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1、人教版高中数学必修一各章节学问点与重难点第一章 集合与函数概念1.1 集合【学问要点】1、集合含义一般地，我们把探讨对象统称为元素，把一些元素组成总体叫做集合。2、集合中元素三个特性1元素确定性； 2元素互异性； 3元素无序性2、“属于概念我们通常用大写拉丁字母A,B,C, 表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, 表示元素如：假如a是集合A元素，就说a属于集合A 记作 aA，假如a不属于集合A 记作 aA3、常用数集及其记法非负整数集即自然数集记作：N；正整数集记作：N*或 N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R4、集合表示法1列举法：把集合中元素一一列举出来，然后用一个大括号
2、括上。2描绘法：用集合所含元素公共特征表示集合方法称为描绘法。语言描绘法：例：不是直角三角形三角形数学式子描绘法：例：不等式x-32解集是xR| x-32或x| x-323图示法Venn图【重点】集合根本概念和表示方法【难点】运用集合三种常用表示方法正确表示一些简洁集合1.1.2 集合间根本关系【学问要点】1、“包含关系子集一般地，对于两个集合A与B，假如集合A任何一个元素都是集合B元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B子集，记作AB2、“相等关系假如集合A任何一个元素都是集合B元素，同时,集合B任何一个元素都是集合A元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B3、真子集假如AB,
3、且AB那就说集合A是集合B真子集，记作AB(或BA)4、空集不含任何元素集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合子集， 空集是任何非空集合真子集.【重点】子集与空集概念；用Venn图表达集合间关系【难点】弄清元素与子集、属于与包含之间区分1.1.3 集合根本运算【学问要点】1、交集定义一般地，由全部属于A且属于B元素所组成集合,叫做A,B交集记作AB(读作“A交B)，即AB=x| xA，且xB2、并集定义一般地，由全部属于集合A或属于集合B元素所组成集合，叫做A,B并集。记作：AB(读作“A并B)，即AB=x | xA，或xB3、交集与并集性质AA = A，A= , AB = BA，AA =
4、A，A= A , AB = BA.4、全集与补集1全集假如集合U含有我们所要探讨各个集合全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。2补集设U是一个集合，A是U一个子集即AU，由U中全部不属于A元素组成集合，叫做U中子集A补集或余集。记作： CUA ，即 CSA =x | xU且 xA3性质CU(C UA)=A，(C UA)A=，(C UA)A=U；(C UA)(C UB)=C U(AB)，(C UA)(C UB)=C U(AB).【重点】集合交集、并集、补集概念【难点】集合交集、并集、补集概念与应用1.2 函数及其表示1函数概念【学问要点】1、函数概念设A、B是非空数集，假如根据某
5、个确定对应关系f，使对于集合A中随意一个数x，在集合B中都有唯一确定数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x取值范围A叫做函数定义域；与x值相对应y值叫做函数值，函数值集合f(x)| xA 叫做函数值域【留意】1假如只给出解析式y=f(x)，而没有指明它定义域，那么函数定义域即是指能使这个式子有意义实数集合；2函数定义域、值域要写成集合或区间形式【定义域补充】求函数定义域时列不等式组主要根据是1分式分母不等于零；2偶次方根被开方数不小于零； 3对数式真数必需大于零;4指数、对数式底数必需大于零且不等于1.5假如函数是由一些根
6、本函数通过四那么运算结合而成.那么，它定义域是使各部分都有意义x值组成集合.6指数为零底不行以等于零7实际问题中函数定义域还要保证明际问题有意义.(留意：求出不等式组解集即为函数定义域.)2、构成函数三要素定义域、对应关系和值域【留意】1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定，所以，假如两个函数定义域和对应关系完全一样，即称这两个函数相等或为同一函数。2两个函数相等当且仅当它们定义域和对应关系完全一样，而与表示自变量和函数值字母无关。3、一样函数推断方法1定义域一样；2表达式一样 (两点必需同时具备)【值域补充】1函数值域取决于定义域和对应法那么，不管实行什么
7、方法求函数值域都应先考虑其定义域. 2应熟识驾驭一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数值域，它是求解困难函数值域根底。4、区间概念1区间分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；2无穷区间；3区间数轴表示【重点】理解函数模型化思想，用集合与对应语言来刻画函数【难点】符号“y=f(x)含义，函数定义域和值域区间表示【学问要点】1、常用函数表示法及各自优点1函数图象既可以是连续曲线，也可以是直线、折线、离散点等等，留意推断一个图形是否是函数图象根据：作垂直于x轴直线与曲线最多有一个交点。2函数表示法解析法：必需注明函数定义域；图象法：描点法作图要留意：确定函数定义域；化简函数解析式；视察函数特征
