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1、学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料二次函数与存在相似三角形3、 （红河） 如图，抛物线24yx与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于 C 点，点 P 是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为D，交直线 BC 于点 E（1）求点 A、B、C 的坐标和直线 BC 的解析式；（2）求 ODE 面积的最大值及相应的点E 的坐标；（3）是否存在以点 P、O、D 为顶点的三角形与 OAC 相似？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由解： （1）在 y=x2+4中，当 y=0时，即 x2+4=0，解得 x=2当 x=0时，即 y=0+4，
2、解得 y=4点 A、B、C的坐标依次是 A（2，0） 、B（2，0） 、C（0，4） 设直线 BC的解析式为 y=kx+b（k0 ） ，则，解得所以直线 BC的解析式为 y=2x+4（2）点 E在直线 BC上，设点 E的坐标为（ x，2x+4） ，则ODE的面积 S可表示为：当 x=1时，ODE的面积有最大值 1此时， 2x+4=21+4=2 ，点 E的坐标为（ 1，2） （3）存在以点 P、O、D 为顶点的三角形与 OAC相似，理由如下：设点 P的坐标为（ x，x2+4） ，0 x2因为OAC与OPD都是直角三角形，分两种情况： 当PDO COA时，解得，（不符合题意，舍去） 当时，此时，点
3、 P的坐标为xBAOyCPDE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料 当PDO AOC时，解得，（不符合题意，舍去） 当时，=此时，点 P的坐标为综上可得，满足条件的点P有两个：，1. (2014?东营 T25)如图，直线 y=2x+2与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，把 AOB沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，过点 B的抛物线 y=x2
4、+bx+c与直线 BC交于点 D（3，4） （1）求直线 BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作 MN 垂直于 x 轴，垂足为点 N，使得以 M、O、N 为顶点的三角形与 BOC相似？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在直线 BD上方的抛物线上有一动点P，过点 P作 PH垂直于 x 轴，交直线 BD于点 H，当四边形 BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标解： （1）y=2x+2，当 x=0时，y=2，B（0，2） 当 y=0时，x=1， A（1，0） 抛物线 y=x2+bx+c 过点 B（0，2） ，D（3，4） ，解得，y=x2+x+2；设
5、直线 BD的解析式为 y=kx+b，由题意，得，解得，直线 BD的解析式为： y=2x+2；（2）存在如图 1，设 M（a，a2+a+2） MN 垂直于 x 轴，MN=a2+a+2，ON=ay=2x+2，y=0 时，x=1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料C（1，0） ，OC =1B（0，2） ，OB=2当BOC MON 时， 解得 a1=1，
6、 a2=2. M（1，2）或（ 2，4） ；如图 2， 当BOC ONM 时， a=或，M（，）或（，） 又M 在第一象限，符合条件的点M 的坐标为（ 1，2） ， （，） ；（3）设 P（b，b2+b+2） ，H（b，2b+2） 如图 3，四边形 BOHP是平行四边形，BO=PH=2PH=b2+b+2+2b2=b2+3b2=b2+3bb1=1，b2=2当 b=1时，P（1，2） ，当 b=2时，P（2，0）P点的坐标为（ 1，2）或（ 2，0） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
7、- - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料3.(2014钦州 T26)如图，抛物线 y=43x2+bx+c 与 x 轴交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 B，四边形 OBCD 是矩形，点 A 的坐标为（ 1，0） ，点 B 的坐标为（ 0，4） ，已知点 E（m，0）是线段DO 上的动点，过点E 作 PEx 轴交抛物线于点P，交 BC 于点 G，交 BD 于点 H（1）求该抛物线的解析式；（2）当点 P在直线 BC上方时，请用含 m 的代数式表示 PG的长度；（3）在（ 2）的条件下，是否存在这样
8、的点P，使得以 P、B、G为顶点的三角形与 DEH相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由解： （1）抛物线 y= x2+bx+c与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，4） ，解得，抛物线的解析式为y= x2 x+4；（2）E（m，0） ，B（0，4） ，PE x轴交抛物线于点 P，交 BC于点 G，P（m，m2 m+4） ，G（m，4） ，PG= m2 m+44= m2 m；（3）在（ 2）的条件下，存在点P，使得以 P、B、G为顶点的三角形与 DEH相似y=x2x+4，当 y=0 时，x2 x+4=0，解得 x=1或3，D（3，0） 当点 P在直线 BC上
9、方时， 3m0设直线 BD的解析式为 y=kx+4，将 D（3，0）代入，得 3k+4=0，解得 k= ，直线 BD的解析式为 y= x+4，H（m， m+4） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料分两种情况： 如果BGP DEH，那么=，即3mm=，由 3m0，解得 m=1； 如果PGB DEH，那么=，即=，由 3m0，解得 m=综上所述，在（
10、 2）的条件下，存在点P，使得以 P、B、G 为顶点的三角形与 DEH 相似，此时 m的值为 1 或4.（2014成都 T28）如图，抛物线 y=8k（x+2） （x4） （k 为常数，且 k0）与 x 轴从左至右依次交于A，B，与 x 轴交于 C，经过点 B的直线 y=x+b与抛物线的另一交点为D（1）若点 D的横坐标为 5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以 A，B，P为顶点的三角形与 ABC相似，求 k 的值；（3）在（ 1）的条件下，设F为线段 BD上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF以每秒 1 个单位的速度运动到F，
11、再沿线段 FD以每秒 2 个单位的速度运动到D 后停止，当点 F的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？解： （1）抛物线 y= （x+2） （x4） ，令 y=0，解得 x=2 或 x=4，A（2，0） ，B（4，0） 直线 y=x+b 经过点 B（4，0） ， 4+b=0，解得 b=，直线 BD解析式为： y=x+当 x=5 时，y=3，D（5，3） 点 D（5，3）在抛物线 y= （x+2） （x4）上， （5+2） （54）=3，k=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
12、 - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料（2）由抛物线解析式，令x=0，得 y=k，C（0，k） ，OC =k因为点 P在第一象限内的抛物线上，所以ABP为钝角因此若两个三角形相似，只可能是ABC APB或ABC ABP若 ABC APB ，则有 BAC =PAB ，如答图 21 所示设 P（x，y） ，过点 P作 PNx 轴于点 N，则 ON=x，PN=ytanBAC =tanPAB ，即：，y= x+kD（x， x+k） ，代入抛物线解析式y= （x+2） （x4） ，得 （x+2） （x4
13、）= x+k，整理得： x26x16=0，解得： x=8 或 x=2（与点 A 重合，舍去），P（8，5k） ABC APB ，即，解得 k=若 ABC ABP ，则有 ABC =PAB ，如答图 22 所示与同理，可求得： k=综上所述， k=或 k=（3）由（ 1）知： D（5，3） ，如答图 3，过点 D 作 DNx 轴于点 N，则 DN=3，ON=5，BN=4+5=9，tanDBA=， DBA =30 过点 D作 DK x 轴，则 KDF =DBA =30 过点 F作 FGDK于点 G，则 FG= DF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
14、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料由题意，动点 M 运动的路径为折线AF+DF，运动时间： t=AF+ DF，t=AF+FG ，即运动时间等于折线AF +FG的长度由垂线段最短可知，折线AF +FG的长度的最小值为DK与 x 轴之间的垂线段过点 A 作 AHDK于点 H，则 t最小=AH，AH与直线 BD的交点，即为所求之F点A 点横坐标为 2，直线 BD解析式为： y=x+，y= （2）+=2，F（2，2） 综上所述，当点 F
15、 坐标为（ 2，2）时，点 M 在整个运动过程中用时最少5.（2014衡阳 T28）二次函数 y=ax2+bx+c （a0 ）的图象与 x 轴的交点为 A（3，0） 、B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3m） （其中 m0） ，顶点为 D（1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；（2）如图，当 m=2 时，点 P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设APC的面积为 S，试求出 S与点 P的横坐标 x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图，当 m 取何值时，以 A、D、C为顶点的三角形与 BOC相似？解： （1）抛物线与 x 轴交点为 A（3，0） 、B（1，0） ，抛物
16、线解析式为： y=a（x+3） （x1） 将点 C （0，3m）代入上式，得 a 3 （1）=3m，m=a，抛物线的解析式为： y=m（x+3） （x1）=mx2+2mx3m（2）当 m=2时，C（0，6） ，抛物线解析式为y=2x2+4x6，则 P（x，2x2+4x6） 设直线 AC的解析式为 y=kx+b，则有，解得，y=2x6如答图，过点 P作 PE x轴于点 E，交 AC于点 F，则 F（x，2x6） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 -
