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1、初中数学竞赛专项训练(1)1、一个六位数，假如它的前三位数码及后三位数码完全一样，依次也一样，由此六位数可以被整除。A. 111B. 1000C. 1001D. 1111解：依题意设六位数为，那么a105b104c103a102b10ca1021031b101031c1031a103b10c10311001a103b10c，而a103b10c是整数，所以能被1001整除。应选C方法二：代入法2、假设，那么S的整数部分是_解：因1981、19822001均大于1980，所以，又1980、19812000均小于2001，所以，从而知S的整数部分为90。3、设有编号为1、2、3100的100盏电灯，
2、各有接线开关限制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n个n100学生进来，凡号码是n的倍数的开关拉一下，如此下去，最终一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售
3、价比进价高a%，后因市场的改变，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是A. m(1+a%)(1-b%)元B. ma%(1-b%)元C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元解：依据题意，这批衬衣的零售价为每件m1a%元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m1a%b%元。应选C5、假如a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的全部可能的值为A. 0B. 1或-1C. 2或-2D. 0或-2解：由，a，b，c为两正一负或两负一正。当a，b，c为两正一负时：当a，b，c为两负一正时：由知全部可能的值为0。应选AcABCab6、在
4、ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，假设B60，那么的值为A. B. C. 1D. 解：过A点作ADCD于D，在RtBDA中，由于B60，所以DB，AD。在RtADC中，DC2AC2AD2，所以有a2b2C2，整理得a2c2=b2ac，从而有应选C7、设ab0，a2+b2=4ab，那么的值为A. B. C. 2D. 3解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于ab0，得，故。应选A8.a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，那么多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为A. 0B. 1C. 2D. 39、abc0，且a+b+c0，那么代数式
5、的值是A. 3B. 2C. 1D. 010、某商品的标价比本钱高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损本钱，售价的折扣即降价的百分数不得超过d%，那么d可用p表示为解：设该商品的本钱为a，那么有a(1+p%)(1-d%)=a，解得11、实数x、y、z满意x+y=5及z2=xy+y-9，那么x+2y+3z=_解：由条件知x+1y=6，(x1)y=z29，所以x1，y是t26tz29=0的两个实根，方程有实数解，那么624z294z20，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。所以x+2y+3z812.气象爱好者孔宗明同学在xx为正整数天中视察到：有7个是雨天；有5个下午是晴天；有6个上午是晴天；
6、当下午下雨时上午是晴天。那么x等于A. 7B. 8C. 9D. 10解：选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0，b+d=6，c+d=5，a+b+c=7，得2d-a=4，即d2，故b=4，c=3，于是xa+b+c+d=9。13、有编号为、的四条赛艇，其速度依次为每小时、千米，且满意0，其中，为水流速度千米/小时，它们在河流中进展追逐赛。规那么如下：1四条艇在同一起跑线上，同时动身，、是逆流而上，号艇顺流而下。2经过1小时，、同时掉头，追逐号艇，谁先追上号艇谁为冠军，问冠军为几号？ 解：动身1小时后，、号艇及号艇的间隔 分别为各艇追上号艇的时间为
7、对有，即号艇追上号艇用的时间最小，号是冠军。14.有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用12台水泵需5小时，用10台水泵需7小时，假设要在2小时内抽干，至少需水泵几台？解：设开始抽水时满池水的量为，泉水每小时涌出的水量为，水泵每小时抽水量为，2小时抽干满池水需n台水泵，那么由得，代入得：，故n的最小整数值为23。答：要在2小时内抽干满池水，至少须要水泵23台15.某宾馆一层客房比二层客房少5间，某旅游团48人，假设全支配在第一层，每间4人，房间不够，每间5人，那么有房间住不满；假设全支配在第二层，每3人，房间不够，每间住4人，那么有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？解：设第一层有
8、客房间，那么第二层有间，由题可得由得：，即由得：，即原不等式组的解集为整数的值为。答：一层有客房10间。16、某消费小组开展劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过200个，后来改进技术，每人一天又多做27个零件，这样他们4个人一天所做零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件，问他们改进技术后的消费效率是劳动竞赛前的几倍？解：设劳动竞赛前每人一天做个零件由题意解得是整数16163716故改进技术后的消费效率是劳动竞赛前的3.3倍。初中数学竞赛专项训练2方程应用一、选择题：1、甲乙两人同时从同一地点动身，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A及B，假设仍从原地动身，互换彼此的目
9、的地，那么甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲乙的速度之比为A. 35B. 43C. 45D. 34答：D。解：设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，依据题意知，从动身地点到A的路程为千米，到B的路程为千米，从而有方程：，化简得，解得不合题意舍去。应选D。2、某种产品按质量分为10个档次，消费最低档次产品，每件获利润8元，每进步一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可消费60件，进步一个档次将削减3件，假如获利润最大的产品是第R档次最低档次为第一档次，档次依次随质量增加，那么R等于A. 5B. 7C. 9D. 10答：C。解：第k档次产品比最低档次产品进步了k1个档次，
10、所以每天利润为所以，消费第9档次产品获利润最大，每天获利864元。3、某商店出售某种商品每件可获利m元，利润为20%利润，假设这种商品的进价进步25%，而商店将这种商品的售价进步到每件仍可获利m元，那么提价后的利润率为A. 25%B. 20%C. 16%D. 12.5%答：C。解：假设这商品原来进价为每件a元，提价后的利润率为，那么解这个方程组，得，即提价后的利润率为16%。4、某项工程，甲单独需a天完成，在甲做了cca天后，剩下工作由乙单独完成还需b天，假设开始就由甲乙两人共同合作，那么完成任务需天A. B. C. D. 答：B。解：设甲乙合作用天完成。由题意：，解得。应选B。5、A、B、C
11、三个足球队实行循环竞赛，下表给出部分竞赛结果：球队竞赛场次胜负平进球数失球数A22场1B21场24C237那么：A、B两队竞赛时，A队及B队进球数之比为A. 20B. 31C. 21D. 02答：A。解：A及B竞赛时，A胜2场，B胜0场，A及B的比为20。就选A。6、甲乙两辆汽车进展千米竞赛，当甲车到达终点时，乙车距终点还有a千米0a50现将甲车起跑处从原点后移a千米，重新开始竞赛，那么竞赛的结果是A. 甲先到达终点B. 乙先到达终点C. 甲乙同时到达终点D. 确定谁先到及a值无关答：A。解：设从起点到终点S千米，甲走(s+a)千米时，乙走x千米7、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a小时
12、，逆流航行这段路程需b小时，那么一木块顺水漂流这段路需小时A. B. C. D. 答：B。解：设小船自身在静水中的速度为v千米/时，水流速度为x千米/时，甲乙之间的间隔 为S千米，于是有求得所以。8、A的年龄比B及C的年龄和大16，A的年龄的平方比B及C的年龄和的平方大1632，那么A、B、C的年龄之和是A. 210B. 201C. 102D. 120答：C。解：设A、B、C各人的年龄为A、B、C，那么AB+C+16A2BC2+1632由可得ABCABC1632，由得ABC16，代入可求得ABC102二、填空题1、甲乙两厂消费同一种产品，都方案把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南市
13、场同类产品的，然而实际状况并不志向，甲厂仅有的产品，乙厂仅有的产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的，那么甲厂该产品的年产量及乙厂该产品的年产量的比为答：21。解：甲厂该产品的年产量为，乙厂该产品的年产量为。那么：，解得2、假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择，甲种客车每辆有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有50个座位，租金480元，那么租用该公司客车最少需用租金元。答：3520。解：因为9辆甲种客车可以乘坐360人，故最多须要9辆客车；又因为7辆乙种客车只能乘坐350人，故最多须要8辆客车。当用9辆客车时，明显用9辆甲种客车需用租金最少，为4
14、0093600元；当用8辆客车时，因为7辆甲种客车，1辆乙种客车只能乘坐407+50330人，而6辆甲种客车，2辆乙种客车只能乘坐406+502340人，5辆甲种客车，3辆乙种客车只能乘坐405+503350人，4辆甲种客车，4辆乙种客车只能乘坐404+504360人，所以用8辆客车时最少要用4辆乙种客车，明显用4辆甲种客车，4辆乙种客车时需用租金最少为4004+48043520元。3、时钟在四点及五点之间，在时刻时针及分针在同一条直线上？答：4点分或4点分时，两针在同始终线上。解：设四点过分后，两针在同始终线上，假设两针重合，那么，求得分，假设两针成180度角，那么，求得分。所以在4点分或4
15、点分时，两针在同始终线上。4、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生，钱先生在三年后再以超出房子原来标价60%的价格把房子转让给金先生，考虑到三年来物价的总涨幅为40%，那么钱先生事实上按%的利率获得了利润精确到一位小数答：20.3。解：钱先生购房开支为标价的95%，考虑到物价上涨因素，钱先生转让房子的利率为5、甲乙两名运发动在长100米的游泳池两边同时开始相向游泳，甲游100米要72秒，乙游100米要60秒，略去转身时间不计，在12分钟内二人相遇次。答：共11次。60100米1803004205406607206、甲、乙、丙三人的年龄都是正整数，甲的年龄是乙的两倍，乙比丙小7岁，三
16、人的年龄之和是小于70的质数，且质数的各位数字之和为13，那么甲、乙、丙三人的年龄分别是答：30岁、15岁、22岁。解：设甲、乙、丙的年龄分别为岁、岁、岁，那么明显是两位数，而134+95+86+7只能等于67。由三式构成的方程组，得，。三、解答题1、某项工程，假如由甲乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元，如今工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需、天完成，那么解得再设甲、乙、丙单独工作一天，各需、元，那么，解得于是，甲队单独承包费用是45500
17、4182000元，由乙队单独承包费用是295006177000元，而丙不能在一周内完成，所以，乙队承包费最少。2、甲、乙两汽车零售商以下分别简称甲、乙向某品牌汽车消费厂订购一批汽车，甲开始定购的汽车数量是乙所订购数量的3倍，后来由于某种缘由，甲从其所订的汽车中转让给乙6辆，在提车时，消费厂所供应的汽车比甲、乙所订购的总数少了6辆，最终甲所购汽车的数量是乙所购的2倍，试问甲、乙最终所购得的汽车总数最多是多少量？最少是多少辆？解：设甲、乙最终所购得的汽车总数为辆，在消费厂最终少供的6辆车中，甲少要了辆，乙少要了辆，那么有，整理后得。当时，最大，为90；当时，最小为18。所以甲、乙购得的汽车总数至多
18、为90辆，至少为18辆。3、8个人乘速度一样的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人不包括司机，其中一辆小汽车在间隔 火车站15km的地方出现故障，此时距停顿检票的时间还有42分钟。这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这8个人可以在停顿检票前赶到火车站。解：方案一：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，马上返回接步行的4个人到火车站。设乘出现故障汽车的4个人步行的间隔 为，依据题意，有解得，因此这8个人全部到火车站所需时间为故此方
19、案可行。方案二：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到某地方后，让他们下车步行，再马上返回接出故障汽车而步行的另外4个人，使得两批人员最终同时到达车站。分析此方案可知，两批人员步行的间隔 一样，如下图，D为无故障汽车人员下车地点，C为有故障汽车人员上车地点。因此，设ACBDy，有解得。因此这8个人同时到火车站所需时间为，故此方案可行。火车站ACDB故障点4、某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城动身于上午7时到达学校，接参观的师生马上动身到县城，由于汽车在赴校途中发生了故障，不得不停车修理，学校师生等到7时10分仍未见汽车来接，就步行走向县城，在行进途中遇到了已
20、修理好的汽车，马上上车赶赴县城，结果比原来到达县城的时间晚了半小时，假如汽车的速度是步行速度的6倍，问汽车在途中解除故障花了多少时间？解：假定解除故障花时分钟，如图设点A为县城所在地，点C为学校所在地，点B为师生途中及汽车相遇之处。在师生们晚到县城的30分钟中，有10分钟是因晚动身造成的，还有20分钟是由于从C到B步行代替乘车而耽搁的，汽车所晚的30分钟，一方面是由于解除故障耽搁了分钟，但另一方面由于少跑了B到C之间的一个来回而省下了一些时间，汽车速度是步行速度的6倍，而步行比汽车从C到B这段间隔 要多花20分钟，由此汽车由C到B应花分钟，一个来回省下8分钟，所以有-83038即汽车在途中解除
21、故障花了38分钟。ABC初中数学竞赛专项训练3逻辑推理一、选择题：1、世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进展单循环竞赛，每场竞赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮竞赛，假如总积分一样，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积A. 6分B. 7分C. 8分D. 9分答：B。解：4个队单循环竞赛共竞赛6场，每场竞赛后两队得分之和或为2分即打平，或为3分有输赢，所以6场后各队的得分之和不超过18分，假设一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不行能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，假如一个队得6分，那么有可能还
22、有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线。应选B。2、甲、乙、丙三人竞赛象棋，每局竞赛后，假设是和棋，那么这两个人接着竞赛，直到分出输赢，负者退下，由另一个及胜者竞赛，竞赛假设干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局，假如丙负3局，那么丙胜A. 0局B. 1局C. 2局D. 3局答：B。解：有人胜一局，便有人负一局，总负局数为2+3+38，而甲、乙胜局数为4+37，故丙胜局数为8-71，应选B。3、四边形ABCD从以下条件中ABCDBCADABCDBCADACBD，任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形这一结论的状况有A. 4种B. 9种C. 13种D. 15种答：B。
23、解：共有15种搭配。和和和和和和和和和能得出四边形ABCD是平行四边形。和和和和和和不能得出四边形ABCD是平行四边形。应选B。4、某校初三两个毕业班的学生和老师共100人，一起在台阶上拍毕业照纪念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形阵排数3，且要求各行的人数必需是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么满意上述要求的排法的方案有A. 1种B. 2种C. 4种D. 0种答：B。解：设最终一排k个人，共n排，各排人数为k，k+1，k+2k+n1。由题意，即，因k、n都是正整数，且n3，所以，且n及的奇偶性一样，将200分解质因数可知n5或n8，当n=5时，k=18，当n=
24、8时，k9，共有两种方案。应选B。5、正整数n小于100，并且满意等式，其中表示不超过x的最大整数，这样的正整数n有个A. 2B. 3C. 12D. 16答：D。解：由，以及假设x不是整数，那么xx知，2|n，3|n，6|n，即n是6的倍数，因此小于100的这样的正整数有个。应选D。6、周末晚会上，师生共有20人参与跳舞，其中方老师和7个学生跳舞，张老师和8个学生跳舞依次下去，始终到何老师，他和参与跳舞的全部学生跳过舞，这个晚会上参与跳舞的学生人数是A. 15B. 14C. 13D. 12答：C。解：设参与跳舞的老师有x人，那么第一个是方老师和6+1个学生跳过舞；第二是张老师和6+2个学生跳过
25、舞；第三个是王老师和6+3个学生跳过舞第x个是何老师和6+x个学生跳过舞，所以有x6+x20，x7，20-713。应选C。7、如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成，每两个相邻展室指有公共边的小三角形都有门相通，假设某参观者不愿返回已参观过的展室通过每个房间至少一次，那么他至多能参观个展室。A. 23B. 22C. 21D. 20答：C。解：如图对展室作黑白相间染色，得10个白室，15个黑室，按要求不返回参观过的展室，因此，参观时必定是从黑室到白室或从白室到黑室不会出现从黑到黑，或从白到白，由于白室只有10个，为使参观的展室最多，只能从黑室开始，顺次经过全部的白室，最终到达黑室，所以，至多
26、能参观到21个展室。选C。8、一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中随意抽牌，最小要抽张才能保证有4张牌是同一花色的。A. 12B. 13C. 14D. 15答：选B。解：4种花色相当于4个抽屉，设最少要抽x张扑克，问题相当于把x张扑克放进4个抽屉，至少有4张牌在同一个抽屉，有x=34+113。应选B。二、填空题：1、视察以下图形：依据的规律，图中三角形个数解：依据图中、的规律，可知图中的三角形的个数为1+4+34+324+3341+4+12+36+108161个2、有两副扑克牌，每副牌的排列依次是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花花色的牌又按
27、A，1，2，3，J，Q，K的依次排列，某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，如此下去，直到最终只剩下一张牌，那么所剩的这张牌是解：依据题意，假如扑克牌的张数为2、22、23、2n，那么按照上述操作方法，剩下的一张牌就是这些牌的最终一张，例如：手中只有64张牌，按照上述操作方法，最终只剩下第64张牌，如今手中有108张牌，多出108-6444张，假如按照上述操作方法，先丢掉44张牌，那么此时手中恰有64张牌，而原来依次的第88张牌恰好放在手中牌的最底层，这样，再接着进展丢、留的操作，最终剩下的就是原依次的第8
28、8张牌，依据两副扑克牌的花色排列依次88-54-2-266，所剩的最终一张牌是第二副牌中的方块6。3、用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字一共可组成个能被5整除的三位数解：百位上的数共有9个，十位上的数共有10个，个位上的数共有2个，因此全部的三位数共9102180。4、将7个小球分别放入3个盒子里，允许有的盒子空着不放，试问有种不同放法。解：设放在三个盒子里的球数分别为、，球无区分，盒子无区分，故可令，依题意有，于是，故x只有取3、4、5、6、7共五个值。时，那么只取3、2，相应取1、2，故有2种放法；4时，3，那么只取3、2，相应取0、1，故有2种放法；5时，2，那么只取2、1
29、，相应取1、0，故有2种放法；6时，1，那么只取1，相应取0，故有1种放法；7时，0，那么只取0，相应取0，故有1种放法；综上所求，故有8种不同放法。5、有1997个负号“排成一行，甲乙轮番改“为正号“，每次只准画一个或相邻的两个“为“，先画完“使对方无法再画为胜，现规定甲先画，那么其必胜的策略是解：先把第999个中间“改为“，然后，对乙的每次改动，甲做及之中心对称的改动，视数字为点，对应在数轴上，这1997个点正好关于点999对称。6、有100个人，其中至少有1人说假话，又知这100人里随意2人总有个说真话，那么说真话的有人。解：由题意说假话的至少有1人，但不多于1人，所以说假话的1人，说真
30、话的99人。三、解答题1、今有长度分别为1、2、3、9的线段各一条，可用多少种不同的方法从中选用假设干条组成正方形？解：1+2+3+945，故正方形的边长最多为11，而组成的正方形的边长至少有两条线段的和，故边长最小为7。71+62+53+481+72+63+59+18+27+36+49+28+37+46+591+82+73+64+5故边长为7、8、10、11的正方形各一个，共4个。而边长为9的边可有5种可能能组成5种不同的正方形。所以有9种不同的方法组成正方形。2、某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，证明至少有5人植树的株数一样。证明：利用
31、抽屉原理，按植树的多少，从50至100株可以构造51年抽屉，那么问题转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里。用反证法假设无5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有4人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参与植树的人数为204人，每个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有：450515210041530015301，得出冲突。因此，至少有5人植树的株数一样。3、袋中装有2002个弹子，张伟和王华轮番每次可取1，2或3个，规定谁能最终取完弹子谁就获胜，现由王华先取，问哪个获胜？他该怎样玩这场嬉戏？解：王华获胜。王华先取2个弹子，将2000是4的倍数个弹子留给张伟取，不记张伟取多少个弹子，设为x个
32、，王华总跟着取4x个，这样总保证将4的倍数个弹子留给张伟取，如此下去，最终一次是将4个弹子留给张伟取，张伟取后，王华一次取完余下的弹子。4、有17个科学家，他们中的每一个都和其他的科学家通信，在他们的通信中仅仅探讨三个问题，每一对科学家相互通信时，仅仅探讨同一个问题。证明至少有三个科学家关于同一个题目相互通信解析：在探讨及某些元素间关系相关的存在问题时，经常利用染色造抽屉解题。17位科学家看作17个点，每两位科学家相互通信看作是两点的连线段，关于三个问题通信可看作是用三种颜色染成的线段，如用红色表示关于问题甲的通信，蓝色表示问题乙通信，黄色表示问题丙通信。这样等价于：有17个点，任三点不共线，
33、每两点连成一条线段，把每条线段染成红色、蓝色和黄色，且每条线段只染一种颜色，证明肯定存在一个三角形三边同色的三角形。证明：从17个点中的一点，比方点A处作引16条线段，共三种颜色，由抽屉原理至少有6条线段同色，设为AB、AC、AD、AE、AF、AG且均为红色。假设B、C、D、E、F、G这六个点中有两点连线为红线，设这两点为B、C，那么ABC是一个三边同为红色的三角形。假设B、C、D、E、F、G这六点中任两点的连线不是红色，那么考虑5条线段BC、BD、BE、BF、BG的颜色只能是两种，必有3条线段同色，设为BC、BD、BE均为黄色，再探讨CDE的三边的颜色，要么同为蓝色，那么CDE是一个三边同色
34、的三角形，要么至少有一边为黄色，设这边为CD，那么CDE是一个三边同为黄色的三角形。初中数学竞赛专项训练4命题及三角形边角不等关系一、选择题：1、如图8-1，AB10，P是线段AB上随意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作两个等边三角形APC和BPD，那么线段CD的长度的最小值是A. 4B. 5C. 6D. 60ABCDABCDP图8-1图8-2ADCBEF图8-3ABCDPEFG解：如图过C作CEAD于E，过D作DFPB于F，过D作DGCE于G。 明显DGEFAB5，CDDG，当P为AB中点时，有CDDG5，所以CD长度的最小值是5。2、如图8-2，四边形ABCD中A60，BD90，AD
35、8，AB7，那么BCCD等于60ABCDABCDP图8-1图8-2ADCBEF图8-3A. B. 5C. 4D. 360ABCDE解：如图延长AB、DC相交于E，在RtADE中，可求得AE16，DE8，于是BEAEAB9，在RtBEC中，可求得BC3，CE6，于是CDDECE2BCCD5。3、如图8-3，在梯形ABCD中，ADBC，AD3，BC9，AB6，CD4，假设EFBC，且梯形AEFD及梯形EBCF的周长相等，那么EF的长为60ABCDABCDP图8-1图8-2ADCBEF图8-3A. B. C. D. 解：由AD+AE+EF+FDEF+EB+BC+CFADCBEFHGAD+AE+FDE
36、B+BC+CFEFBC，EFAD，设，AD+AE+FD3+解得k4作AHCD，AH交BC于H，交EF于G，那么GFHCAD3，BHBCCH9-364、ABC的三个内角为A、B、C且A+B，C+A，C+B，那么、中，锐角的个数最多为A. 1B. 2C. 3D. 0解：假设、三个角都是锐角，即90，90，90，也就是A+B90，B+C90，C+A90。2A+B+C270，ABC135及ABC180冲突。故、不行能都是锐角，假设、中有两个锐角，不妨设、是锐角，那么有AB90，CA90，A(ABC)b，假设两个三角形的最小内角相等，那么的值等于A. B. C. D. QABCD解：设ABC中，ABAC
37、a，BCb，如图D是AB上一点，有ADb，因ab，故A是ABC的最小角，设AQ，那么以b,b,a为三边之三角形的最小角亦为Q，从而它及ABC全等，所以DCb，ACDQ，因有公共底角B，所以有等腰ADC等腰CBD，从而得，即，令，即得方程，解得。选B。7、在凸10边形的全部内角中，锐角的个数最多是A. 0B. 1C. 3D. 5解：C。由于随意凸多边形的全部外角之和都是360，故外角中钝角的个数不能超过3个，又因为内角及外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个，事实上，简洁构造出内角中有三个锐角的凸10边形。8、假设函数及函数的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，那么ABC的面积为A. 1
38、B. 2C. kD. k2解：A。设点A的坐标为，那么，故ABO的面积为，又因为ABO及CBO同底等高，因此ABC的面积2ABO的面积1。二、填空题1、假设四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为a，b，那么d及的大小关系是ABDCPMN解：如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为M、N，MNd，另一组对边是AD和BC，其长度分别为a、b，连结BD，设P是BD的中点，连结MP、PN，那么MP，NP，明显恒有，当ADBC，由平行线等分线段定理知M、N、P三点共线，此时有，所以及的大小关系是。ABBDC图8-5EA2、如图8-5，AA、BB分别是EAB、DBC的平分线，
39、假设AABBAB，那么BAC的度数为解：12。设BAC的度数为x，ABBB BBD2x，CBD4xABAAAABAB ACBD4xAAB，于是可解出x12。3、五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比方3、5、7、5、9、11问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长解：以3，5，7，9，11构成的三数组不难列举出共有10组，它们是3，5，7、3，5，9、3，5，11、3，7，9、3，7，11、3，9，11、5，7，9、5，7，11、5，9，11、7，9，11。由3+59，3+511，3+711可以断定3，5，9、3，5，11、3，7，11这三组不能构成
40、三角形的边长，因此共有7个数组构成三角形三边长。图8-6ABDCP4、如图8-6，P是矩形ABCD内一点，假设PA3，PB4，PC5，那么PDABDCPEFGHaabbcd4、过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H。设AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd，那么于是，故，16米20米ABCD甲乙图8-7DP35、如图8-7，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，当地冬至中午12时太阳光线及程度面的夹角为30，此时求假如两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？假如甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的间隔 应当是米。16米20米ABCD甲乙E解：设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设CEAB于点E，那么在AEC中，AEC90，ACE30，EC20米。所以AEEC米。CDEBAB-AE16-11.64.4米图8-8BACP设点A的影子落到地面上某一点C，那么在ABC中，ACB30，AB16米，所以米。所以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼间隔 甲楼至少要。6、如图8