8、；列表法：选取自变量要有代表性，应能反映定义域特征【留意】解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值2、分段函数在定义域不同部分上有不同解析表达式函数。在不同范围里求函数值时必需把自变量代入相应表达式。分段函数解析式不能写成几个不同方程，而应写成函数值几种不同表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分自变量取值状况留意：1分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；2分段函数定义域是各段定义域并集，值域是各段值域并集3、复合函数假如y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),那么 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为f是g复合函数.4、函数图象学问归纳
9、1定义在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中x为横坐标，函数值y为纵坐标点P(x，y)集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)图象C上每一点坐标(x，y)均满意函数关系y=f(x)，反过来，以满意y=f(x)每一组有序实数对x、y为坐标点(x，y)，均在C上 . 即记为C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象C一般是一条光滑连续曲线(或直线),也可能是由与随意平行于Y轴直线最多只有一个交点假设干条曲线或离散点组成.2画法A、描点法根据函数解析式和定义域，求出x,y一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应点P(x, y)，最终用平滑曲线将这些点连接
10、起来.B、图象变换法常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换对称变换将y= f(x)在x轴下方图象向上翻得到y=f(x)图象如：书上P21例5 y= f(x)和y= f(-x)图象关于y轴对称。如y= f(x)和y= -f(x)图象关于x轴对称。如平移变换由f(x)得到f(xa) 左加右减；由f(x)得到f(x)a 上加下减3作用A、直观看出函数性质；B、利用数形结合方法分析解题思路；C、进步解题速度；发觉解题中错误。5、映射定义：一般地，设A、B是两个非空集合，假如按某一个确定对应法那么f，使对于集合A中随意一个元素x，在集合B中都有唯一确定元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从
11、集合A到集合B一个映射。记作“f：AB给定一个集合A到B映射，假如aA,bB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a象，元素a叫做元素b原象【说明】函数是一种特殊映射，映射是一种特殊对应1集合A、B及对应法那么f是确定；2对应法那么有“方向性，即强调从集合A到集合B对应，它与从B到A对应关系一般是不同；3对于映射f：AB来说，那么应满意：集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一；集合A中不同元素，在集合B中对应象可以是同一个；不要求集合B中每一个元素在集合A中都有原象。6、函数解析式1函数解析式是函数一种表示方法，要求两个变量之间函数关系时，一是要求出它们之间对应法那么，
12、二是要求出函数定义域.2求函数解析式主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等A、假如函数解析式构造时，可用待定系数法；B、复合函数fg(x)表达式时，可用换元法，这时要留意元取值范围；当表达式较简洁时，也可用凑配法；C、假设抽象函数表达式，那么常用解方程组消参方法求出f(x)【重点】函数三种表示法，分段函数概念，映射概念【难点】根据不同须要选择恰当方法表示函数，分段函数表示及其图象，映射概念函数单调性与最大小值【学问要点】1、函数单调性定义设函数y=f(x)定义域为I，假如对于定义域I内某个区间D内随意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增
13、函数。区间D称为y=f(x)单调增区间；假如对于区间D上随意两个自变量值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)单调减区间.【留意】1函数单调性是在定义域内某个区间上性质，是函数部分性质；2必需是对于区间D内随意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 或f(x1)f(x2)。2、图象特点假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格)单调性，在单调区间上增函数图象从左到右是上升，减函数图象从左到右是下降.3、函数单调区间与单调性断定方法(A) 定义法任取
14、x1，x2D，且x1 0C为常数时，与单调性一样；当C 0C为常数时，与单调性相反；函数、都是增减函数，那么仍是增减函数；假设且与都是增减函数，那么也是增减函数；假设且与都是增减函数，那么也是减增函数；设，假设在定义域上是增函数，那么、 都是增函数，而是减函数.5、函数最大小值定义一般地，设函数y=f(x)定义域为I，假如存在实数M满意：1对于随意xI，都有f(x)M；2存在x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)最大值一般地，设函数y=f(x)定义域为I，假如存在实数M满意1对于随意xI，都有f(x) M；2存在x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)最大
15、值.【留意】 函数最大小首先应当是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函数最大小应当是全部函数值中最大小，即对于随意xI，都有f(x)Mf(x)M6、利用函数单调性推断函数最大小值方法 利用二次函数性质配方法求函数最大小值 利用图象求函数最大小值 利用函数单调性推断函数最大小值假如函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减那么函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；假如函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增那么函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；【重点】函数单调性及其几何意义，函数最大小值及其几何意义【难点】利用函数单调
16、性定义推断、证明函数单调性，利用函数单调性求函数最大小值.1.3.2 函数奇偶性【学问要点】1、偶函数定义一般地，对于函数f(x)定义域内随意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数2、奇函数定义一般地，对于函数f(x)定义域内随意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数【留意】函数是奇函数或是偶函数称为函数奇偶性，函数奇偶性是函数整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。由函数奇偶性定义可知，函数具有奇偶性一个必要条件是，对于定义域内随意一个x，那么x也肯定是定义域内一个自变量即定义域关于原点对称3、具有奇偶性函数图象特征偶函数图象关于y轴对称
17、；奇函数图象关于原点对称4、利用定义推断函数奇偶性格式步骤首先确定函数定义域，并推断其定义域是否关于原点对称；确定f(x)与f(x)关系；作出相应结论：假设f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，那么f(x)是偶函数；假设f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，那么f(x)是奇函数5、函数奇偶性性质奇函数在关于原点对称区间上假设有单调性，那么其单调性完全一样；偶函数在关于原点对称区间上假设有单调性，那么其单调性恰恰相反.奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于轴对称.假设为偶函数，那么.假设奇函数定义域中含有0，那么必有.定义在关于原点对称区间上随意一个函数，都可表示成
18、“一个奇函数与一个偶函数和或差.如设是定义域为R任一函数， 那么，.复合函数奇偶性特点是：“内偶那么偶，内奇同外.既奇又偶函数有无穷多个，定义域是关于原点对称随意一个数集.【重点】函数奇偶性定义及其几何意义【难点】推断函数奇偶性方法与格式第二章 根本初等函数2.1 指数函数指数与指数幂运算【学问要点】1、根式概念：负数没有偶次方根；0任何次方根都是0，记作=0.【留意】(1)(2)当 n是奇数时， ，当 n是偶数时， 2、分数指数幂1正数正分数指数幂意义，规定：2正数正分数指数幂意义： 30正分数指数幂等于0，0负分数指数幂没有意义3、实数指数幂运算性质123【留意】在化简过程中，偶数不能轻易
19、约分；如【重点】分数指数幂意义，根式与分数指数幂之间互相转化，有理指数幂运算性质【难点】根式概念，根式与分数指数幂之间互相转化，理解无理数指数幂指数函数及其性质【学问要点】1、指数函数概念一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域为R2、指数函数图象和性质0a1图象性质定义域R ,值域0，+1过定点0，1,即x=0时，y=1(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数3当x0时,0y1;当x13当x0时,y1;当x0时,0y1图象特征函数性质共性向x轴正负方向无限延长函数定义域为R函数图象都在x轴上方函数值域为R+图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点0，1过定点0，10
20、a0时,0y1;在第二象限内图象纵坐标都大于1当x1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a1自左向右看，图象渐渐上升增函数在第一象限内图象纵坐标都大于1当x0时,y1;在第二象限内图象纵坐标都小于1当x0时,0y0且a1；2真数N0；3留意对数书写格式2、两个重要对数1常用对数：以10为底对数, ；2自然对数：以无理数e 为底对数对数 , 3、对数式与指数式互化对数式 指数式对数底数 a 幂底数对数 x 指数真数 N 幂【结论】1负数和零没有对数2logaa=1, loga1=0，特殊地，lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=03对数恒等式：4、
