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1、勾股定理的逆定理（基础）【学习目标】.掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及 它们之间的关系.1 .能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.2 .能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.【要点梳理】【高清课堂勾股定理逆定理知识要点】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b, c,满足。2+=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形。是通过计算来判定一个三角 形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角
2、形是否是直角三角形首先确定最大边（如。）.（1） 验证，与+是否具有相等关系假设/ =+）2,那么AABC是NC = 90。的直角三角形；假设/。片+6，那么4abc不是直角三角形.要点诠释：当。时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，那么称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题, 那么另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正 确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程V + / = z2的三个正整数，称为勾股数（
3、又称为高数或毕达哥拉斯数）,显然，以X、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉以下勾股数，对解题会很有帮助： 3、 4、 5；5、 12、 13；8、 15、 17；7、 24、 25；9、 40、 41如果以 反。是勾股数，当为正整数时，以、尻、a为三角形的三边长，此三角形 必为直角三角形.要点诠释：（1） 1I, 2/& n2+l是自然数）是直角三角形的三条边长；2r + 2,2几+ 1,2/+2 + 1 （是自然数）是直角三角形的三条边长；m2 -h2, m2 +n2.2mn Q m几，m、是自然数）是直角三角形的三 条边长;【典型例题】类型一、原命题与逆命题C1、写出以下原命题的
4、逆命题并判断是否正确1 .原命题：猫有四只脚.2 .原命题：对顶角相等.3 .原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等.4 .原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.【答案与解析】.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）1 .逆命题：相等的角是对顶角（不正确）.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（正确）2 .逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.（正确）【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系.原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确, 其逆命题也不一定错误.举一反三：【变式】以下命题中，其逆命题成立的是.（只填写序号）同旁内角互补，两直线平
5、行；如果两个角是直角，那么它们相等；如果两个实数相等，那么它们的平方相等；如果三角形的三边长。，b, C满足。2+从=H，那么这个三角形是直角三角形.【答案】提示：的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；的逆命题“如果两个角相等, 那么它们是直角”很明显是错误的；的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实 数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；的逆命题“如果三角形是直角 三角形，那么三角形的三边长a, b,。满足4+62=，”也是正确的.类型二、勾股定理的逆定理C2、判断由线段a, b, c组成的三角形是不是直角三角形.（1） a =7, b =24, c =25；43
6、（2） a 一 一 , b =1, c ；34（3） a = m rr , b = m + rr , c = 2mn (mn0)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的 两条线段的平方和是否等于最长线段的平方.假设是，那么为直角三角形，反之，那么不是直角三 角形.【答案与解析】解：(1)/+/=72+242 =625,=252 =625,/. a2 +b2 =c2.由线段。，b,。组成的三角形是直角三角形.丫Q 25(4 V 16(2) a b c 9 b1 +C1 = I2 + =1H= , a1 ,16 16UJ9/. b2 +c2 a2.由线段a
7、, b, c组成的三角形不是直角三角形.(3) m nQ ,.m +n 2mn , nr m-一rr .a2 +c2 =(疗 一2)2 +(2加)2 _ m4 _ 2m2n2 +n4 + A-rrrn2 = m4 + 2/n27?2 + n4 ,b1 = (m2 +h2)2 =m4 + 2m2n2 + n4,/. a2 + c2 = b1.由线段a, b,。组成的三角形是直角三角形.【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进 行判断，即首先确定最大边，然后验证。2与 2 +。2是否具有相等关系，再根据结果判断是 否为直角三角形.举一反三：【变式1】判断以线
8、段a, b, c为边的AABC是不是直角三角形，其中。= J7, b = 6c = 2.【答案】解：由于acb,因此。为最大边，只需看是否等于2+,即可.*,* a2 = (V7)2 = 7 , b1 = (/3)2 = 3 , c2 = 22 = 4, /. a2 =h2 +c2,以线段a, b, c为边能构成以。为斜边的直角三角形.【高清课堂勾股定理逆定理例3】【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5那么这个三角形三边上的高之比是()A. 20:15:12 B. 3:4:5 C. 5:4:3 D. 10:8:2【答案】A；12提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：,即20
9、:15:12.5 3、如下图，在四边形 ABCD 中，AB = 3, BC=4, CD=12, AD=13, ZB=Z90 ,求 四边形ABCD的面积.【答案与解析】解：连接AC,在AABC中，因为NB = 90 ， AB=3, BC = 4,所以 A= A3? + BO? = 32 + 42 = 9 +16 = 25 ,所以 AC=5,在ACD 中，AD=13, DC=12, AC = 5,所以 DC2 + A。2 = 52 +12?= 25 +144 = 169 = 132 = AO?,即 DC2+AC2=AD2.所以ACD是直角三角形，且NACD = 90。.所以 S四边形A6CQ =-
10、 AB.BC + -AC.DC 22= ix3x4 + -x5xl2 =6 + 30 = 36. 22【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解.由AB=3,BC=4, ZB = 90 , 应想到连接AC,那么在RtZXABC中即可求出AABC的面积，也可求出线段AC的长.所以在 ACD中，AC, AD, CD三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积,而 判断4ACD的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形.举一反三：.【变式】如下图，在梯形ABCD中，ABCD, ZA = 90 , AB=2, BC=3, CD=1, E是AD 中点，试判断EC与E
11、B的位置关系，并写出推理过程.【答案】解：EC1EB.过点C作CF_LAB于F,那么四边形AFCD是矩形，在RtBCF中，可得CF=28.贝|JAD=CF=2后，故 DE=AE=AD=0 .2在 RtAABE 和 RtADCE 中，EB2 =AE2 + AB2 =6, EC2 =DE2+CD2 =3.：.EB2+EC2=9.; BC=3, EB2 + EC2 = BC2.：.ZCEB = 90 , EBEC.类型三、勾股定理逆定理的实际应用C4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小 时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后相距
12、30海里, 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【思路点拨】我们可以根据题意画出如下图的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已 知，如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了.【答案与解析】解：根据题意可画出上图，PQ=16X1. 5 = 24, PR = 12XL 5 = 18, QR = 30, 在APOR中，PQ2 + PR2 = 242 +18? = 576 + 324 = 900 ,PQ2 + PR2 =QR2 .PQR是直角三角形且NRPQ=90。.又,: “远航”号沿东北方向航行，可知NQPN=45。，ZRPN=45 .由此可知“海天”号沿西北方向航行.也可沿东南方向航行.【总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是90 ,这里需注意与东北方向 成90角的有两个方向，即西北方向或东南方向.