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1、精品名师归纳总结相像三角形学问点 1相像图形外形相同的图形叫相像图形,在相像多边形中,最简洁的是相像三角形.学问点 2比例线段的相关概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如选用同一单位量得两条线段a, b 的长度分别为m, n,那么就说这两条线段的比是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a m,或写成b na : bm : n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在四条线段a, b, c, d中,假如a和b 的比等于c和d 的比,那么这四条线段a
2、,b,c,d叫做成比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例线段,简称比例线段留意： 1 当两个比例式的每一项都对应相同,两个比例式才是同一比例式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2比例线段是有次序的, 假如说 a 是b,c, d学问点 3比例的性质的第四比例项, 那么应得比例式为： bd c a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结基本性质： 1a : bc : dadbc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：2a : cc : bc 2a b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共
3、可化成八个比例式,如adbc ,除可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结了可化为a : bc : d, 仍 可化 为a : cb : d, c : da : b, b : da : c, b : ad : c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c : ad : b , d : cb : a , d : bc : a ab ,交换内项 cd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结更比性质 交换比例的内项或外项 ：反比性质 把比的前项、后项交换 ：a cdc ,交换外项 bdbadb 同时交换内外项 ca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结合比性质：a
4、 cbdb daca cabcdb dbd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：实际上,比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项,后项之间badcabcdaabccdabcd发生同样和差变化比例仍成立如：等等等比性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 acebdfm bdf nn0 ,那么 acebdfm a n b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ,这种方法是有关比例运算,变形中一种常用方法(2) 应用等比性质时,要考虑到分母是否为零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(
5、3) 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结成立如： aceabdfb2c3e2d3 fa2c3eb2 d3 fa 。其中 b b2d3 f0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点 4比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 推论：(1) 平行于三角形一边的直线截其它两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例(2) 平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例定理：假如一条直线截三角形的两边 或两边的延长
6、线 所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形第三边学问点 5黄金分割可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把线段 AB 分成两条线段AC , BC ACBC ,且使 AC 是AB和BC的比例中项,叫做把线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB 黄金分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,其中 AC学问点 6相像三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相像三角形 相像用符号“”表示,读作“相像于”相像三角形对应边的比叫做相像比 或相像系数 相像三角形对应角相等,对应边成比例 留意：51 AB 2 0.6
7、18 AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对应性：即两个三角形相像时,通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较简洁找到相像三角形的对应角和对应边次序性：相像三角形的相像比是有次序的两个三角形外形一样,但大小不肯定一样全等三角形是相像比为 1 的相像三角形二者的区分在于全等要求对应边相等,而相像要求对应边成比例学问点 7相像三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边延长线 相交,所构成的三角形与原三角形相像定理的基本图形：用数学语言表述是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DE /BC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
8、结ADE ABC 学问点 8相像三角形的等价关系(1) 反身性：对于任一ABC 有 ABC ABC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 对称性：如 ABC A B C ,就A B C ABC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 传递性：如 ABC A B C ,且A BC A B C,就ABC A B C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点 9三角形相像的判定方法1、定义法：对应角相等,对应边成比例的两个三角形相像2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边的延长线 相交,所构成的三角形与原三角形相像3、判定定理 1：假如一个三
9、角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像简述为：两角对应相等,两三角形相像4、判定定理 2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相像简述为：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像 5、判定定理 3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相像简述为：三边对应成比例,两三角形相像6、判定直角三角形相像的方法：(1) 以上各种判定均适用(2) 假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像(3) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角
10、三角形与原三角形相像直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2公式 如图, Rt ABC 中, BAC=90（ 1）（ AD ） =BD DC ,2,AD 是斜边 BC 上的高,就有射影定理如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）（ AB ）（ 3）（ AC ）=BD BC ,2=CD BC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：在 BAD 与 ACD 中, B+ C=90, DAC+ C=90, B= DAC ,又 BDA= ADC
11、=90, BAD ACD 相像, AD/BD CD/AD ,即（ AD ） 2=BD DC。其余类似可证。注：由上述射影定理仍可以证明勾股定理。由公式（2） +（ 3）得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ AB ） 2+（ AC ） 2=BD BC+CD BC=（ BD+CD即 （ AB ） 2+（ AC ） 2=（ BC） 2。这就是勾股定理的结论。学问点 10相像三角形性质(1) 相像三角形对应角相等,对应边成比例BC= （ BC） 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 相像三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比可编辑资料 -
12、- - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 相像三角形周长的比等于相像比(4) 相像三角形面积的比等于相像比的平方(5) 相像三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来运算周长、边长等 学问点 11相像多边形假如两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相像多边形相像多边形对应边的比叫做相像比 相像系数 学问点 12相像多边形的性质(1) 相像多边形周长比,对应对角线的比等于相像比(2) 相像多边形中对应三角形相像,相像比等于相像多边形的相像比(3) 相像多边形面积比等于相像比的平方留意：相像多边形问题往往要转化成相像三角形问题去解决,因此,娴熟把握相像三角形学问是基础
13、和关键学问点 13与位似图形有关的概念1. 假如两个图形不仅是相像图形,而且每组对应顶点的连线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形 .2. 这个点叫做位似中心,这时的相像比又称为位似比.拓展：（1） 位似图形是相像图形的特例,位似图形不仅相像,而且对应顶点的连线相交于一点.（2） 位似图形肯定是相像图形,但相像图形不肯定是位似图形.（3） 位似图形的对应边相互平行或共线 .学问点 14位似图形的性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相像比. 拓展：位似图形有很多性质,它具有相像图形的全部性质.学问点 15画位似图形1. 画位似图形的一般步骤：（1） 确定位似中心（2） 分别
14、连接原图形中的关键点和位似中心,并延长（或截取）.（3） 依据已知的位似比,确定所画位似图形中关键点的位置.（4） 顺次连结上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形.2. 位似中心的选取：（1） 位似中心可以在图形外部,此时位似中心在两个图形中间,或在两个图形之外.（2） 位似中心可取在多边形的一条边上 .（3） 位似中心可取在多边形的某一顶点上 .说明：位似中心的选取打算了位似图形的位置,以上位似中心位置的选取中,每一种方法都能把一个图形放大或缩小 .学问点 16相像三角形常见的图形（1） 如 DEBC（ A型和 X型）就 ADE ABC（2） 射影定理如 CD为 RtABC斜边上的高
15、（双直角图形）222就 RtABCRtACDRtCBD且 AC=ADAB ,CD=ADBD ,BC=BDAB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AEDDEABCBCCADB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（3） ）满意 1、AC=ADAB, 2、ACD=B, 3、ACB=ADC,都可判定 ADC ACB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） ）当 ADAEACAB或 AD AB=AC AE时, ADE ACB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AADDEBCBC（3）（4）练习题1、如
16、图1,ADC= ACB=900, 1=B,AC=5,AB=6, 就AD=.2. 如图2,AD EF BC,就图的相像三角形共有对.3. 如图3,正方形 ABCD 中,E是AD 的中点,BMCE,AB=6,CE= 35,就BM=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. ABC的三边长为 2 ,10 ,2, ABC的长为.两边为 1和 5 ,如ABC ABC,就 ABC的笫三边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 两个相像三角形的面积之比为 15,小三角形的周长为 4,就另一个三角形的周长为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 如图4,Rt AB中C
17、 .7. 如图5,Rt AB中C,C=900,D为AB 的中点,DEAB,AB=20,AC=12, 就四边形 ADEC 的面积为,ACB=90 0,CDAB,AC=8,BC=6, 就AD=,CD=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 如图6,矩形ABCD 中,AB=8,AD=6,EF 垂直平分 BD, 就EF=.9. 如图7, ABC中,A= DBC,BC=,SBCD SABC=2 3,就CD= .10. 如图8,梯形ABCD 中,ADBC,两腰BA 与CD的延长线相交于 P,PFBC,AD=3.6,BC=6,EF=3, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PF
18、=.11. 如图9, ABC中,DE BC,AD DB=2 3,就SADESABE= .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 如图10,正方形 ABCD 内接于等腰 PQR,P=900,就PAAQ=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 如图11, ABC中,DEFGBC,AD DFFB=1 2 3,就S四边形 DFGES四边形 FBCG=.14. 如图12, ABC中,中线BD 与CE相交于O点,SADE=1,就S四边形 BCDE-=.15. 已知:如图, ABC中,CE AB,BF AC.求证: AEF ACB.16. 已知:如图, ABC中,ABC=2
19、 C,BD 平分 ABC.求证:ABBC=AC CD.17. 已知： ACB为等腰直角三角形, ACB=900 延长BA 至E,延长AB 至F,ECF=1350。 求证： EACCBF18、已知 :如图, ABC中,AD=DB, 1=2.求证: ABC EAD.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结19已知 :如图,CE是Rt ABC的斜边 AB 上的高,BGAP。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证:1CE2=AEEB ;2 AEEB=EDEP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20 已知,如图,在 ABC 中,D 为 BC 的中点,且 AD=AC ,DEBC,DE 与 AB 相交于点 E,.EC 与 AD 相交于点 F（1）求证： ABC FCD。（ 2）如 S FCD=5,BC=10,求 DE 的长。A EFBDC可编辑资料 - - - 欢迎下载