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1、精品资料欢迎下载教师姓名朱曙光学科数学上课时间学生姓名年级学校课题名称二次函数与相似三角形教学目标1、 强化二次函数与相似三角形的知识应用2、 提高综合知识的应用能力教学重点难点了解二次函数与相似三角形的题型及解题技巧课前检查作业完成情况：优良中 差一、引入例题 如图 1，已知抛物线的顶点为A（2， 1） ，且经过原点O，与 x 轴的另一个交点为B。求抛物线的解析式；若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；连接 OA 、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得 OBP 与 OAB 相似？若存在，求出P
2、 点的坐标；若不存在，说明理由。分析 :1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、 C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况二、解题方法及切入点例 1 题图图 1 OAByxOAByx图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页精品资料欢迎下载yxEQPCBOA教学过程函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点， 进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中
3、已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。三、例题讲解练习 1、已知抛物线2yaxbxc经过5 3(33)02PE，及原点(0 0)O，（1）求抛物线的解析式（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上， 任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC是否存在点Q，使得OPC与P
4、QB相似？若存在， 求出Q点的坐标；若不存在，说明理由（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形OPCPQBOQPOQA，之间存在怎样的关系？为什么？分析总结：练习 2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在 x 轴上，点C 在 y 轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页精品资料欢迎下载上，将边BC 折叠，使点B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠5 5CE，且3tan4EDA。（ 1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理由；（ 2）求直线 CE 与
5、 x 轴交点 P 的坐标；（ 3）是否存在过点D 的直线 l，使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线l、直线 CE 与 y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在， 请说明理由。分析总结：练习 3、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2(0)yaxbxc a的图象与x轴交于AB，两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2 3)，和( 312)，O x y 练习 2 图C B E D A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页精品资料欢迎
6、下载（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为223yxx）（2）若直线:(0)lykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合） ，则是否存在这样的直线l，使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；( 1 0)(3 0),(0 3)ABC，（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明） ，并写出此时点P的横坐标px的取值范围分析总结：练习 4 如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点C（1）求 A、B、C 三点的坐标（2
7、）过点 A 作 APCB 交抛物线于点P，求四边形ACBP 的面积（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过 M 作 MGx轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶O y C lx B A 1x练习 3 图oC B A x练习 4 图P y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页精品资料欢迎下载点的三角形与PCA 相似若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由分析总结：练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，90ACB，点AC，的坐标分别为( 3 0)A，(10)C ，3tan4BAC（1）求过点
8、AB，的直线的函数表达式；点( 3 0)A，(10)C ，B (13)，3944yx（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得ADB与ABC相似（不包括全等） ，并求点D的坐标；（3）在（ 2）的条件下，如PQ，分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设APDQm，问是否存在这样的m使得APQ与ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由分析总结：四、课堂小结二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。其实破解 难 点 以 后 不 难 发 现 ， 若 是 直 角
9、三 角 形 相 似 无 非 是 如 图1-1的 几 种 基 本 型 。A C O B x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页精品资料欢迎下载y C E P D 4 6 若是非直角三角形有如图1-2 的几种基本型。利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。五、课后巩固1、已知抛物线的顶点为A(2， 1)，且经过原点O，与 x 轴的另一交点为B。(1)求抛物线的解析式；(2)若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；(3)连接
10、 OA、AB，如图，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP 与OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。2、已知抛物线2yaxbxc经过点 A（5，0） 、B（6， - 6）和原点 . （ 1）求抛物线的函数关系式；（ 2）若过点 B 的直线 ykxb 与抛物线相交于点C（2，m） ，请求出AABBOOxxyy图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页精品资料欢迎下载OBC 的面积 S的值 . （3）过点 C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点 D，在抛物线对称轴右侧位于直线 DC 下方的抛物线
11、上，任取一点P，过点 P 作直线 PF 平行于 y 轴交 x 轴于点 F，交直线 DC 于点 E. 直线 PF 与直线 DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P，使得OCD 与CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 3、如图，抛物线的顶点为A（2，1） ，且经过原点O，与 x 轴的另一个交点为B（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使 MOB 的面积是 AOB 面积的 3 倍；（3）连结 OA，AB，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点N，使 OBN 与 OAB 相似？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，说明理由y O A 精选学习资料 - -
12、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页精品资料欢迎下载参考答案例题 、解 :由题意可设抛物线的解析式为1)2x(ay2抛物线过原点，1)20(a02精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页精品资料欢迎下载41a. 抛物线的解析式为1)2x(41y2,即xx41y2如图1,当 OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CDOB, 由1)2x(4102得4x, 0 x21, B(4,0),OB 4. D 点的横坐标为6 将 x6 代入1)2x(41y2,得 y 3,
13、D(6, 3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形 ,此时 D点的坐标为 (2,3), 当 OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点,此时 D 点的坐标为 (2,1) 如图 2，由抛物线的对称性可知:AO AB, AOB ABO. 若 BOP 与 AOB 相似 ,必须有 POB BOA BPO 设 OP 交抛物线的对称轴于A 点,显然 A(2, 1) 直线 OP 的解析式为x21y由xx41x212, 得6x,0 x21.P(6, 3) 过 P 作 PEx 轴,在 RtBEP 中,BE2,PE 3, PB134.
14、 PB OB, BOP BPO, PBO 与 BAO 不相似 , 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点 . 所以在该抛物线上不存在点P,使得 BOP 与 AOB 相似 . 练习 1、解：（1）由已知可得：333755 30420ababc解之得，25 3033abc，EAOABPyx图 2 COABDyx图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页精品资料欢迎下载因而得，抛物线的解析式为：225 333yxx（ 2）存在设Q点的坐标为()mn，则225 333nmm，要使,BQPBOCPPBQCP
15、OC，则有3333nm，即225 3333333mmm解之得，122 32mm，当12 3m时，2n，即为Q点，所以得(23 2)Q，要使,BQPBOCPQBPOCCP，则有3333nm，即225 3333333mmm解之得，123 33mm，当3m时，即为P点，当13 3m时，3n，所以得(3 33)Q，故存在两个Q点使得OCP与PBQ相似Q点的坐标为(23 2) (333)，（ 3）在RtOCP中，因为3tan3CPCOPOC所以30COP当Q点的坐标为(23 2)，时，30BPQCOP所以90OPQOCPBQAO因此，OPCPQBOPQOAQ，都是直角三角形又在RtOAQ中，因为3tan
16、3QAQOAAO所以30QOA即有30POQQOAQPBCOP所以OPCPQBOQPOQA，又因为QPOPQAOA，30POQAOQ，所以OQAOQP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页精品资料欢迎下载练习 2 解： （1）OCD与ADE相似。理由如下：由折叠知，90CDEB，1290，139023.，又90CODDAE，OCDADE。（ 2）3tan4AEEDAAD，设 AE=3t ，则 AD=4t 。由勾股定理得DE=5t 。358OCABAEEBAEDEttt。由（ 1）OCDADE，得OCCDADDE，84
17、5tCDtt，10CDt。在DCE中，222CDDECE，222(10 )(5 )(55)tt，解得 t=1 。OC=8 ，AE=3 ，点 C 的坐标为（ 0，8） ，点 E 的坐标为（ 10，3） ，设直线 CE 的解析式为y=kx+b，1038kbb，解得128kb，182yx，则点 P 的坐标为（ 16，0） 。（ 3）满足条件的直线l 有 2 条： y=2x+12 ，y=2x12。如图 2：准确画出两条直线。练习 3 O x y 图 1 C B E D 3 1 2 A 图 2 O x y C B E D P M G l N A F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
18、归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页精品资料欢迎下载解： （1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2 3)，和( 312)，由1242393212.baabcab，解得123.abc，此二次函数的表达式为223yxx（ 2）假设存在直线:(0)lykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合），使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似在223yxx中，令0y，则由2230 xx，解得1213xx，( 1 0)(3 0)AB，令0 x，得3y(0 3)C，设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DEx轴于点E点B的坐标为(3 0)，点C的坐标为(0 3)，点A的坐
19、标为( 1 0)，4345.ABOBOCOBC，22333 2BC要使BODBAC或BDOBAC，已有BB，则只需BDBOBCBA，或.BOBDBCBA成立若是，则有3 3 29 244BO BCBDBA而45OBCBEDE，在RtBDE中，由勾股定理，得222229 224BEDEBEBD解得94BEDE（负值舍去） 93344OEOBBEy x B E A O C D 1xl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页精品资料欢迎下载点D的坐标为3 94 4，将点D的坐标代入(0)ykx k中，求得3k满足条件的直线l
20、的函数表达式为3yx或求出直线AC的函数表达式为33yx，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为3yx此时易知BODBAC，再求出直线BC的函数表达式为3yx联立33yxyx，求得点D的坐标为3 94 4， 若是，则有34223 2BOBABDBC而45OBCBEDE，在RtBDE中，由勾股定理，得222222(22)BEDEBEBD解得2BEDE（负值舍去） 321OEOBBE点D的坐标为(12)，将点D的坐标代入(0)ykx k中，求得2k满足条件的直线l的函数表达式为2yx存在直线:3lyx或2yx与线段BC交于点D（不与点BC，重合），使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似，且点
21、D的坐标分别为3 94 4，或(12)，（ 3）设过点(0 3)(1 0)CE，的直线3(0)ykxk与该二次函数的图象交于点P将点(10)E ，的坐标代入3ykx中，求得3k此直线的函数表达式为33yx设点P的坐标为(33)xx，并代入223yxx，得250 xx解得1250 xx，（不合题意，舍去） 512xy，x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页精品资料欢迎下载点P的坐标为(512)，此时，锐角PCOACO又二次函数的对称轴为1x，点C关于对称轴对称的点C的坐标为(2 3)，当5px时，锐角PCOACO；
22、当5px时，锐角PCOACO；当25px时，锐角PCOACO练习四解：（ 1）令0y，得210 x解得1x令0 x，得1y A( 1,0)B(1,0)C(0, 1)（ 2） OA=OB=OC=1BAC =ACO=BC O=45 APCB，PAB=45过点 P 作 PEx轴于 E，则APE 为等腰直角三角形令 OE=a，则 PE=1aP( ,1)a a点 P 在抛物线21yx上 211aa解得12a，21a（不合题意，舍去） PE=3四边形ACB P 的面积S=12AB?OC+12AB?PE=112 123422(3) 假设存在PAB=BAC =45 PAAC MGx轴于点 G，MG A=PAC
23、 =90在 RtAOC 中， OA=OC=1 AC=2在 RtPAE 中， AE=PE=3AP= 3 2设 M 点的横坐标为m，则 M 2(,1)m m点 M 在y轴左侧时，则1m图 1 CPByAox精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页精品资料欢迎下载() 当AMG PCA 时，有AGPA=MGCA AG=1m，MG=21m即2113 22mm解得11m（舍去）223m（舍去）() 当MAG PCA 时有AGCA=MGPA即21123 2mm解得：1m（舍去）22m M( 2,3) 点 M 在y轴右侧时，则1m(
24、) 当AMG PCA 时有AGPA=MGCA AG=1m，MG=21m2113 22mm解得11m（舍去）243mM4 7(,)3 9() 当MAGPCA 时有AGCA=MGPA即21123 2mm解得：11m（舍去）24m M(4,15)存在点M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似M 点的坐标为( 2,3)，4 7(,)3 9，(4,15)练习 5、解： （1）点( 3 0)A，(10)C ，4AC，3tan434BCBACAC，B点坐标为(13)，设过点AB，的直线的函数表达式为ykxb，由0( 3)3kbkb得34k，94b直线AB的函数表达式为3944yxG M 图 3
25、 C B y P A oxG M 图 2 C B y P A oxByP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页精品资料欢迎下载（ 2）如图 1，过点B作BDAB，交x轴于点D，在RtABC和RtADB中，BACDABRtRtABCADB，D点为所求又4tantan3ADBABC，49tan334CDBCADB134ODOCCD，1304D，（ 3）这样的m存在在RtABC中，由勾股定理得5AB如图 1，当PQBD时，APQABD则133413534mm，解得259m如图 2，当PQAD时，APQADB则133413534mm，解得12536m课后学生作业布置教师课后赏识评价在课上老师最赏识的是：在下次课老师最希望你改正的是：ABCDQOyx图 2 P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页