《2022年2022年矩阵可逆的若干判别方法. .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年矩阵可逆的若干判别方法. .pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、山西师范大学本科毕业论文矩阵可逆的若干判别方法姓名郭晓平院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级0701 班学号0751010139指导教师宋蔷薇答辩日期成绩名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - I 矩阵可逆的若干判别方法内容摘要对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示
2、、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。 其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵
3、可逆的判别方法。【关键词】矩阵 逆矩阵 初等变换伴随矩阵线性方程组名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - II Some Methods for Judging Invertible Matrix Abstract The matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertib
4、le matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transform
5、ation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also
6、is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary. Through combining with my knowledge, referring to the relevant mate
7、rials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special ma
8、trix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix. 【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrix Linear equations 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
9、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - III 目录一、 引言(01) 二、预备知识(01)（一）基本概念(01) （二）可逆矩阵的性质(01) 三、 矩阵可逆的若干判别方法(02)（一）定义判别法(02) （二）行列式判别法(02) （三）秩判别法(02) （四）伴随矩阵判别法(02) （五）初等变换判别法(02) （六）初等矩阵判别法(02) （七）矩阵向量组的秩判别法法(03) （八）线性方程组判别法(03) （九）标准形判别法(04) （十）多项式判别法(04) （十一）
10、特征值判别法(05) 四、十种常见矩阵的可逆性(05)五、 矩阵可逆判别方法的实例(07) 六、 小结(11)参考文献(11)致谢(12)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 1 - 矩阵可逆的若干判别方法学生姓名：郭晓平指导老师： 宋蔷薇一、引言在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。矩阵对解决数学中诸多理论问题都有重要意义。在矩阵理论中可逆矩阵有如此重要的地位作
11、用，所以学习、研究可逆矩阵的判别方法，有助于进一步完善矩阵理论体系，也是相当有必要的。解决实际问题（如国民经济中的调运方案等问题），第一步往往是建立合适的数学模型，然后化为线性代数和代数学等的问题。很多有关代数学方面的研究多数会情况下转化为有关矩阵的研究，特别是可逆矩阵的研究。矩阵可应用于物理、数学、经济等方面。 可逆矩阵在矩阵中有着重要地位， 可见研究可逆矩阵的判定也有着重要的实践意义。本文系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法。二、预备知识（一）基本概念定义 1【1】设数域 F 上,n阶方阵 A，如果存在n阶方阵 B 满足条件EAB且EBA, 就称 A可逆, 并且称 B 是 A的逆