21、假如a 0，a 1，M 0，N 0 有1两个正数积对数等于这两个正数对数和1 两个正数商对数等于这两个正数对数差3 一个正数n次方对数等于这个正数对数n倍【说明】1简易语言表达:积对数=对数和2有时可逆向运用公式3真数取值必需是(0,)4特殊留意： 5、换底公式利用换底公式推导下面结论 【重点】对数概念，对数式与指数式互相转化【难点】对数概念理解，换底公式应用2.2.2 对数函数及其性质【学问要点】1、 对数函数概念函数 (a0，且a1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数定义域是0，+【留意】1对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，留意区分。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数
22、2对数函数对底数限制：a0，且a12、对数函数图像与性质对数函数(a0，且a1)0 a 1a 1图像yx0(1,0)yx0(1,0)性质定义域：0， 值域：R过点(1 ,0), 即当x 1时,y0在(0,+)上是减函数在(0,+)上是增函数当x1时，y0当x=1时，y=0当0x0 当x1时，y0当x=1时，y=0当0x1时，y0;当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+) 内时,有logab0；当a,b在1异侧时, logab 0，值域求法用单调性.、辨别不同底对数函数图象利用1=logaa ，用y=1去截图象得到对应底数。、y=ax(a0且a 1) 与y=logax(a0且a 1) 互
23、为反函数，图象关于y=x对称。5 比较两个幂形式数大小方法(1)对于底数一样指数不同两个幂大小比较,可以利用指数函数单调性来推断.(2)对于底数不同指数一样两个幂大小比较,可以利用比商法来推断.(3)对于底数不同也指数不同两个幂大小比较,那么应通过中间值来推断.常用1和0.6 比较大小方法(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值如:0,1.；(3)变形后比较；(4)作差比较【重点】驾驭对数函数图象与性质【难点】对数函数定义，对数函数图象和性质及应用幂函数【学问要点】1、幂函数定义一般地，形如函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数2、幂函数性质归纳1全部幂函数在0，+都有定义，并且图象都
24、过点1，1；20 时，幂函数图象通过原点，并且在0,+ 上是增函数特殊地，当1时，幂函数图象下凸；当01时，幂函数图象上凸；30 时，幂函数图象在0，+上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地靠近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地靠近x轴正半轴【重点】从五个详细幂函数中相识幂函数一些性质【难点】画五个详细幂函数图象并由图象概括其性质，体会图象改变规律第三章 函数应用方程根与函数零点【学问要点】1、函数零点概念对于函数y=f(x),使f(x)=0 实数x叫做函数零点.本质上是函数y=f(x)与x轴交点横坐标2、函数零点意义方程f(x)=0 有实数根函数y=f
25、(x)图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.3、零点定理函数y=f(x)在区间a,b上图象是连绵不断，并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间a,b至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 根.4、函数零点求法求函数y=f(x)零点：1代数法求方程f(x)=0 实数根；2几何法对于不能用求根公式方程，可以将它与函数y=f(x)图象联络起来，并利用函数性质找出零点5、二次函数零点二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0).10，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点20，方程f(x)=0有两相等实根二重根，二次函数图
26、象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点30，方程f(x)=0无实根，二次函数图象与x轴无交点，二次函数无零点【重点】零点概念及存在性断定【难点】零点确定【学问要点】1、概念对于在区间a,b上连绵不断且f(a)f(b)0函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)零点所在区间一分为二,使区间两个端点逐步靠近零点,进而得到零点近似值方法叫做二分法.2、用二分法求方程近似解步骤确定区间a,b,验证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a,b)中点c;计算f(c),假设f(c)=0,那么c就是函数零点；假设f(a)f(c)0,那么令b=c此时零点x0(a,c)假设f(c)f(b)0,那么
27、令a=c此时零点x0(c,b)(4)推断是否到达精确度：即假设|a-b|0)指数函数：y=ax(a1) 指数型函数： y=kax(k0,a1)幂函数： y=xn nN*) 对数函数：y=logax(a1)二次函数：y=ax2+bx+c(a0) 增长快慢：V(ax)V(xn)V(logax)解不等式 (1) log2x 2x x2 (2) log2x x2 0根分布两个根都在m,n )内两个有且仅有一个在m,n)内x1(m,n) x2(p,q)yxnmmnmnpqf(m)f(n)0两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于Kkyxkkf(k)0【重点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长含义【难点】怎样选择数学模型分析解决实际问题