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1、中考总复习：勾股定理及其逆定理（提高）撰稿：赵炜 审稿：杜少波【考纲要求】1 .了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2 .理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3 .能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4 .加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题.以表达代数与几何之间的内在联系.【知识网络】【考点梳理】知识点一、勾股定理L勾股定理：直角三角形两直角边久的平方和等于斜边c的平方（即：4+6二，）.【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直 角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “勾三，
2、股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平 方和等于斜边的平方.2 勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.3 .勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：直角三角形的任意两边长，求第三边，在AA3C中，NC = 90。，那么”，？+白，b = a = y/c2 b2 ;知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系;可运
3、用勾股定理解决一些实际问题.知识点二、勾股定理的逆定理=S.b2, S3= n c2.8那么 S +S,Z =- (a2+b2),因为 a?+b2=c2,所以 S +S 4问题3：由圆的面积计算公式知：S尸1兀不，$2二1 ： 88那么 S1+S2=,兀(a2+b2),因此 a2+bJc) 所以 S1+S2=S3 8101 .原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果 把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2 .勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长久b、c,满足4+=/,那么这个三角形是直角三角形.【要点诠释】
4、勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转 化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和/+/与较长边的平方,2 作比拟，假设它们相等时，以。，b, c为三边的三角形是直角三角形；假设/+/ 2, n 为正整数）；2+ 1,2/ +2,2/ +2/1 + 1 （ n 为正整数）m2 -n2,2mn,nr + n2 （ m，m ,力为正整数）知识点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系1 .区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角 形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直
5、角三角形的前提条件，了解直角三角 形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造 直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解；而其逆定理是判定定理，能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角 形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的平 方和与第三边的平方比拟而得到错误的结论.2 .联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.在解决 一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直 角三角形，又要用勾股定
6、理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.【典型例题】类型一、勾股定理及其逆定理的应用【高清课堂：勾股定理及其逆定理例2】C1.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1） .图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S”正S3,假设S1+S2+S3=10,贝!JS2的值是图1图1图2【思路点拨】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出 答案.【答案与解析】:图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为)，S2,
7、 S3, ACG=NG, CF=DG=NF,S尸(CG+DG) =CG 2+DG 2+2CG*DG, =GF 2+2CG*DG,S2=GF 2,S3= (NG-NF) 2=NG 2+NF -2NG*NF,VSi+S2+S3=10=GF ?+2CGDG+GF 2+NG 2+NF 2-2NGNF, =3GF 2,10$2二 3【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，根据得出S.+S2+S3=10=GF 2+2CG-DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NGNF=3GF 2是解决问题的关键.【变式】假设aABC三边a、b、c满足a 2 +b 2 +c 2 +338=10a+24b+26c, AAB
8、C是直角三角形吗？ 为什么？【答案】Va2 +b2 +c2 +338=10a+24b+26cAa2 +b2 +c2 +338-10a-24b-26c =0(a2 -10a+25) + (b2 -24b+144) + (c2 -26c+169) =0即 S_5/+侬_2)2+(.13)2 = 0 ,一5之0,3_12)，0,(c-13)20,/.a=5, b=12, c=13 又二飞？ +b 2=c2=169, :ABC是直角三角形.(2012北京)如图，在四边形ABCD中，对角线AC, BD交于点E, NBAO90。，ZCED=45 ,ZDCE-300 ， DE=V2 , BE=2 后.ZDC
9、E-300 ， DE=V2 , BE=2 后.求CD的长和四边形ABCD的面积.【思路点拨】此题涉及到的知识点有勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形.【答案与解析】过点D作DH1AC,ZCED=45 , DH1EC, DE=V2 ,AEH=DH,VEH2+DH2=ED2,AEH=l,AEH=DH=1,又 二/DCE=30。,ADC=2, HC=V3 ,V ZAEB=45 , ZBAC=90 , BE=2 a/2 ,AAB=AE=2,.*.AC=2+1 + a/3 =3+a/3 ,S 四边形 abcd= - X 2 X (3+ y/3 ) + XIX (3+ 3 )=.222【总结升