17、- - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料PF =yFyP=（2x6）（ 2x2+4x6）=2x26xS =SPFA+SPFC= PF ?AE + PF ?OE = PF ?OA= （2x26x） 3 S=3x29x=3（x+ ）2+S与 x 之间的关系式为 S=3x29x，当 x= 时，S有最大值为（3）y=mx2+2mx3m=m（x+1）24m，顶点 D坐标为（ 1，4m） 如答图，过点 D作 DEx 轴于点 E，则 DE =4m，OE =1，AE =OAOE =2；过点 D作 DF y 轴于点 F，则 DF =1，CF =OF O
18、C =4m3m=m由勾股定理得： AC2=OC2+OA2=9m2+9；CD2=CF2+DF2=m2+1；AD2=DE2+AE2=16m2+4ACD与BOC相似，且 BOC为直角三角形， ACD必为直角三角形i）若点 A 为直角顶点，则 AC2+AD2=CD2，即： （9m2+9）+（16m2+4）=m2+1，整理得： m2= ，此种情形不存在；ii）若点 D 为直角顶点，则 AD2+CD2=AC2，即： （16m2+4）+（m2+1）=9m2+9，整理得： m2= ，m0，m=此时，可求得 ACD的三边长为： AD=2，CD=，AC=；BOC的三边长为： OB=1，OC = ，BC =两个三角
19、形对应边不成比例，不可能相似，此种情形不存在；iii）若点 C为直角顶点，则 AC2+CD2=AD2，即： （9m2+9）+（m2+1）=16m2+4，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料整理得： m2=1，m0，m=1此时，可求得 ACD的三边长为： AD=2，CD=，AC=3；BOC的三边长为： OB=1，OC =3，BC =，满足两个三角形相
20、似的条件m=1综上所述，当 m=1 时，以 A、D、C为顶点的三角形与 BOC相似6.（2014西宁 T28）如图，抛物线 y=14x2+32x2 交 x 轴于 A，B两点（点 A在点 B的左侧） ，交 y 轴于点 C ，分别过点 B，C作 y 轴，x 轴的平行线，两平行线交于点D ，将 BDC 绕点 C逆时针旋转，使点 D旋转到 y 轴上得到 FEC ，连接 BF （1）求点 B，C所在直线的函数解析式；（2）求 BCF的面积；（3）在线段 BC上是否存在点 P，使得以点 P，A，B为顶点的三角形与 BOC 相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解： （1）当 y=0时，x2+
21、x2=0，解得 x1=2，x2=4，点 A，B的坐标分别为（ 2，0） ， （4，0）. 当 x=0时，y=2，C点的坐标分别为（ 0，2）. 设直线 BC的解析式为 y=kx+b（k0） ，则，解得直线 BC的解析式为 y= x3；（2）CD x 轴，BD y 轴， ECD =90. 点 B，C的坐标分别为（ 4，0） ， （0，2） ，BC =2. FEC是由 BDC 绕点 C逆时针旋转得到， BCF的面积 = BC ?FC = 22=10；（3）存在分两种情况讨论：过 A作 AP1x 轴交线段 BC于点 P1，则 BAP1BOC ，点 A的坐标为（ 2，0） ，点 P1的横坐标是 2.
22、点 P1在点 BC所在直线上， y= x2= 22=1. 点 P1的坐标为（ 2，1） ；过 A作 AP2BC ，垂足点 P2，过点 P2作 P2Q x 轴于点 Q BAP2BCO . =，=. 解得 AP2=. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料=，AP2?BP =CO ?BP2. 4=2BP2. 解得 BP2=. AB ?QP2= AP2?B
23、P2，2QP2=. 解得 QP2= . 点 P2的纵坐标是. 点P2在BC所在直线上，x=.点P2的坐标为（， ）. 满足条件的 P点坐标为（ 2，1）或（，） 7. （2014威海 T25改编） 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过 A（1，0），B（4，0），C （0，2）三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以 A、B、E为顶点的三角形与 COB 相似？若存在，试求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（ 1）该抛物线过点C（0，2），可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2将 A（1，0），B（4，0）代入，得. 解得. 抛物线的解
24、析式为： y= x2+ x+2（2）存在由图象可知，以 A、B为直角顶点的 ABE不存在，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料所以 ABE只可能是以点 E为直角顶点的三角形在 RtBOC 中，OC =2，OB =4，BC =在 RtBOC 中，设 BC边上的高为 h，则 h= 24，h=BEA COB ，设 E点坐标为（ x，y），= ，y = 2. 将 y=2代入抛物线 y= x2+ x+2，得 x1=0，x2=3当 y=2 时，不合题意，舍去E点坐标为（ 0，2），（ 3，2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -