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1、勾股定理（基础）撰稿：吴婷婷 责编：常春芳【学习目标】1驾驭勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3通过对勾股定理的探究解决简洁的实际问题，进一步运用方程思想解决问题【要点梳理】【高清课堂 勾股定理 学问要点】要点一, 勾股定理直角三角形两条直角边的平方与等于斜边的平方假如直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系 （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，依据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题
2、的目的（3）理解勾股定理的一些变式：要点二, 勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形 图（1）中，所以方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形 图（2）中，所以方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形 ，所以要点三, 勾股定理的作用1. 已知直角三角形的随意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3 与勾股定理有关的面积计算；4勾股定理在实际生活中的应用【典型例题】类型一, 勾股定理的干脆应用1, 在ABC中，C90，A, B, C的对边分别为, , （1）若5，12，求；（2）若26，24，求【思路点拨】利用勾股定
3、理来求未知边长【答案与解析】解：（1）因为ABC中，C90，5，12，所以所以13（2）因为ABC中，C90，26，24， 所以所以10【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再确定用勾股原式还是变式举一反三：【变式】在ABC中，C90，A, B, C的对边分别为, , （1）已知6，10，求；（2）已知，32，求, 【答案】解：（1） C90，6，10， 8（2）设， C90，32，即解得8类型二, 与勾股定理有关的证明2, 如图所示，在RtABC中，C90，AM是中线，MNAB，垂足为N，试说明【答案与解析】解：因为MNAB，所以，所以因为AM
4、是中线，所以MCMB又因为C90，所以在RtAMC中，所以【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明举一反三：【变式】如图，在ABC中，C90，D为BC边的中点，DEAB于E，则AE2-BE2等于（ ）AAC2BBD2CBC2DDE2【答案】连接AD构造直角三角形，得，选A类型三, 与勾股定理有关的线段长【高清课堂 勾股定理 例3】3, 如图，长方形纸片ABCD中，已知AD8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF3，则AB的长为（ ）A3 B4 C5 D6【答案
5、】D；【解析】解：设AB，则AF， ABE折叠后的图形为AFE， ABEAFEBEEF，ECBCBE835，在RtEFC中，由勾股定理解得FC4，在RtABC中，解得【总结升华】折叠问题包括“全等形”, “勾股定理”两大问题，最终通过勾股定理求解类型四, 与勾股定理有关的面积计算4, 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5与11，则b的面积为（）A6 B5 C11 D16【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b是正方形，可求ABCCDE由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积【答案】D【解析】解：ACB+ECD=90，DEC+ECD=90，ACB=
6、DEC，在ABC与CDE中，ABCCDEBC=DEb的面积为5+11=16，故选D【总结升华】此题奇异的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解实力，依据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键类型五, 利用勾股定理解决实际问题5, 一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8，所以底面直径DC长为16则在RtBCD中，所以 ()答：筷子最长不超过20，可正好盖上盒盖【总结升华】本题实质是求饭盒中随意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径与相应的两条高组成的长方形的对角线长举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以C90，BC5，AC12， BCAB51318() 旗杆折断前的高度为18第 6 页