《2022年求逆矩阵的一些方法 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年求逆矩阵的一些方法 .pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 求逆矩阵的一些方法梁* 摘要：矩阵是线性代数以及高等代数的核心内容，占有着重要的地位, 为了更快更好地解决求逆矩阵的问题, 本文介绍了利用伴随矩阵、 初等变换、分块矩阵、特征多项式、递推法求逆的数十种方法 , 并对各种方法进行了简要论证, 分析了各方法的优势和劣势 , 供大家参考。关 键 词： 逆矩阵 伴随矩阵 初等变换分块矩阵特征多项式递推法Some Methods to Solve Inverting Matrix of Nonsingular Matrix Liang yanan Abstract: Key words: inverse matrix, adjoint matrix，
2、elementary transformation，partitioned matrix，characteristic polynomial，recursion method 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2 1引言矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型， 还是线性变换以及欧几里得空间等， 都可以借助于矩阵简便地解决相关问题。可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数及高等代数必不可少的条件。而求逆矩
3、阵在矩阵理论中占有重要地位。不同矩阵的逆矩阵可用不同的方法来求, 从而达到简便、易求的目的。本文在有关矩阵知识的基础上, 探讨逆矩阵的若干求法。2预备知识21 n 阶方阵 A的逆通常采用以下定义: 定义 2.1.1 设A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得IBAAB，其中 I 是n阶单位方阵，则A称为可逆矩阵，而B称为A的逆，记作1A。定义 2.1.2 没A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶矩阵B，使得IAB，其中I是n阶单位方阵，则A称为可逆矩阵，而B称为A的逆。2.2 长方阵定义 2.2.1 设A为mn矩阵，X为mn未知矩阵，I为n阶单位方阵，矩阵方程IAX有解的充要条件是nAr，这
4、里Ar表示矩阵A的秩。2.3 引理引理 2.3.1 n阶矩阵A可逆, 当且仅当它的行列式0A。定义 1 多项式mmmaaaf110称为n阶矩阵A的一个零化多项式0110nmmmIaAaAaAf, 如果。此时称A为f的一个矩阵零点。引理 2.3.2 (Caylay-Hamilton定理) 矩阵A是其特征多项式Af的矩阵零点。记n阶矩阵ijaA的特征多项式nnnnnnAaaaaaaaaaAI212222111211名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 -
5、- - - - - - - - 3 011122111kkAaaannnnnnnn引理 2.3.3 任何一个1m阶可逆方阵都可以只通过行列互换初等变换化为左上角为m阶可逆块的分块方阵形式 , 即对任意1m阶可逆方阵1mA, 存在互换初等矩阵niPPPiii,2,11使得mmmmnjmjbBPPAPPP1121，其中, mB为m阶可逆方阵 , m为1m矩阵, 为m1矩阵, 1,1 mmmbb, 于是111211jnmmmmjmPPbBPPPA。引理 2.3.4 设1m阶可逆方阵mmmmijmaAaA1，其中mA为m阶可逆方阵，m为1m矩阵，m为m1矩阵，1,1 mmmaa，则01mmmmAa。3
6、. 主要内容3.1 利用矩阵可逆的定义求逆矩阵设F是一数域，对于nnFA， 如果存在nnFB， 使得EBAAB，则A可逆，且BA1。例 1.1 已知nnFA， 设062EAA， 求EA3的逆矩阵。解 因为062EAA，所以EEAA6122， 且EEAEA634，故 而EA3可 逆，且EAEAEA326146131。3.2 利用伴随矩阵求逆矩阵定理：n阶矩阵A可逆0det A且在A可逆时AAAdet11， 其中*A是A的伴随矩阵。若0detA， 那么*11AAA， 这种方法比较适用于阶数较低且伴随矩名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
7、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 4 阵容易求出的情形。例 2.1 设cossinsincos1*1AAAA， 求A的逆矩阵。解cossinsincosA01，且cossinsincos*A，故*11AAAcossinsincos。例 2.2 已知dcbaA，1bcad，求1A。解01bcaddcbaAA可逆，且acbdAAA11（注：此种方法适合于二、三阶方阵）3.3 利用初等变换求逆矩阵如果A可逆，则A可通过初等变换化为单位矩阵E，即存在相应的初等矩阵1E、2EsE使sE2E1EA=E(1) 用1A右乘上
8、式两端，得sE2E1EE=1A(2) 。比较（ 1） 、 （2）两式，可知当A通过行初等变换化为E的同时，对单位矩阵E做同样的行初等变换，就化为A的逆矩阵1A。同样，只用列的初等变换也可以求逆矩阵。例 3.1 设012411210A，求1A。解120001010|012411210100001010|012210411100010001|012411210,0124112101IAAA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - -
9、 - 5 21132124112|200010001123124010|200010411此题利用行初等变换来求逆矩阵, 同样也可用列初等变换IA来求逆矩阵。例 3.2 设3232312132322121A，求1A。解法 1 用广义初等变换求1A令3221B，3221C，利用伴随矩阵求逆矩阵，得12231B，1223711C，IIOICOCBIOOICBCBIA|2|,111121212121|0021212121|002121|CCBBIIIIIICBIIOICOCB3.4 利用方程组法求逆矩阵例 4 设3232312132322121A，求1A。解法 2 用解方程组法令3221B，3221
10、C，则CBCBA。再令4321121ZZZZA，由EAA1，可得ECZBZCZBZCZBZECZBZ4331413100名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 6 解得1121BZ，1221BZ，1321CZ，1421CZ。143711417171143711432112111231232111111CCBBA3.5 利用分块矩阵求逆矩阵设1A，2A，3A，mA，都是可逆矩阵，求形如210ABA210ABAmAA001
11、001AAm的逆矩阵，用分块矩阵的求法去求，其方法是根据矩阵相等的定义，解矩阵方程组。这种方法主要是处理级数较高的矩阵。若DCAT0，其中A，D可逆，则11111DCADOAT。例 5.1 设下列各方阵的逆矩阵都存在，证明：1111111111111)()()()(BCADCABCADBCADBABCADBAADCBA证 设A、D分别是阶，S阶的方阵，则：11111111111111BCADCABCADBCADBACABCADBAADCBA例 5.2 设1A，2A都是可逆矩阵，求形如210ABA的逆矩阵。解 设所求逆矩阵4321ZZZZZ，所以210ABA4321ZZZZ2100EE，1E，2
12、E都是单位矩阵。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 7 解矩阵方程组24223212111100EZABZZABZZAEZA，故1241112321110AZBAAZZAZ所求逆矩阵121112110ABAAAZ。例 5.3 设3111522100110012T，求1T。解 设2111A，0000B，1121C，3152D117301921111121115311CAD，又211175330190021001101
13、1111DCADAT。3.6 通过化上（下）三角分块矩阵求矩阵的逆通过利用分块矩阵求逆的方法可以知道DBC0（上三角分块矩阵），DBC0（下三角分块矩阵），当D可逆时，1111100DBDCCDBC，1111100DBCDCDBC若将一可逆矩阵A经过行（列）初等变换化为分块后形如DBC0的矩阵后再求逆则方便许多，即：DCBQAQEEEts0112（1）将（1）式左右两边求逆，得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 8
14、 1111111111111200DCABBEEAQQtDCBQAQEEESts121111110EEEDCABBQQAst例 6.1 已知2010135123010142A，求1A。解210035002031041220101351230104122010135123010142A令3112B，2004C，2125DDCBAEE03,23,12（1）将（1）式两边求逆得3,1203,211EDCBEA由7571007372003532351252513546252651530011111DCDBBDCB7571710353235125251737200354635263533533,1275
15、71003532351252517372003546252651531EA3.7 利用特征多项式求逆矩阵名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 9 设A是可逆矩阵且A的特征多项式是iNiiaAIf0，则IaAaaAnn11011。例 7 求12010012211bbbbA的逆矩阵。解1331233fIAAA3321101001300030003330033003120120012211211211bbbbbbbbbb3
16、.8 通过分解矩阵求矩阵的逆分解矩阵求逆法，即将已知的矩阵分解成两个矩阵之和，然后再求其逆。定理：设A为n阶可逆矩阵，且XCYBA，其中1B已知，C是rr可逆阵，nr，又设XYBC11，则111111YBXYBCXBA（1）例 8.1 已知5543264432653326542255421A，求1A。5432111111111111111111111654326543265432654326543211111AYXEB2由公式得，135432614432651532654162654371911A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
