px， y的集合 C，叫做函数 y=fx,xA 的图象C 上每一点的坐标 x，y均满意函数关系 y=fx ，反过来，以满意 y=fx 的每一组有序实数对 x、y
10、 为坐标的点 x， y，均在 C 上 . 即记为 C= Px,y | y= fx , x A 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线或直线 ,也可能是由与任意平行于 Y 轴的直线最多只有一个交点的假设干条曲线或离散点组成.2画法A、描点法依据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以 x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点 Px, y，最终用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换对称变换将 y= fx 在 x 轴下方的图象向上翻得到y=fx 的图象如：书上 P21 例 5xalog a xlog 1 x y= fx 和 y= f-
11、x 的图象关于 y 轴对称；如 yax与ya x1欢迎下载精品学习资源 y= fx 和 y= -fx 的图象关于 x 轴对称；如 y平移变换由 fx 得到 fxa左加右减； 由 fx 得到 fxa上加下减3作用A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路； C、提高解题的速度；发觉解题中的错误；log ax与ya欢迎下载精品学习资源5、映射定义：一般地，设 A、B 是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法那么f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射；记作“ f：A
12、B欢迎下载精品学习资源给定一个集合 A 到 B 的映射，假如 a A,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象【说明】函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应1集合 A、B 及对应法那么 f 是确定的；2对应法那么有“方向性，即强调从集合A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；3对于映射 f：AB 来说，那么应满意：集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯独的；集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象；6、函数的
13、解析式1函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法那么，二是要求出函数的定义域.2求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等A、假如函数解析式的构造时，可用待定系数法；B、复合函数 fgx 的表达式时，可用换元法，这时要留意元的取值范畴；当表达式较简洁时，也可用凑配法；C、假设抽象函数表达式，那么常用解方程组消参的方法求出fx【重点】 函数的三种表示法，分段函数的概念，映射的概念【难点】 依据不同的需要挑选恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象，映射的概念1.3 函数的根本性质1.3.1 函数单调性与最大小值【学问要点】1、函数
14、的单调性定义设函数 y=fx 的定义域为 I，假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2， 当 x1x2 时，都有 fx 1fx 2，那么就说 fx 在区间 D 上是增函数 ；区间 D 称为 y=fx 的单调增区间；假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 fx 1fx 2，那么就说fx 在这个区间上是 减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 .【留意】1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2必需是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1x2 时，总有 fx 1 fx 2或 fx 1
15、fx 2；2、图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数， 那么说函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、函数单调区间与单调性的判定方法欢迎下载精品学习资源(A) 定义法任取 x1，x2D，且 x1 0C 为常数时， 当 C 0C 为常数时，yf xyf x与 yC f与 yC f x 的单调性相同； x 的单调性相反；欢迎下载精品学习资源函数f x 、gx 都是增减函数，那么f xg x 仍是增减函数；欢迎下载精品学习资源假设f x0, gx0 且f x与g x都是增减函数，那么f xg x 也
16、是增减函数；欢迎下载精品学习资源假设 f x0, g x0 且f x与 g x 都是增减函数，那么f xg x 也是减增函数；欢迎下载精品学习资源设 f x0 ，假设1f x在定义域上是增函数，那么n f x、kfx k0) 、f n x n1) 都是欢迎下载精品学习资源增函数，而f x是减函数 .欢迎下载精品学习资源5、函数的最大小值定义一般地，设函数 y=fx 的定义域为 I ，假如存在实数 M 满意：1对于任意的 xI，都有 fx M；2存在 x0I ，使得 fx 0 = M那么，称 M 是函数 y=fx 的最大值一般地，设函数 y=fx 的定义域为 I，假如存在实数 M 满意1对于任意
17、的 xI，都有 fx M ；2存在 x0I ，使得 fx 0 = M那么，称 M 是函数 y=fx 的最大值 .【留意】1函数最大小第一应当是某一个函数值，即存在x0I，使得 fx 0 = M ；2函数最大小应当是全部函数值中最大 小的，即对于任意的 xI ，都有 fx MfxM 6、利用函数单调性的判定函数的最大小值的方法欢迎下载精品学习资源1利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值2利用图象求函数的最大小值3利用函数单调性的判定函数的最大小值假如函数 y=fx 在区间a，b上单调递增，在区间 b，c上单调递减那么函数 y=fx 在 x=b 处有最大值 fb；假如函数 y=fx 在区间a，b
18、上单调递减，在区间 b，c 上单调递增那么函数 y=fx 在 x=b 处有最小值 fb；1.3.2 函数的奇偶性【学问要点】1、偶函数定义一般地， 对于函数 fx 的定义域内的任意一个x，都有 fx=fx ，那么 fx 就叫做偶函数2、奇函数定义一般地，对于函数 fx 的定义域内的任意一个 x，都有 fx=fx ，那么 fx 就叫做奇函数【留意】函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性 ,也可能既是奇函数又是偶函数；由函数的奇偶性定义可知， 函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，那么 x 也肯定是定义域内的一个自变量即定义域关
19、于原点对称3、具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称4、利用定义判定函数奇偶性的格式步骤第一确定函数的定义域，并判定其定义域是否关于原点对称；确定 f x与 fx 的关系；作出相应结论：假设 fx = fx或 fx fx = 0 ，那么 fx 是偶函数； 假设 fx =fx或 fx fx = 0 ，那么 fx 是奇函数5、函数奇偶性的性质奇函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，那么其单调性完全相同； 偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，那么其单调性恰恰相反.奇函数的图象关于原点对称 , 偶函数的图象关于 y 轴对称.欢迎下载精品学习资源假设f
20、 x为偶函数，那么f xf xf | x | .欢迎下载精品学习资源假设奇函数f x定义域中含有 0，那么必有f 00 .欢迎下载精品学习资源定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数F x 与一个偶函欢迎下载精品学习资源数G x 的和或差 . 如设f x 是定义域为 R的任一函数，那么F xf xf 2x ，欢迎下载精品学习资源G xf xf 2x .欢迎下载精品学习资源复合函数的奇偶性特点是： “内偶那么偶，内奇同外 .既奇又偶函数有无穷多个f x0 ，定义域是关于原点对称的任意一个数集.欢迎下载精品学习资源【学问要点】1、根式的概念 ：其次章 根本初等函数2.1 指数
21、函数2.1.1 指数与指数幂的运算欢迎下载精品学习资源负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0，记作【留意】n 0 =0.欢迎下载精品学习资源(1) n a na欢迎下载精品学习资源(2) 当 n 是奇数时， n ana，当 n 是偶数时，n an| a |a,a0a, a0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2、分数指数幂1正数的正分数指数幂的意义，规定：_ mma nn1am a0, m,nN, 且n1欢迎下载精品学习资源2正数的正分数指数幂的意义： a nm a a n0, m, nN,且n1欢迎下载精品学习资源30 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没有意义3、实数指数
22、幂的运算性质欢迎下载精品学习资源1 ar as2 ar sar s a ars a0, r , sR0, r , sR欢迎下载精品学习资源3 abr【留意】ar br a0, b0, rR1欢迎下载精品学习资源在化简过程中，偶数不能轻易约分；如12 2 212而应 =21欢迎下载精品学习资源【学问要点】1、指数函数的概念一般地，函数ya x2.1.2 指数函数及其性质叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 R欢迎下载精品学习资源2、指数函数的图象和性质0a1图象定义域 R ,值域 0，+1过定点 0，1,即 x=0 时， y=1性质2在 R 上是减函数2在 R 上是增函数3当 x0 时
23、,0y0 时,y1;欢迎下载精品学习资源函数图象都过定点 0，1过定点 0，10a0 时,0y1;在其次象限内的图象纵坐标都大于1当 x1图象上升趋势是越来越缓函数值开头减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a1自左向右看，图象逐步上升在第一象限内的图象纵坐标都大于1增函数当 x0 时,y1;在其次象限内的图象纵坐标都小于1当 x0 时,0y1图象上升趋势是越来越陡函数值开头增长较慢，到了某一值后增长速度极快；欢迎下载精品学习资源【学问要点】1、对数的概念一般地，假如 a x2.2 对数函数当 x1当 x0 时,0y0 且 a1；2真数 N0；3留意对数的书写格式欢迎下载精品学习资源2、两个重要
24、对数1常用对数：以 10 为底的对数 ,log10N记为lg N；欢迎下载精品学习资源2自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数 , log e N记为 ln N 3、对数式与指数式的互化欢迎下载精品学习资源xlog aNaxN欢迎下载精品学习资源对数式指数式 对数底数 a 幂底数对数 x 指数真数 N 幂欢迎下载精品学习资源【结论】1负数和零没有对数2logaa=1, loga1=0，特殊地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0欢迎下载精品学习资源3对数恒等式：alog a NN欢迎下载精品学习资源4、假如 a 0 ，a1 ，M 0 ， N 0有欢迎下载精品学习资源1
25、log（aM . N）log a Mlog a N欢迎下载精品学习资源两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和欢迎下载精品学习资源M1 log aNlog a Mlog a N欢迎下载精品学习资源两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差欢迎下载精品学习资源n3 log a Mn log aM（ nR）欢迎下载精品学习资源一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍【说明】1简易语言表达 :积的对数 =对数的和 2有时可逆向运用公式3真数的取值必需是 0, 欢迎下载精品学习资源4特殊留意：log a MNlog a Mlog a N欢迎下载精品学习资源5、换底公式log a MNlog a
26、 Mlog a N欢迎下载精品学习资源log a blog c b log c alg ba lg a0, a1,c0, c1,b0欢迎下载精品学习资源m利用换底公式推导下面的结论欢迎下载精品学习资源 logb1 logb logc logdlogd logbnn log b欢迎下载精品学习资源alog b aabcaama欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【学问要点】1、对数函数的概念2.2.2 对数函数及其性质欢迎下载精品学习资源函数 ylog axa0，且 a1 叫做对数函数， 其中 x 是自变量， 函数的定义域是 0，+欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【留意】1对数函数的
27、定义与指数函数类似，都是形式定义，留意区分；如：ylog ax1 ，欢迎下载精品学习资源ylog a x2都不是对数函数，而只能称其为对数型函数2对数函数对底数的限制： a0，且 a 12、对数函数的图像与性质对数函数 ylog a x a0，且 a10 a 1a 1欢迎下载精品学习资源yy欢迎下载精品学习资源图像01,0x01,0x欢迎下载精品学习资源定义域：0，值域： R过点1 ,0, 即当 x 1 时,y 0性质 在0,+上是减函数在0,+ 上是增函数欢迎下载精品学习资源当 x1 时， y0 当 x=1 时， y=0 当 0x0【重要结论 】当 x1 时， y0 当 x=1 时， y=0
28、 当 0x1 时， y0;a欢迎下载精品学习资源当 a,b 不同在 0,1 内，或不同在 1,+ 内时,有 log【口诀】 底真同大于 0底真不同小于 0.b0；当 a,b 在 1 的异侧时, logab 0，值域求法用单调性 .x、辨论不同底的对数函数图象利用1=logaa ，用 y=1 去截图象得到对应的底数；、 y=a a0 且 a 1 与 y=logaxa0 且 a 1 互为反函数，图象关于 y=x 对称；5 比拟两个幂的形式的数大小的方法(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比拟,可以利用指数函数的单调性来判定 .欢迎下载精品学习资源(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比拟
29、,可以利用比商法来判定 .(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比拟,那么应通过中间值来判定 .常用 1 和 0.6 比拟大小的方法(1) 利用函数单调性 同底数 ；2利用中间值如 :0,1.；3变形后比拟； 4作差比拟2.3 幂函数【学问要点】1、幂函数定义一般地， 形如 yx的函数称为幂函数， 其中 x 是自变量， 为常数2、幂函数性质归纳1全部的幂函数在 0，+都有定义，并且图象都过点1，1；20 时，幂函数的图象通过原点，并且在 0,+ 上是增函数特殊地，当 1 时，幂函数的图象下凸；当 01 时，幂函数的图象上凸；30 时，幂函数的图象在 0，+上是减函数在第一象限内，当 x
30、从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于+时，图象在 x 轴上方无限地靠近 x 轴正半轴欢迎下载精品学习资源【学问要点】1、函数零点 的概念第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1 方程的根与函数的零点欢迎下载精品学习资源对于函数 y=fx, 使 fx=0 的实数 x 叫做函数的零点 .实质上是函数 y=fx 与 x 轴交点的横坐标2、函数零点的意义方程 fx=0 有实数根 . 函数 y=fx 的图象与 x 轴有交点 . 函数 y=fx 有零点.3、零点定理函数 y=fx 在区间a,b上的图象是连续不断的， 并且有 fafb0, 那么函数 y=fx 在区间a
31、,b至少有一个零点 c，使得 f c=0,此时 c 也是方程 fx=0 的根.4、函数零点的求法求函数 y=fx 的零点：1代数法求方程 fx=0 的实数根；2几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=fx 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点欢迎下载精品学习资源5、二次函数的零点二次函数 fx=ax 2+bx+ca0.1 0，方程 fx=0 有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点2 0，方程 fx=0 有两相等实根二重根 ，二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点3 0，方程 fx=0 无实根，二次函数的图象与 x 轴无交
32、点，二次函数无零点3.1.2 用二分法求方程的近似解【学问要点】1、概念对于在区间 a,b上连续不断且 fafb0 的函数 y=fx, 通过不断地把函数 fx 的零点所在的区间一分为二 ,使区间的两个端点逐步靠近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法 .2、用二分法求方程近似解的步骤确定区间 a,b, 验证 fafb0 ，给定精确度；求区间 a,b的中点 c;运算 fc,假设 fc=0,那么 c 就是函数的零点；假设 fafc0,那么令 b=c此时零点 x0a,c假设 fcfb0, 那么令 a=c此时零点 x0c,b4判定是否到达精确度：即假设 |a-b|0指数函数： y=axa1指数型函数
33、： y=kaxk0,a1幂函数： y=xn n.N*对数函数： y=logaxa1二次函数： y=ax2+bx+ca0增长快慢： VaxVx nVlog ax解不等式1 log2x 2x x22 log 2x x2 0的根的分布欢迎下载精品学习资源两个根都在 m,n 内两个有且仅有一个在 m,n内x1m,n x 2p,q欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ymn xmnmnpq欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源0mbnfmfn0f m0f n 0欢迎下载精品学习资源2 a欢迎下载精品学习资源f m 0f n 0f p 0f q 0欢迎下载精品学习资源两个根都小于 K两个根都大于 K一个根小于 K ，一个根大于Kykkxk欢迎下载精品学习资源00bkbkfk0欢迎下载精品学习资源2 a2 af k 0f k 0【重点】 将实际问题转化为函数模型，比拟常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含欢迎下载