12、, 记1AB.定义 2 记 A中元素ija的代数余子式为ijA，令TnnijAA)(*, 我们称矩阵*A 为 A的伴随矩阵。定义 31矩阵 A的行秩和列秩称为 A的秩，记作)(Ar. 定义 42矩阵的三类初等行变换：(1) 互换某两行的位置；(2) 用F中某个非零数乘某行；(3) 将某行的数倍加到另一行上。初等列变换与初等行变换完全类似，只需将行换成列即可。定义 5 初等矩阵，是对单位矩阵E 施行一次初等变换得到的矩阵。定义 6 对 A施加一系列初等变换, 它变为 B , 则称 A 与 B 等价。（二） 矩阵可逆的性质性质 1 AA11)(; 性质 2 11)()(TTAA; 性质 3 111
13、)(ABAB; 性质 4 111)(AkkA; 性质 5 矩阵 A与它的伴随矩阵*A 具有相同的可逆性，即A可逆*A , 且*1*)(AAA性质 62设nmFA, P ,Q分别是 m阶和n阶可逆方阵，)()(ArPAQr. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 2 - 且)()(AQrPAr三、矩阵可逆的 若干判别方法（一）定义1判别法设对于n阶方阵 A，如果存在n阶方阵 B 满足条件EAB且EBA, 就称 A可
14、逆 ,并且称 B 是 A的逆, 记1AB. 注：这种方法实际上是通过直接找到矩阵的逆，进而根据矩阵可逆的定义来证明矩阵可逆的，所以它多适用于简单矩阵和非具体矩阵。（二）矩阵行列式判别法定理2： A可逆A是方阵且 A0（非退化）。（三）秩判别法n阶矩阵 A可逆nAr)(. 证明: 由 A可逆，知0A, 再由矩阵秩的定义，可得nAr)(. 所以由 A可逆可推得nAr)(. 反过来，必要性也显然成立。（四）伴随矩阵判别法A可逆存在*1AAB, 使得EBAAB. 证明：若 A可逆，则显然0A, 且*11AAA. 反过来，如果有*1AAB,EBAAB, 则*11AABA. (1) 注：公式 (1) 便是
15、求逆矩阵的公式。但是根据这个公式来求逆矩阵，矩阵阶数较大时计算量往往是相当大的且繁琐，因此该方法适合阶数较小的矩阵。（五）初等变换判别法对矩阵 A施行初等行（或者列）变换得到的矩阵B , 则 B 可逆A可逆。证明：设用初等行或列变换，将A 变为 B , 因为初等变换是等价变换，从而并不改变 A的秩，所以 A与 B 秩相等，故 A与 B 有相同的可逆性，从而B 可逆A可逆。命题得证。（六）初等矩阵判别法定理1：方阵 A可逆A可表成一些初等矩阵的乘积：sQQQA21. 证明：充分性 , 由题知，sQQQA21, 则有02121ssQQQQQQA, 故 A可逆。必要性的详细证明见于参考文献1 第 1
16、91 页。证毕。定理1：方阵 A可逆A可以经过初等行变换化为单位矩阵。证明：必要性，由矩阵A可逆，知它可以表示成一些初等矩阵sPPP21的乘积，即sPPPA21, 从而EAPPPs11121, 也就是说， A可以经过初等行变换化为单名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 3 - 位矩阵。充分性，若 A可经过初等行变换化为单位矩阵，则存在一些初等矩阵sPPP,21, 使得EAPPPs21, 从11211sPPPA,
17、故011121112111ssPPPPPPA, 因此 A可逆。证毕。注：施加一系列初等行变换，可逆矩阵A可化为单位矩阵， 那么类似地施加一系列初等列变换可逆矩阵也可化为单位矩阵。具体方法：用一系列初等行变换进行以下过程A()EE()1A, 则矩阵里右面的块即为A的逆矩阵。同理 , 作列变换时，则相应地进行1AEEA这一过程，矩阵里下面的块即为A的逆矩阵。（七）矩阵的向量组的秩判别法 1.定理2：n阶方阵 A可逆A的各列（行）线性无关。 2.n阶方阵 A可逆A的列（行）向量组的秩等于n. 证明： A可逆等价于nAr)(, 从而nAr)(, 从而A的各列（行）线性无关，从而A的列（行）向量组的秩等
18、于n. 将上述论述反过来说也是完全成立的。命题得证。（八）线性方程组判别法1.齐次线性方程组00022,221122,222212122, 1212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa即OAX（ A为该齐次方程组的系数矩阵）只有零解A可逆。证明：用,21n,分别代表系数矩阵各列，则齐次方程组变为02211nnxxx, 方程组只有零解，即021nxxx, 从而,21n,线性无关，而,21n,线性无关的充要条件为A可逆。故命题得证。2.非齐次线性方程.,221122222212111212111nnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa即OAX（ A为该方