17、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 10 特别的，当X是ln，Y是l1，且1C时，公式（ 1）时就变成了1111111XYBBXYBBA，此公式为 Sherman-Morrvson 公式。例 8.2 已知512010211A，求1A。解 设300010001B，101X，212Y，于是由 Sherman-Morrvson定理可求得A的逆为：eanbaEabA11， 其中，111111111e。由该例题若求形如矩阵A的逆，只要将a、b的值代入上述公式， 即可求得。3.9 利用 Hamilton-Caylay定理求
18、逆矩阵Hamilton-Caylay定理设ijaA是数域F上一个n阶矩阵 , A的特征多项式为Af0111kkknnn, 若A可逆, 则A的逆矩阵012111kIkAkAAnnnn。在 Hamilton-Caylay定理的基础上 , 利用矩阵的特征多项式求矩阵的可逆矩阵，即首先求出一个可逆矩阵的特征多项式, 然后根据 Caylay-Hamilton定理可得到一个可逆矩阵的逆矩阵。推论 9.1 设1,2,1,0),(1211miaaaadiagAimm，则),(11121111mmaaadiagA。推论 9.2 设0bcaddcbaA，则acbdbcadA11。例 9 求矩阵201013121A
19、的逆矩阵。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 11 解A的特征多项式9103Af。由9A及引理 1 可知A可逆。据定理 1，A的逆矩阵10001000110201013121201013121911A95929131313291949210000100001052137614891据推论 9.1 ，A的伴随矩阵52133614210)1(213*IAA。3.10 用递推法求矩阵的逆高等代数中求逆矩阵的两种基本方法
20、行列式法和初等变换法。行列式法以公式AAadjA1 (Aadj表示A的伴随矩阵 ) 求逆；初等变换法通过 (A,I行初等变换1,AIIA行初等变换计算逆，其中I为与A同阶的单位矩阵。张贤科1 阐述了 Moore-Penrose 逆以及 Hamilton-Caylay矩阵逆的递推计算法，徐仲等2 给出了加边矩阵逆矩阵的计算定理。在他们的基础上考虑一般可逆方阵的逆矩阵递推求法，给出了逆矩阵的递推计算公式。定理 10.1 1mA，mA，m，m，ma，mc如引理及推论所述，又令mmmA1，1mmmA，则11000111mmmmmmmcAA1110001mmmmcA，其中，11111aA。推论 10.1
21、 设1,2,1,0,1211miaaaadiagAimm，则11121111,mmaaadiagA。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 12 推论 10.2 设dcbaA0bcad，则acbdbcadA11。例 10 求矩阵A的逆矩阵，其中165283141A。解111A，且0483412A，于是，31，41，41c，所以，1348411341241000112A，又26,58412，10412，212c，所以，
22、213292132130121213229418138290002000041430121A。最后，最后我们得出右下角为1m阶可逆矩阵的1mA逆矩阵的递推公式。定理 10.2 设1m阶方阵mmmmijmAaaA1，其中mA为m阶方阵，m为m1矩阵，m为1m矩阵，11aam，则当mA，1mA皆可逆时，有1111111111000mmmmmmmmmmmmmmAAAAAaAA，其中，1, 1111mmaA。3.11 待定系数法求矩阵的逆例 11 求可逆矩阵201013121A的逆矩阵。解 设A的逆为3332312322211312111xxxxxxxxxA，由IAAAA11，名师资料总结 - - -
23、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 13 得10001000121013121333231232221131211xxxxxxxxx即120202030313020212331332123111231322122111332313322212312111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解得：9211x，9412x，9113x，3221x，3122x，3123x，9131x，9232x，9533x，959291313132919
24、4921A4. 总结通过以上方法的总结， 当我们遇到实际矩阵求逆问题的时候，就可以在最短的时间内对不同矩阵用不同的方法来求, 从而达到简便、易求的目的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 14 参考文献1. 张玉莲 , 董李娜 . 求逆矩阵的一些方法 J 。平顶山学院学报 , 2007,22(2): 71-73 2. 高尔雄，高坤敏，吴景艰 . 线性代数。北京: 人民教育出版社， 1978.8，P463-479
25、3. 黑志坚 . 一种矩阵求逆方法 J 。哈尔滨工业大学学报， 2004, 36(10): 1351-1353 4. 钱吉林高等代数题解精粹 M 。北京：中央人民大学出版社，2002 5. 薜有才线性代数研究高等代数研讨 M 。北京：知识出版社， 1996 6. 张禾瑞 , 郝炳新 . 高等代数 M 。北京 : 高等教育出版社 ,1983. 7.1 张贤科 . 矩阵分析及应用 M 。北京 : 清华大学出版社 , 2004. 8.2 徐仲, 张凯院 , 陆全.Toplitz矩阵类的快速算法 M. 西安: 西北工业大学出版社,2001. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -