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1、华贤书院 教学过程补充表 学问要点：1. 比例线段的有关概念： b、d叫后项，d叫第四比例项，假设b=c，那么b叫做a、d的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC与BC，使AC2=ABBC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 2. 比例性质： 3. 平行线分线段成比例定理： 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1l2l3。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的对应线段成比例。 定理：假设一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相像三角形的断定： 两角对应相等，两个三角形相像
2、 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像 三边对应成比例，两三角形相像 假设一个直角三角形的斜边与一条直角边与另一个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相像 平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相像 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相像 5. 相像三角形的性质 相像三角形的对应角相等 相像三角形的对应边成比例 相像三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比 相像三角形周长的比等于相像比 相像三角形面积的比等于相像比的平方【典型例题】 例1. 1在比例尺是1：的中国行政区地图上，量得A、B两城市的间
3、隔 是厘米，那么A、B两城市的实际间隔 是_千米。 2小芳的身高是，在某一时刻，她的影子长2m，此刻测得某建筑物的影长是18米，那么此建筑物的高是_米。 例2. 如图，DEBC，EFAB，那么以下比例式错误的选项是：_ 例3. 如图，在等边ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD=60， 例4. 如图：四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形， 1求证：AEFCEA 2求证：AFB+ACB=45 例5. ：如图，梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于点O，EF经过点O且与两底平行，交AB于E，交CD于F 求证：OE=OF 例6. ：如图，ABC中，ADBC于D，DEA
4、B于E，DFAC于F 分析：视察AE、AF、AC、AB在图中的位置不宜干脆通过两个三角形相像加以解决。因此可依据图中直角三角形多，因此相像三角形多的特点，可设法寻求中间量进展代 例7. 如图，D为ABC中BC边上的一点，CAD=B，假设AD=6，AB=8，BD=7，求DC的长。 分析：此题的图形是证明比例中项时常常运用的“公边共角的根本图形，我们可以由根本图形中得到的相像三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决。 例8. 如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BEAC于F，过F作FGAB交AE于G， 求证：AG2=AFFC 例9. 如图，在梯形ABCD中，A
5、DBC，假设BCD的平分线CHAB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求HBC的面积。 分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相像三角形。把问题转化为相像三角形的面积比而加以解决。 稳固练习一、填空题： 1. ，那么_ 2. 假设三角形三边之比为3：5：7，与它相像的三角形的最长边是21cm，那么其余两边之与是_cm 3. 如图，ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，那么DE=_；ADE与ABC的面积之比为：_。 4. 线段a=4cm，b=9cm，那么线段a、b的比例中项c为_cm。 5. 在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEBC，假设AD=8，DB
6、=6，EC=9，那么AE=_ 6. 三个数1，2，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，那么这个数是_ 7. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，EFBC，假设AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，那么EF=_ 8. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，A=90，BDCD，AD=6，BC=10，那么梯形的面积为：_二、选择题： 1. 假设两个相像三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是_ A. 9：16B. ：2 C. 3：4D. 3：7 2. 在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是_米2 A. B. C. D. 3. ，如图
7、，DEBC，EFAB，那么以下结论： 其中正确的比例式的个数是_ A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 4. 如图，在ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与ABC相像，那么AE的长是_ A. 16B. 14C. 16或14D. 16或9 5. 如图，在RtABC中，BAC=90，D是BC的中点，AEAD，交CB的延长线于点E，那么以下结论正确的选项是_ A. AEDACBB. AEBACD C. BAEACED. AECDAC三、解答题： 1. 如图，ADEGBC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的
8、长。 2. 如图，ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，B=75，CDB=60，求证：ABCCBD。 3. 如图，BE为ABC的外接圆O的直径，CD为ABC的高，求证：ACBC=BECD 4. 如图，RtABC中，ACB=90，AD平分CAB交BC于点D，过点C作CEAD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EGBC交AB于点G，AEAD=16，AB， 1求证：CE=EF 2求EG的长答案：例一：这是两道与比例有关的题目，都比较简洁。 1应填600 2应填。例二：故应选C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，确定要分清谁是截线、谁是被截例三：ABC是等边三角形 C=B=60 又PDC
9、=1+APD=1+60 APB=1+C=1+60 PDC=APB PDCAPB 设PC=x，那么AB=BC=1+x AB=1+x=3。 ABC的边长为3。例四：因为AEF、CEA有公共角AEF 故要证明AEFCEA 只需证明两个三角形中，夹AEF、CEA的两边对应成比例即可。 证明：1四边形ABEG、GEFH、HFCD是正方形 AB=BE=EF=FC=a，ABE=90 又CEA=AEF CEAAEF 2AEFCEA AFE=EAC 四边形ABEG是正方形 ADBC，AG=GE，AGGE ACB=CAD，EAG=45 AFB+ACB=EAC+CAD=EAG AFB+ACB=45例五：ADEFBC
10、 OE=OF 从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论： 这是梯形中的一特性质，由此可知，在AD、BC、EF中，任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。例六：在ABD与ADE中， ADB=AED=90 BAD=DAE ABDADE AD2=AEAB 同理：ACDADF 可得：AD2=AFAC AEAB=AFAC 例七：在ADC与BAC中 CAD=B，C=C ADCBAC 又AD=6，AD=8，BD=7 解得：DC=9例八：在矩形ABCD中，AD=BC， ADC=BCE=90 又E是CD的中点，DE=CE RtADERtBCE AE=BE FGAB AG=BF 在RtABC中，B
11、FAC于F RtBFCRtAFB BF2=AFFC AG2=AFFC例九：延长BA、CD交于点P CHAB，CD平分BCD CB=CP，且BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PADPBC 稳固练习参考答案一、填空题： 1. 19：132. 243. 3；1：4 4. 65. 12 6. 只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如：等。 7. 14.48. 二、选择题： 1. C2. D3. B4. D5. C三、解答题： 1. 解：ADEGBC 在ABC中，有 在ABD中，有 AE：AB=2：3 BE：AB=1：3 BC=9，AD=6 EG=
12、6，EF=2 GF=EGEF=4 2. 解：过点B作BECD于点E， CDB=60，CBD=75 DBE=30， CBE=CBDDBE=7530=45 CBE是等腰直角三角形。 AB=3AD，设AD=k，那么AB=3k，BD=2k DE=k，BE ， ABCCBD 3. 连结EC， E=A 又BE是O的直径 BCE=90 又CDAB ADC=90 ADCECB 即ACBC=BECD 4. 1AD平分CAB CAE=FAE 又AECF CEA=FEA=90 又AE=AE ACEAFEASA CE=EF 2ACB=90，CEAD，CAE=DAC CAEDAC 在RtACB中 又CE=EF，EGBC FG=GB EG是FBC的中位线 第 17 页