19、程组的系数矩阵）有唯一解A可逆。证明：用,21n,分别代表系数矩阵各列，即njjjjaaa21)1 (nj, 则方程组可以写成向量形式nnxxx2211, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 4 - 由0AD, 知,21n,成1nF的一组基，故1nF每个向量都可以写成,21n,的线性组合的形式，即nnxxx2211, 且系数nxxx,21由唯一决定。换句话说，命题中的方程组有唯一解。反过来，若方程组有唯一解，
20、则必然有0AD, 否则，方程组无解或有无穷多解。（九）标准形判别法引理1：任何一个ns矩阵 A都与一个形式为rsrsrnrOOOE的矩阵等价，该矩阵称为 A的标准形，且)(Arr. 其中rE为单位矩阵, O为零矩阵。n阶方阵 A可逆矩阵 A的标准形是)(nE. 证明：根据引理可知， 任何一个矩阵都可经过初等行或列变换化成引理中的标准对角阵。如果 A可逆，那么 A 的秩只能是n, 等于矩阵 A的阶数，从而其标准形只能是单位矩阵。反过来，如果 A标准型是n阶单位矩阵，由引理，知A的秩为n, 故 A可逆。注：该判别法大多用于非具体矩阵的理论性证明。（十）多项式判别法nn的矩阵 A可逆有多项式)(xf
21、, 满足OAf)(, 且常数项不为零。证明：必要性，设nnijaA)(，)(f是nn的矩阵 A的特征多项式，则2211()(aaAEfnAannnn) 1()1. 由 A可逆 , 知0A, 从而0)1(An, 即多项式)(f的常数项不为零。又根据哈密顿凯莱定理，知2211()(aaAAfn0)1()1EAAannnn, 故 A的特征多项式)(f为题中所求。充分性，设有一常数项不为零的多项式011)(axaxaxaxfmmmm)0(0a, 则有OAf)(, 即OEaAaAaAammmm0111L)0(0a，所以EaAaAaAammmm0111L，从而EAaAaAaammmm)(11110, 即E
22、AaAaAaammmm)(11110，故 A可逆。（十一）特征值判别法nn的矩阵 A可逆矩阵 A的特征值全都不是零。证明：必要性，假设nn的矩阵 A的特征多项式为)(f，则Aaaafnnnnn) 1()()(12211, 根据根与系数的关系， 可知所有特征值之积等于A , 又由 A可逆，知0A, 故所有特征值全不为零。充分性，因为所有特征值全不为零， 而所有特征值之积等于A , 故0A, 从而 A可逆，从而命题得证。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页
23、 - - - - - - - - - - 5 - 四、十种常见矩阵的可逆性（一）单位矩阵100010001E是 可逆 的。证明：显然EEE成立，根据矩阵可逆的定义，可得单位矩阵E 可逆。而且知道EEEk，故kE也是可逆的。（二）数量矩阵bbbB000000可逆。证明：显然,bEB而单位矩阵 E 是可逆的， 再由矩阵可逆的性质4111)(AkkA知，EbEbbEB11111)(，故B可逆。（三）令对角矩阵sbaA000000如果它的主对角线上的元均不为零， 则 A是可逆。证明：记sbaA000000sbaB100010001, 显然EBAAB, 根据矩阵可逆的定义，故A是 可逆 的。（四）分块矩
24、阵1. 设mm矩阵C与nn矩阵D, 都是 可逆 的, 则(1) 准对角矩阵DC可逆，且111DCDC; (2)DC可逆，且111CDDC. 证明： (1) 因为DC,可逆，因而11,DC存在，又因为EDCDCDCDC1111，故DC可逆，且111DCDC, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 6 - 类似地，我们可以证明DC可逆，且111CDDC. 2. 设,nnmmnmFDFCFS且DC,可逆，则(1) 分块
25、矩阵ESE与ESE可逆，且,1ESEESEESEESE1; (2) 分块矩阵DSC可逆，并且11111DSDCCDSC. 证明： (1) 因为对nmFQ任意, 我们有EQSEEQEESE成立，特别地，若令SQ，我们可以得到：,1ESEESE同理，我们可得到：ESEESE1. (2) 因为ESCEDSCDC111 , 进而有ESCEDCDSC1111所以1DSC=1111DCESCE1111DSDCC. （五）正交矩阵是可逆的。证明：设 A 是正交矩阵，根据正交矩阵的定义, 可以得到EAAT, 故 A是可逆的。（六）当ji(ji) 时，有0ija, 矩阵)(ijaA称为上三角形矩阵，可逆上三角形
