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1、人教版数学必修二第一章 空间几何体 重难点解析第一章 课文书目11空间几何体的构造 12空间几何体的三视图和直观图 13空间几何体的外表积及体积 重难点：1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的构造特征。2、画出简洁组合体的三视图。3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。4、柱体、锥体、台体的外表积和体积计算，台体体积公式的推导。5、理解推导球的体积和面积公式所运用的根本思想方法。学问构造：外表积 体积度 量空间几何体柱体 球体 锥体 台体 中心投影 平行投影棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台 三视图 直观图一、空间几何体的构造、三视图和直观图1柱、锥、台、球的构造特征1柱棱柱：
2、一般的，有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面及底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。棱柱及圆柱统称为柱体；2锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共
3、顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角锥、四边锥、五边锥的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥及圆锥统称为锥体。3台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点
4、。圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。圆台和棱台统称为台体。4球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。5组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的困难的几何体叫组合体。几种常凸多面体间的关系一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质：名称棱柱直棱柱正棱柱图 形定 义有两个面相互平行，而其余每相邻两个面的交线都相互平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等
5、平行且相等侧面的形态平行四边形矩形全等的矩形对角面的形态平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形态及底面全等的多边形及底面全等的多边形及底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不肯定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形态三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形态三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形态及底面相像的多边形及底面相像的正
6、多边形及底面相像的多边形及底面相像的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱及底面、侧面及底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱及底面、侧面及底面、相邻两侧面所成角都相等几种特殊四棱柱的特殊性质：名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分2空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置视察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。他详细包括：1正视图：
7、物体前前方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；2侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；3俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；三视图画法规那么：高平齐：主视图及左视图的高要保持平齐长对正：主视图及俯视图的长应对正宽相等：俯视图及左视图的宽度应相等3空间几何体的直观图1斜二测画法建立直角坐标系，在程度放置的平面图形中取相互垂直的OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上平面上画出对应的OX,OY,使=450或1350，它们确定的平面表示程度平面；画对应图形，在图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度
8、保持不变；在图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；擦去协助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的协助线虚线。2平行投影及中心投影平行投影的投影线是相互平行的，中心投影的投影线相交于一点。留意：画程度放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形程度放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。例题讲解：例1将正三棱柱截去三个角如图1所示分别是三边的中点得到几何体如图2，那么该几何体按图2所示方向的侧视图或称左视图为 EFDIAHGBCEFDABC侧视
9、图1图2BEABEBBECBED例2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，那么在空间中及三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线 A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有多数条例3正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满意PM=2，P到直线A1D1的间隔 为，那么点P的轨迹是 A.圆 B.双曲线 C.两个点 解析： 点P到A1D1的间隔 为，那么点P到AD的间隔 为1，满意此条件的P的轨迹是到直线AD的间隔 为1的两条平行直线，又，满意此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点.
10、故点P的轨迹是两个点。选项为C。点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象实力。例4两一样的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD及正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，那么这样的几何体体积的可能值有 A1个B2个 C3个D无穷多个解析：由于两个正四棱锥一样，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。点评：此题主要考察空间想象实力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家
11、熟识的几何体，它的一些内接或外接图形须要肯定的空间想象实力，要学会将空间问题向平面问题转化。题型2：空间几何体的定义例5长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，那么顶点A、B间的球面间隔 是( )A B C D2解析：设那么应选.点评：抓住本质的东西来进展推断，对于信息要进展加工再利用。例6直线m,n和平面满意,那么( ) 或 或解析：易知D正确.点评：对于空间几何体的定义要有深入的相识，驾驭它们并能推断它们的性质。题型3：空间几何体中的想象实力例7如下图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，E是CD的中点，PA底面ABCD，。I证明：平面PBE平面PAB；II求二面角ABEP和的大小。
12、解析：解法一I如下图, 连结由是菱形且知，是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以又所以 又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以而因此 平面PAB. 又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.II由I知，平面PAB, 平面PAB, 所以又所以是二面角的平面角在中, 故二面角的大小为解法二：如下图,以A为原点，建立空间直角坐标系那么相关各点的坐标分别是I因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.II易知设是平面PBE的一个法向量,那么由得 所以故可取而平面ABE的一个法向量是于是,故二面角的大小为点评：解决此类题目的关键是将平面图形复
13、原成空间图形，较强的考察了空间想象实力。例8ACBP如图，在三棱锥中，求证：；求二面角的大小解析：解法一：取中点，连结，ACBDP，平面平面，ACBEP又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，是二面角的平面角在中，二面角的大小为解法二：ACBPzxyE，又，平面平面，如图，以为原点建立空间直角坐标系那么设，取中点，连结，是二面角的平面角，二面角的大小为点评：在画图过程中正确理解图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考察了空间想象实力。而对空间图形的处理实力是空间想象力深化的标记，是高考从深层上考察空间想象实力的主要方向。例9画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm。
14、解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得。作法：1画轴：画X，Y，Z轴，使XOY=45或135，XOZ=90。2画底面：按X轴，Y轴画正五边形的直观图ABCDE。3画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作Z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE。4成图：顺次连结A，B，C，D，F，加以整理，去掉协助线，改被遮挡的部分为虚线。点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。例10是正ABC的斜二测画法的程度放置图形的直观图，假设的面积为，那么ABC的面积为_。解析：。点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素及直观图元素之
15、间的对应关系。特殊底和高的对应关系。例11 ABCDEFPQHG如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b0b1，截面PQEF，截面PQGH证明：平面PQEF和平面PQGH相互垂直；证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；假设及平面PQEF所成的角为，求及平面PQGH所成角的正弦值本小题主要考察空间中的线面关系，面面关系，解三角形等根底学问，考察空间想象实力及逻辑思维实力。解析：解法一：证明：在正方体中，又由可得ABCDEFPQHGNM，所以，所以平面所以平面和平面相互垂直证明：由知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和
16、是，是定值III解：连结BC交EQ于点M因为，所以平面和平面PQGH相互平行，因此及平面PQGH所成角及及平面所成角相等及同理可证EQ平面PQGH，可知EM平面，因此EM及的比值就是所求的正弦值设交PF于点N，连结EN，由知因为平面PQEF，又及平面PQEF成角，所以，即，解得，可知E为BC中点所以EM=，又，故及平面PQCH所成角的正弦值为解法二：以D为原点，射线DA，DC，DD分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz由得，故ABCDEFPQHyxzG，证明：在所建立的坐标系中，可得，因为，所以是平面PQEF的法向量因为，所以是平面PQGH的法向量因为，所以，所以平面PQE
17、F和平面PQGH相互垂直证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值解：由得及成角，又可得，即，解得所以，又，所以及平面PQGH所成角的正弦值为点评：考察学问立足课本，对空间想象实力、分析问题的实力、操作实力和思维的敏捷性等方面要求较高，表达了加强实力考察的方向。例12多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上及顶点A相邻的三个顶点到的间隔 分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，那么P到平面的间隔 可能是： 3； 4；
18、5； 6； 7以上结论正确的为_写出全部正确结论的编号ABCDA1B1C1D1A1解析：如图，B、D、A1到平面的间隔 分别为1、2、4，那么D、A1的中点到平面的间隔 为3，所以D1到平面的间隔 为6；B、A1的中点到平面的间隔 为，所以B1到平面的间隔 为5；那么D、B的中点到平面的间隔 为，所以C到平面的间隔 为3；C、A1的中点到平面的间隔 为，所以C1到平面的间隔 为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选。点评：该题将计算蕴涵于射影学问中，属于难得的综合题目。 例131画出以下几何体的三视图2解析：这二个几何体的三视图如下2如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图单
19、位：cm点评：画三视图之前，应把几何体的构造弄清晰，选择一个相宜的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最终画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。例14某物体的三视图如下，试推断该几何体的形态解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。点评：主视图反映物体的主要形态特征，主要表达物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形态。二、空间几何体的外表积和体积1多面体的面积和体积公式：名称侧面积(
20、S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长lS侧+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底S底h正棱锥ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台 (c+c)h表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h表示斜高，l表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式：名称圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥及球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台
21、上、下底面半径，R表示半径。3探究柱、锥、台的体积公式：1、棱柱圆柱可由多边形圆沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱圆柱应当具有相等的体积 柱体棱柱、圆柱的体积等于它的底面积和高的积，即2、类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为，高为的棱柱的体积，所以3、台体棱台、圆台的体积可以转化为锥体的体积来计算假如台体的上、下底面面积分别为，高为，可以推得它的体积是4、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下：4探究球的体积及面积公式：1球的体积：1比较半球的体积及其等底等高的旋转体的体积结论：2利用“
22、倒沙试验，探究底面半径和高都为球半径的圆柱、圆锥及半球三者体积之间的关系课件演示结论：3得到半径是的球的体积公式：结论：2球的外表积：由于球的外表是曲面,不是平面,所以球的外表积无法利用绽开图来求.该如何求球的外表积公式是否也可借助分割思想来推导呢课件演示O 图1 O1假设将球外表平均分割成n个小块,那么每小块外表可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的外表积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的外表积.2假设每小块外表看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大
23、时就精确到等于球的体积. 3半径为R的球的外表积公式： 结论： 例题讲解：例1一个长方体全面积是20cm2，全部棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解析：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得： 由22得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=363由31得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的外表积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素对角线、内切及面积、体积之间的关系。例2如图1所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=5，AD=4，
24、AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。1求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分线上；2求这个平行六面体的体积。图1 图2解析：1如图2，连结A1O，那么A1O底面ABCD。作OMAB交AB于M，作ONAD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1MAB，A1NAD。A1AM=A1AN，RtA1NARtA1MA,A1M=A1N，从而OM=ON。点O在BAD的平分线上。2AM=AA1cos=3=AO=。又在RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=9=，A1O=，平行六面体的体积为。例3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是 A2 B3 C6
25、D解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b，c，那么对角线l的长为l=；答案D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例4如图，三棱柱ABCA1B1C1中，假设E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1V2= _ _。解析：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，那么V=V1+V2Sh。E、F分别为AB、AC的中点，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最终用统一的量建立比值得到结
26、论即可。题型3：锥体的体积和外表积PABCDOE例52006上海，19在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC及BD相交于点O，PO平面ABCD，PB及平面ABCD所成的角为60，求四棱锥PABCD的体积？解析：1在四棱锥P-ABCD中，由PO平面ABCD,得PBO是PB及平面ABCD所成的角，PBO=60。在RtAOB中BO=ABsin30=1, 由POBO，于是PO=BOtan60=，而底面菱形的面积为2。四棱锥PABCD的体积V=2=2。点评：本小题重点考察线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在实力方面主要考察空间想象实力。图例62002京皖春文，
27、19在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，且AC=BC=5，SB=5。如下图证明：SCBC；求侧面SBC及底面ABC所成二面角的大小；求三棱锥的体积VSABC。解析：证明：SAB=SAC=90，SAAB，SAAC。又ABAC=A，SA平面ABC。由于ACB=90，即BCAC，由三垂线定理，得SCBC。BCAC，SCBC。SCA是侧面SCB及底面ABC所成二面角的平面角。在RtSCB中，BC=5，SB=5，得SC=10。在RtSAC中AC=5，SC=10，cosSCA=，SCA=60，即侧面SBC及底面ABC所成的二面角的大小为60。解：在RtSAC中，SA=，SABC=ACBC=5
28、5=，VSABC=SACBSA=。点评：此题比较全面地考察了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必需具备肯定的洞察力，并进展肯定的逻辑推理。题型4：锥体体积、外表积综合问题例7ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求点B到平面EFC的间隔 ？解析：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥BEFG。设点B到平面EFG的间隔 为h，BD，EF，CO。 。而GC平面ABCD，且GC2。由，得点评：该问题主要的求解思路是将点面的间隔 问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同
29、一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例82006江西理，12如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球及四个面都相切的球球心O，且及BC，DC分别截于E、F，假如截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD及三棱锥AEFC的外表积分别是S1，S2，那么必有 AS1S2CS1=S2 DS1，S2的大小关系不能确定解析：连OA、OB、OC、OD，那么VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEF
30、C又面AEF公共，应选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、外表积首先要转化好平面图形及空间几何体之间元素间的对应关系。例92002北京理，18如图924，在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面及同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d及a，b，且ac，bd，两底面间的间隔 为h。求侧面ABB1A1及底面ABCD所成二面角的大小；证明：EF面ABCD；在估测该多面体的体积时，常常运用近似公式V估=S中截面hV=S上底面+4S中截面+S下底面，试推断V估及V的大小关系，并
31、加以证明。注：及两个底面平行，且到两个底面间隔 相等的截面称为该多面体的中截面图解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1GPQ，垂足为G。如下图：平面ABCD平面A1B1C1D1，A1B1C1=90，ABPQ，ABB1P.B1PGC1作C1HPQ，垂足为H.由于相对侧面及底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形。PG=bd，又B1G=h，tanB1PG=bd，B1PG=arctan，即所求二面角的大小为arctan.证明：AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有ABCD，又CD是面ABCD及面CDEF的交线，AB面CDEF。EF是面ABFE及面CDEF的
32、交线，ABEF。AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，EF面ABCD。V估V。证明：ac，bd，VV估=2cd+2ab+2a+cb+d3a+cb+d=acbd0。V估V。点评：该题背景较新奇，把求二面角的大小及证明线、面平行这一常规运算置于非规那么几何体拟柱体中，能考察考生的应变实力和适应实力，而第三步探讨拟柱体的近似计算公式及可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。考察了考生接着学习的潜能。例1011998全国，9假如棱台的两底面积分别是S、S，中截面的面积是S0，那么 A B C2S0SS DS022SS21994全国，7正六棱台的上、下底面边长
33、分别为2和4，高为2，那么其体积为 A32 B28 C24 D20解析：1解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；2正六棱台上下底面面积分别为：S上6226，S下64224，V台，答案B。点评：此题考察棱台的中截面问题。依据选择题的特点此题选用“特例法来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。题型6：圆柱的体积、外表积及其综合问题例112000全国理，9一个圆柱的侧面积绽开图是一个正方形，这个圆柱的全面积及侧面积的比是 A B C D解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，那么由题设知h=2r.S全=2r2+2r2=2r21+2.S侧=h2=42r2，。答案
34、为A。点评：此题考察圆柱的侧面绽开图、侧面积和全面积等学问。例122003京春理13，文14如图99，一个底面半径为Rr的实心铁球，水面高度恰好上升r，那么= 。解析：水面高度上升r，那么圆柱体积增加R2r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3=R2r。故。答案为。点评：此题主要考察旋转体的根底学问以及计算实力和分析、解决问题的实力。例1312002京皖春，7在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120如下图，假设将ABC绕直线BC旋转一周，那么所形成的旋转体的体积是 A BC D22001全国文，3假设一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，那么这个圆锥的全面积是 图A3 B3
35、C6 D9解析：1如下图，该旋转体的体积为圆锥CADE及圆锥BADE体积之差，又求得AB=1。，答案D。2Sabsin，a2sin60，a24，a2，a=2r，r1，S全2rr223，答案A。点评：通过识图、想图、画图的角度考察了空间想象实力。而对空间图形的处理实力是空间想象力深化的标记，是高考从深层上考察空间想象实力的主要方向。例142000全国文，12如下图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，那么母线及轴的夹角的余弦值为 A B C D解析：如下图，由题意知，r2hR2h，图r 又ABOCAO，OA2rR，cos，答案为D。点评：此题重点考察
36、柱体、锥体的体积公式及敏捷的运算实力。例15过球面上三点的截面和球心的间隔 为球半径的一半，且，求球的外表积。解析：设截面圆心为，连结，设球半径为，那么，在中，。点评：正确应用球的外表积公式，建立平面圆及球的半径之间的关系。例16如下图，球面上有四个点P、A、B、C，假如PA，PB，PC两两相互垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的外表积。解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O，球心到该圆面的间隔 为d。在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两相互垂直，且PA=PB=PC=a,AB=BC=CA=a,且P在ABC内的射影即是ABC的中心O。由正弦定理，得 =2r,r=a。
37、又依据球的截面的性质，有OO平面ABC，而PO平面ABC，P、O、O共线，球的半径R=。又PO=a，OO=R a=d=,(Ra)2=R2 (a)2，解得R=a,S球=4R2=3a2。点评：此题也可用补形法求解。将PABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，那么球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略。例172006四川文，10如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，假如，那么球的外表积是 A B C D2半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，假设正方体棱长为，求球的外表积和体积。解析：1如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点
38、在球面上，PO底面ABCD，PO=R，所以，R=2，球的外表积是，选D。2作轴截面如下图，设球半径为，那么 ，。点评：此题重点考察球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。例181外表积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的外表积。2正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是及正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。解析：1设球半径为，正四棱柱底面边长为，那么作轴截面如图，又，2如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O及平面ACD、BCD切于点F、G，球O1及平面ACD切于点H 由题设AOFAEG ，得AO1
39、HAOF ，得点评：正四面体的内切球及各面的切点是面的中心，球心到各面的间隔 相等。例191我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少？地球半径大约为2在半径为的球面上有三点，求球心到经过这三点的截面的间隔 。解析：1如图，是北纬上一点，是它的半径，设是北纬的纬线长，答：北纬纬线长约等于2解：设经过三点的截面为，设球心为，连结，那么平面，所以，球心到截面间隔 为例20在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为为地球半径，求两点间的球面间隔 。解析：设北纬圈的半径为，那么，设为北纬圈的圆心，中，所以，两点的球面间隔 等于点评：要求两点的球面间隔 ，必需先求出两点的直线间隔 ，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面间隔 。第一章 检测题1长方体ABCD-A1B1C1D1的AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从A沿着外表拉到点C1，绳子的最短长度是 A+1 B C D2假设球的半径为R，那么这个球的内接正方体的全面积等于A8R2 B 9R2 C