10、华】此题主要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据构造直角三角形进而得出直 角边的长度是解题关键.举一反三：【变式】如图，AABC中，有一点P在AC上移动.假设AB二AC=5, BC=6,那么AP+BP+CP的最小值为()A. 8 B. 8.8 C. 9.8 D. 10【答案】C.类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用。【高清课堂：勾股定理及其逆定理 例7】C3.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.第一条边长为 a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.(1)请用a表示第三条边长；(2)问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a
11、的取值范围；(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？假设能，说明你的围法；假设不能，说明理由.【思路点拨】(1)此题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长.(2)此题需先求出三边的长，再根据三角形的三边关系列出不等式组，即可求出a的取值范围.(3)此题需先求出a的值，然后即可得出三角形的三边长.【答案与解析】(1) 第二条边长为2a+2,第三条边长为30-(2a+2) =28-3a.(2)当a=7时，三边长分别为7, 16, 7.由于7+7V16,所以不能构成三角形，即第一条边长不能为7米.(2a + 2) + a 28- 3a由(2a+ 2)-a 28-3白1313可解
12、得区.321313即a的取值范围是上5 .如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且NQPN=30 ,点A处有一所中学，AP=160mo假设 拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是 否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为 多少秒？【思路点拨】(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小 于100m那么受影响，大于100m那么不受影响，故作垂线段AB并计算其长度.(2)要求出学校受影响的时 间，实质是要求拖拉机对学校A的影响过程中所行驶的路程.因此必
13、须找到拖拉机行至哪一点开始影响 学校，行至哪一点后结束影响学校.【答案与解析】作AB_LMN,垂足为B在 RtAABP 中，V ZABP = 90 , NAPB = 30。, AP=160, AB=1aP = 80 (直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半) 2点A到直线MN的距离小于100m, 这所中学会受到噪声的影响.如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处时学校开始受到影响，那么 AC = 100 (m),由勾股定理得：BC2= 1002-802=3600, BC=60m同理，假设拖拉机行驶到点D处时学校开始不受影响,那么AD=100(m), BD=60(m), CD=1
14、20(m).;拖拉机行驶的速度为：18km/h = 5m/s : t = 120nl+5m/s = 24s答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒. 【总结升华】勾股定理是求线段长度的很重要的方法，假设图形缺少直角条件，那么可以通过作垂线的方法, 构造直角三角形，以便利用勾股定理.,如图（1）, （2）所示，矩形ABCD的边长AB=6, BC=4,点F在DC上，DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点 N运动到点A时，M、N两点同时停止运动.连接FM、FN,当F、N、M不在
15、同一直线时，可得FMN, 过4FMN三边的中点作aPWO.设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒.试解 答以下问题：（1）说明FMNs/XQWP；（2）设0x4 （即M从D到A运动的时间段）.试问x为何值时，PWQ为直角三角形？当x在何 范围时、ZXPQW不为直角三角形？图1求此时MN的值.【思路点拨】解决图形运动的问题，由于运动过程中图形的位置或形状不确定，常会用到分类思想.【答案与解析】（1）由题意可知P、W、Q分别是AFMN三边的中点,，.PW是 FMN的中位线，即PW / MN FMNs QWP(2)由题意可得 DM=BN二x, AN=6-x, AM=4-x,由勾股
16、定理分别得 FM2 = 4 + x2 ,MA2 = (4-x)2 + (6-x)2F2V2 = (4-x)2 + 16当MN?二刊02 + 刊时，(4-x)2 + (6-x)2=4 + x2 + (4-x)2 + 164解得x =;3当尸N?二方+ 时，(4-x)2 + 16 = 4 + 2 + (4-x)2 + (6-x)2此方程无实数根;/A1?二加2 + 网2时，4 + 2 = (4-x)2 + (6-x)2 + (4-x)2 + 16解得为=10 (不合题意，舍去)， =4；4综上，当工=或 = 4时，APQW为直角三角形；344当0x或一x4时，APQW不为直角三角形.33(3)当0
17、WxW4,即M从D到A运动时，只有当x=4时，MN的值最小，等于2；当 4VxW6 时, W2 = AM2+AN2 = (x-4)2 + (6-x)2 = 2(x-5)2 +2当x=5时，MNz取得最小值2,当x=5时，线段MN最短，MN= V2 .【总结升华】题涉及到相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，三角形中位线 定理等知识点的理解和掌握，难度较大，综合性较强，利于学生系统地掌握所学知识.举一反三：【变式】在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性.问题1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S|+S2与S3的关系(如图1).问题2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S，+S与S的关系(如图2).问题3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究S】+S2与S3的关系(如图3).【答案】问题1：由等边三角形的性质知：Si二lai S2-b2, S3- c2,444所以S1+S2=S3.那么S0且 (a2+b2),因为 a2+b2=c2, 4问题2：由等腰直角三角形的性质知：Sz S二S=-c2. 444