26、矩阵的逆仍是上三角形矩阵。这个结论对下三角形矩阵也是成立的。证明 : 令nnnaaaA111, 设nnnnbbbbB1111是 A的逆，即EBAAB, 比较E 和AB的第一列元素：,0,0,0,111, 11, 11, 122222221211112121111nnnnnnnnnnnnnbababababababababa因为0A，故0,0,02211nnaaa, 因而0211 ,11bbbnn. 同理可以比较其它列，得ji时,0ijb, 所以 B 是上三角形矩阵，故可逆上三角形矩阵的逆仍是上三角形矩阵。同理，结论对下三角形矩阵也是成立的。（七）如果矩阵是奇数阶的，也是反对称的，则它是不可逆的
27、。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 7 - 证明：若对矩阵 A有TAA, 则AAAnTn)1() 1(. 当n为奇数时 ,AA, 所以0A, 故矩阵 A不可逆。（八）线性空间中，一组基到另外一组基的过渡矩阵是可逆的。（九）线性空间中，任意一组基对应的度量矩阵是可逆的。（十）矩阵矩阵可逆的概念1：设数域F上)(A是n阶的矩阵，如果存在数域F上n阶的矩阵)(B, 使得EBA)()(, 则称)(A是可逆的，而称)
28、(B是)(A的逆矩阵，并且矩阵)(A的逆矩阵是唯一的，记为)(1A. n阶的矩阵)(A可逆)(A是一个非零的数。注 1：当)(A可逆时，其逆矩阵)()(1)(*1AAA, 其中)(*A是)(A的伴随矩阵。注 2： 在数字矩阵中,n阶矩阵 A可逆0A（或矩阵 A是满秩的） 。 当n阶的矩阵)(A可逆时，则必有0)(A, 即)(A是满秩的。但是，满秩的矩阵不一定是可逆的，因为满秩的矩阵的行列式可以是不恒为零的多项式，而且只有当它的行列式为非零的常数（即零次多项式）时,)(A才是可逆的。此外求可逆矩阵的逆矩阵的方法和数字矩阵中逆矩阵的求法是一致的。五、矩阵可逆判断的实例例 1判断 n阶方阵10011
29、0111B是否 可逆 。解：记n阶方阵01010P则OPn,12nPPPEB, 由EPEPPPEPEBPEnn)()(12, 根据矩阵可逆的定义，知B是可逆的，且PEB111111. 注：该题运用定义法解答，此题关键在于它的技巧。例 2 判断 n阶方阵xbbbxbbbxB是否 可逆 。解: 经计算可得 ,nnbxbxB)()(21, 显然0B, 故B是可逆的。注：该题运用行列式判别法。显然用定义法判断不太容易，此法比较合适。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共
30、 16 页 - - - - - - - - - - 8 - 例 3 判断向量组TTTT)3,2, 1, 1(,)1 , 1 , 1 , 1(,)9 ,4, 1, 1(,)5 ,3 ,1 , 1(4321是不是线性相关的，并且求出秩。解：令3195214311111111B, 显然4321,分别是矩阵 A 的各列 , 又08B,故B的列秩为 4, 从而各列线性无关, 所以4321,线性无关，且该向量组的秩为4. 注：运用矩阵可逆的秩的判别法解题较为简单。例 4 令mmmmA111111111111, 且,3)(Ar求m的值. 解：因为, 3)(Ar所以0A, 而3) 1)(3(3mmmA或1m.
31、 当1m时，显然有1)(Ar（舍弃） 。当3m时,3111131111311113A143121,rrrrrr3110131011301110，可见,3)(Ar符合题意，所以3m. 例 5 已知方阵dbcaA, 其中0bcad, 那么该矩阵是可逆的还是不可逆的？若可逆，试求它的逆。解：因为0bcadA, 所以矩阵 A可逆，且abcdbcadAAA11*1. 例 6 令5231A,1412B, 满足条件BYABAX, 求YX,. 解: 根据*11AAA, 我们有1235123511AA, 所以，3082141212351BAX，同样地，因为BYA, 故132258123514121BAY. 注：
32、该题运用的是伴随矩阵判别法。当矩阵的阶数较小时，用伴随矩阵判别法解题也是比较简单的。例 7 判断矩阵6121232145314111A是 可逆 的还是不 可逆 的，并求出它的秩。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 9 - 解：我们对A进行初等行变换 ,BA00000100211041116121232145314111, 则A与B等价, 而显然A的秩为3, 且3小于矩阵B的阶数，从而B不可逆，故A不可逆，且3
33、)(Ar. 注：该题是用初等变换判别矩阵可逆的，当矩阵的阶数较大或元素复杂时，不妨使用该方法。例 8 设 A是一个nn矩阵， 且rAr)(, 证明: 存在一个nn的可逆矩阵 P , 使1PAP的后rn行全为零。证明：存在可逆矩阵QP,使OOOEPAQr, 并设DCBGPQ11, 故OOBGOOOEPQOOOEPAPrr111, 其右边的后rn行全都是 0, 从而得证。注：该题为多角矩阵判别可逆的典型应用。例 9 二阶矩阵mm100是不是能够表示成形式为101y与101y的矩阵的乘积？解：可以，令mmA100, 显然0A, 所以可以设21QQAtQ . 对mm100进行第三种初等变换：mm100
