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1、相像三角形第一局部 讲解局部（一）课标要求1理解相像三角形的概念，总结相像三角形的对应角相等、对应边成比例等性质，驾驭它们的根本运用。2经验三角形相像及全等的类比过程，进一步体验类比思想、特别及一般的辩证思想。驾驭断定两个三角形相像的根本方法；驾驭两个相像三角形的周长比、面积比以及对应的角平分线比、对应的中线比、对应的高的比的性质；知道三角形的重心。会用相像三角形的断定及性质解决简洁的几何问题和实际问题。（二）学问要点1相像三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相像比。 三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。2相像三角形的断定：平行法三组对应边的比相等(类似
2、于三角形全等断定“SSS”)两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等断定“SAS”)两角对应相等(AA) 直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等断定“HL”）。相像三角形的根本图形： 推断三角形相像，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，留意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。abcABCDEFmn3相像三角形的性质：对应角相等对应边的比相等对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相像比对应的面积之比等于相像比的平方。4相像三角形的应用：求物体的长或宽
3、或高；求有关面积等。（三）考点精讲考点一：平行线分线段成比例例1、（2011广东肇庆）如图，已知直线abc，直线m、n 及a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC 4，CE 6，BD 3，则BF （ ）A 7B 7.5C 8D 8.5例2（2012福州）如图，已知ABC，AB=AC=1，A=36，ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 （结果保存根号）练习：1（2011湖南怀化，6，3）如图所示：ABC中，DEBC，AD5，BD10，AE3，则CE的值为（ ）A9B6C3D42（2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的
4、延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）A B C D 3（2012孝感）如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD平分ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A B C D考点二：相像三角形的断定例3、（2011湖北荆州）如图，P为线段AB上一点，AD及BC交于E，CPDAB，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相像三角形有（ ）A1对B2对C3对D4对例4、（2010江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个及它相像的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边截法
5、有（ ）A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种例5（2012徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= BC图中相像三角形共有（）A1对B2对C3对D4对例6（2012资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，干脆写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转肯定角度，如图（2），求HD：GC：EB；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值及（2）小题的结果相比有改变吗？假如有改变，干脆写出改变后的结果（不必写计算
6、过程）练习：1（2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成、四个三角形若OAOC = OBOD，则下列结论中肯定正确的是 ( )A和相像 B和相像C和相像 D和相像ABCDOooo（第7题）2（2011新疆乌鲁木齐，10，4分）如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点若，则的长为ABCD13. （2012攀枝花）如图，ABCADE且ABC=ADE，ACB=AED，BC、DE交于点O则下列四个结论中，1=2；BC=DE；ABDACE；A、O、C、E四点在同一个圆上，肯定成立的有（）A1个B2个C3个D4个4. （2012义乌市
7、）在锐角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1若ABA1的面积为4，求CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值及最小值ABDC考点三：相像三角形的性质例7、（2010山东烟台）如图，ABC中，点D在线段BC上，且ABCDBA，则下列结论肯定正确的是（ ）AAB2=BCBD BAB2=ACBDCABAD=BDBCDABAD=ADCD
8、（例5）例8、（2011浙江嘉兴）如图，边长为4的等边ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（）（A）（B）（C）（D）例9（2012重庆）已知ABCDEF，ABC的周长为3，DEF的周长为1，则ABC及DEF的面积之比为 9：1练习1（2011青海西宁，10，3分）如图6，在等边ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ADB+EDC=120，BD=3，CE=2，则ABC的边长为A9 B12 C16 D18ABCDEGFO2（2011四川雅安，9,3分）如图，D、E、F分别为ABC三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）AADEABC B C DDF=EF3（2011四川内江
9、，加试2，6分）如图，在ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并及BC的延长线交于点F，BE及DF交于点O若ADE的面积为S，则四边形BOGC的面积= 4（2011辽宁丹东，16，3分）已知：如图，DE是ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长线交AB于点Q，那么_考点四 位似例10（2012玉林）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形ABCD及正方形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形，已知AC=3，若点A的坐标为（1，2），则正方形ABCD及正方形ABCD的相像比是（）A B C D 对应训练（2012咸宁）如
10、图，正方形OABC及正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相像比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（）A（，0） B（ C D 考点五：相像三角形的应用例6、（2010安徽芜湖）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,ABCD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的间隔 是2.7m,则_m例7、（2011青海）如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是 mm 练习：1（2011湖北黄石，13，3分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条
11、宽的2倍，如图（4）.将这两张纸条穿插重叠地放在一起，重合局部为四边形ABCD，则AB及BC的数量关系为 。（五）真题演练2、（ 2011重庆江津）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是( )35757570(1)ABCDO4368(2)A.都相像 B.都不相像 C.只有(1)相像 D.只有(2)相像3、（2011黑龙江鸡西）如图，A、B、C、D是O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为 （ ） A .3 B .2 C. D .3（第3题）（第5题
12、）5、（2011山东滨州）如图，直线PM切O于点M,直线PO交O于A、B两点，弦ACPM,连接OM、BC.求证：（1）ABCPOM; (2)2OA2=OPBC.【聚焦山东中考】1（2012潍坊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC及矩形ABCD相像，则AD=（）ABCD22（2012东营）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，假如矩形OABC及矩形OABC关于点O位似，且矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B的坐标是（）A（-2，3）B（2，-3）C（3，-2
13、）或（-2，3）D（-2，3）或（2，-3）3. （2012日照）在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则 的值是（）A B C D 4.（2012德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的间隔 ，依据实际状况，作出如图图形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上有四位同学分别测量出以下四组数据：BC，ACB；CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC能依据所测数据，求出A，B间间隔 的有（）A1组B2组C3组D4组F5（2012威海）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）已知A1B1C1
14、的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若ABC及A1B1C1位似，则A1B1C1的第三个顶点的坐标为 （3，4）或（0，4）6（2012菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC和DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形ABC为直角三角形；（2）推断ABC和DEF是否相像，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且及ABC相像（要求：用尺规作图，保存痕迹，不写作法及证明）聚焦全国1（2012天门）如图，ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边
15、上，且ED=EC若ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（）A2 B3 C D2（2012宁德）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EFACHG，EHBDFG，则四边形EFGH的周长是（）A B C D3（2012柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（）AFGBFHCEHDEF4.（2012铜仁地区）如图，六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相像比为2：1，则下列结论正确的是（）AE=2KBBC=2HIC六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长DS六边形ABCDEF=2S六边形GH
16、IJKL5. （2012荆州）下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则及ABC相像的三角形所在的网格图形是（）ABCD6. （2012海南）如图，点D在ABC的边AC上，要断定ADB及ABC相像，添加一个条件，不正确的是（）AABD=C BADB=ABC C D7（2012遵义）如图，在ABC中，EFBC， ，S四边形BCFE=8，则SABC=（）A9B10C12D138. （2012宜宾）如图，在四边形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD= AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则AEF及多边形BCDFE的面积之比为（）A B C D9（2012钦
17、州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）A点MB点NC点OD点P10（2012毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将ABO扩大到原来的2倍，得到ABO若点A的坐标是（1，2），则点A的坐标是（）A（2，4）B（-1，-2）C（-2，-4）D（-2，-1）二、填空题11（2012宿迁）如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PAPB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1 =S2（填“”“=”或“”）12.（2012自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AMMN，当BM= cm时，四边
18、形ABCN的面积最大，最大面积为 cm213. （2012资阳）如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ONOM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y及x的函数关系式为 。14.（2012镇江）如图，E是ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4， ，则CF的长为 215.（2012泰州）如图，在边长一样的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tanAPD的值是 216（2012青海）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高C
19、D为 12m17. （2012娄底）如图，在一场羽毛球竞赛中，站在场内M处的运发动林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的间隔 NM= 3.42米18.（2012北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持程度，并且边DE及点B在同始终线上已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= 5.5m19.（2012阜新）如图，ABC及A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知AB
20、C的面积为3，那么A1B1C1的面积是 12三、解答题20（2012上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，BAF=DAE，AE及BD交于点G（1）求证：BE=DF；（2）当 时，求证：四边形BEFG是平行四边形21 （2012云南）如图，在ABC中，C=90，点D是AB边上的一点，DMAB，且DM=AC，过点M作MEBC交AB于点E求证：ABCMED22（2012株洲）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O（1）求证：COMCBA；（2）求线段OM的长度23. （2012株洲）如图，在ABC中，C=90，BC=5米
21、，AC=12米M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒运动时间为t秒（1）当t为何值时，AMN=ANM？（2）当t为何值时，AMN的面积最大？并求出这个最大值24. （2012江西）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm（1）求证：ACBD；（2）求扣链EF及立杆AB的夹角OEF的度数（准确到0.1）；（3）小红的连衣裙穿在衣架后的
22、总长度到达122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin61.90.882，cos61.90.471，tan61.90.553；可运用科学记算器）25（2012陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+ （1）如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形EFPN，且使正方形EFPN的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形EFPN的边长；（3）如图，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这
23、两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由26（2012河北）如图，点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的EAB和EDC均是等腰三角形，且在BC同侧（1）AE和ED的数量关系为 AE=ED；AE和ED的位置关系为 AEED；（2）在图1中，以点E为位似中心，作EGF及EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD分别得到图2和图3在图2中，点F在BE上，EGF及EAB的相像比1：2，H是EC的中点求证：GH=HD，GHHD在图3中，点F在的BE延长线上，EGF及EAB的相像比是k：1，若BC=2，请干脆写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GHHD（用含k的代数式表示）第二局部 专题