34、111110)11()1(1212mmmmmccarr,1101)1(21mrr从而,11011011110011011011mmmmm故.101111011011101101111011011110110011111mmmmmmmm例 10 当nm,满足什么条件时，齐次线性方程组020032321321xnxxxnxxxxmx只有零解？解：根据矩阵可逆的线性方程组判别法，如果方程组只有零解，则必有该方程组的系数矩阵可逆，从而该系数矩阵的行列式0)1(1211111mnnnmD, 所以1m且0n. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
35、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 10 - 例 11 已知齐次线性方程组000323213221xxxxxxxxx，将其系数矩阵记为A, 若存在三阶矩阵OB使得OAB, 则（ ）)(A2且0B;)(B2且0B;)(C1且0B;)(D1且0B. 解：选)(C . 根据题目中,OBOAB, 显然得知方程组OAX是存在非零解的，于是便有0A, 即0)1 (111100101111122, 所以1, 而TAA111111111, 又由OAB知OABTT, 可见方程组OXBT存在零解（TA 存在非零列） , 于
36、是0TBB，故选)(C . 例 12 设1112111000000mbbbBY000000000000121mmbbbb, 其中0ib(mi,3,2, 1), 试求1Y. 解：ObBOYm, 其中121000000mbbbB, 因为111CDCD，所以OBbOYn111, 故1Y0100000001100011nnbbb.例 13 1121111)(22A,判断矩阵是可逆的还是不可逆的。如果可逆，求出它的逆矩阵。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页
37、- - - - - - - - - - 11 - 解：因为1121111)(22A112111111220, 但)(A的二阶子式1211120,所以2)(Ar,从而)(A是不满秩的，故)(A不可逆。3 黄光谷、黄东、李阳等，高等代数辅导与习题解答M ， 华中科技大学出版社，2005.6 ， 163-200页。4 徐仲、张凯院、吕金义等，高等代数考研教案M ，西北工业大学出版社，2006.6 ，347-351页。5 钱吉林，高等数学习题精粹M ，高等教育出版社中央民族大学出版社，2002.10 ，105-175页。6 刘志军，矩阵可逆的几个充分条件J ，北华大学学报，2008，第 7 卷 第 6
38、 期。致谢：本文的完成离不开宋蔷薇老师的细心指导。从论文的选题到资料的搜集直至最后修改的整个过程中，花费了宋老师很多的宝贵时间和精力，衷心地感谢宋老师！她宽厚的待人之道温暖着我、她严谨的治学态度鼓舞并激励着我，也将是我一生的榜样和追求！在此过程中，师长、同学、舍友们帮助了我很多，真挚的感谢你们！四年大学生活即将结束，这几年里，老师们给了我很多关心和帮助，在老师尽心授课下，我满载了扎实的专业知识，即将顺利地完成学业。我始终怀着一颗感恩的心：感谢我的辅导员孙树林老师，感谢我的母校山西师范大学，祝愿我们数计学院的所有老师，身体健康，工作顺利！父母是注：对于可逆的矩阵，如同数字矩阵一样， 也可以采用公
39、式法 （即伴随矩阵法）、初等变换法和分块矩阵的有关结果来求逆矩阵。六、小结判断矩阵可逆不只上述的十一种方法，根据这些判别方法，我们可以快速有效地解决许多有关矩阵逆矩阵的问题，它对学习矩阵和矩阵应用有着不可或缺、非常重要的作用。此外，研究构成元素本身的性质是研究矩阵性质的一个重要途径，矩阵的很多方面仍需要我们继续研究、探讨，进而使之更加完善。参考文献：1 北京大学数学系几何与代数研究教研室前代数小组，高等代数-3 版M ，高等教育出版社，2003.9 ，185-204 页， 329-354 页。2 李尚志，线性代数M ，高等教育出版社，2006.5 ， 1-230 页， 493-501 页。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 12 - 每个孩子的守望天使，所以我还要感谢辛辛苦苦养育我成人的父母，感谢二老! 最后，我要感谢各位评审老师！辛苦了! 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -