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1、1 求函数极值的若干方法摘要函数的极值是函数的很重要性质之一，在我们的日常生活中也有着非常广泛的应用. 很多的实际问题最终都可以归结为求函数极值的问题. 本文主要总结了一元函数和二元函数极值的判断方法和求法，从而使计算简洁，并给出了相关的一些例子. 关键词： 函数极值充分条件乘数法1 一元函数极值问题1.1 一元函数极值的定义设函数 g x 在0 x 的一个邻域内有定义 , 如果对于这个邻域内的不同于0 x 的所有的x都有以下不等式成立，即0g xg x ，那么我们就把0g x称为函数 g x 的极小值, 0 x 就是 g x 的极小值点 ; 反过来，如果0g xg x ，那么我们就把0g x
2、称为 g x 的极大值，0 x 就是 g x 的极大值点 . 无论是函数的极小值还是极大值，我们都把它们叫做函数的极值 . 极值点有两类，分别为极小值点和极大值点. 1.2 对于不同类型的一元函数极值的求解方法1.2.1 二次函数：在中学数学中我们曾讲了二次函数2fxaxbxc 的图象是一条抛物线 , 从所学的图象中可以很清楚地分析出：当0a时，函数的图象抛物线开口向上, 它的纵坐标由递减变为递增，从而这个顶点的纵坐标就相当于极小值. 当0a时, 函数的图象抛物线开口向下, 它的纵坐标由递增变为递减，从而这个顶点的纵坐标就相当于极大值. 因此, 想要求得二次函数2fxaxbxc的极大值或者极小
3、值只需要求得这个该函数的顶点坐标,x y 即可 ，于是用配方法将2fxaxbxc写成如下形式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 22424bacbfxa xaa，则该二次函数的顶点坐标是24,24bacbaa. 当0a时, 该坐标值244acbfxa就是极小值 . 当0a时，该坐标值244acbfxa即为极大值 . 例1 某玩具厂生产某种儿童玩具， 年产量为 x百件，总成本是13fxx( 万元) ，其总收入为2
4、250.5fxxx ，试求总利润为最大时最佳产量. 解设 F x 为总利润，则222150.530.543F xfxfxxxxxx为一元二次函数的形式，则由上可知44220.5bxa，2454acbya，即当产量为 4百件时，利润取得极大值 5万元，此时极大值就是最大值. 1.2.2 一般函数定理1：设函数 g x 在点0 x 处是连续的，在0 x 的某个邻域内是可求导的 . (1) 当0;xUx时，所有的 x都满足0 xg；当0;xUx时，所有的 x 都满足0gx，如果上述两个条件都成立时，那么我们得出g x 在0 x 处可以取到极小值. (2)当0;xUx时，所有的 x都满足0gx，而当0
5、;xUx时，所有的 x都满足0gx，如果上述两个条件也都成立时，那么我们就可以得出g x 在0 x 处可以取到极大值 . (3)当0;xUx时， gx 的符号一直不会改变，即所有的0;xU x都满足0gx或所有的0;xUx都满足0gx，那么在这种情况下，我们可以得出g x 在点0 x 不能取到极值 . 定理2：设函数 g x 在点0 x 处存在二阶的导数，如果g x 满足 gx =0且0gx，那么 g x 可以取到极值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共
6、10 页 - - - - - - - - - 3 (1)当00gx时，则我们可以在点0 x 取到极小值，0 x 就叫做 g x 的极小值点 . (2)当00gx时，0 x 就叫做 g x 的极大值点， g x 在点0 x 可以取到极大值 . 应该值得注意的是：如果出现gx =0且0gx的情形，那么这个时候如果我们还想着用上述定理 2的方法去寻找极值就不满足了， 以下的定理可以帮助我们解决. 定理3：设函数 g x 在0 x 的某个邻域0;xUx内存在着直到1n阶的导函数，在点0 x 处 n阶是可以求导的，并且成立00kgx（1，2，1n） ，00ngx，那么, (1) 当 n为偶数的时候， g
7、 x 在点0 x 处可以取到极值，并且如果00ngx我们可以在点0 x 处取到极小值，如果00ngx时，极大值在点0 x 取到. (2) 当 n为奇数的时侯，在这种情况下g x 在点0 x 处的极值我们是取不到的 . 例2：对于上述事例 1，也可用微分法求得极值. 解4Fxx，令0Fx，那么4x, 当4x时，0Fx, 当4x时，0Fx, 根据定理 1，我们得出 , F x 在4x的时候可以取到极大值 , 这个时候的极大值其实也就是我们所要求得的最大值. 例3：求函数2cosxxh xeex 的极值 . 解对原函数求一阶导得，2sinxxhxeex，令0h x，得到驻点，0 x，如果用定理 1，
8、我们无法判别，继续求导, 有2cosxxhxeex，0hx, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4 这时发现定理 2条件也不满足，再进行求导, 有2sinxxhxeex，0hx，继续求导，得，42cosxxhxeex ,4040h. 由定理 3，知：4040h，导数第一个不是零的阶数4n，它是偶数的，因此这个函数我们是可以取到极值的，而且可以进一步断定是极小值. 例4：设0 xgy是方程240yyy的一个解而且0
9、0g x，00gx，那么这个函数在点0 x 点处（）. A 可以取到极大值 B 某邻域0;xUx内是呈现单调递减的C. 可以取到极小值 D 某邻域0;xUx内是呈现单调递增的分析这是一道考研题目， 乍一看是关于微分方程方面的问题，假如从微分方程方面着手，那么就会容易走入误区， 我们观察一下四个选项可以知道是关于极值问题的. 由于240yyy，所以000240gxgxg x，又00g x，00gx，所以00002440gxgxg xg x. 根据定理 2我们就可以得出yg x 在点0 x 处取到了极大值。这个题目巧妙地根据已知信息变形，然后运用了定理2，从而得到答案，故选 (A). 总结：求一元
10、函数（一般）的步骤： a 首先我们把所要讨论的函数的定义域给求出来 b 求出导数0gx（当使用极值第一充分条件即定理1进行判断） 和0gx（当使用极值第一充分条件即定理2进行判断） . c 我们令0 xg，0 xg， 求出函数xg和xg的所有的稳定点，还有 g x的所有不可导点，因为此处是有可能成为极值点的. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5 d 当我们采用定理 1的方法判定时， 要判断出xg所有的稳定点左右
11、邻域0gx的符号；当我们采用定理 2判定时，则要确定出0gx在其稳定点两边的符号，然后再对照定理 1或者2来判别出该点是不是极值点. e 对于定理 1和定理 2的条件都不满足的情形，我们要运用定理3，继续求导，直到求导不为零为止，查看 n的奇偶性，再做出进一步的判断，看看是取到极大值还是极小值 . f 将各个点带入原函数，就可以得到我们判定的每个极值点的函数值. 2 二元函数极值问题2.1 二元函数极值的定义设函数,g x y 在点000,Pxy的某个邻域0U P内有定义，如果对于任何的点0,P x yU P，都有不等式0g Pg P （或者0g Pg P）成立，那么就称函数,g x y 在0
12、P 点取得极小值（或极大值） ，点0P 叫作,g x y 的极小（或极大）值点 .我们把极小值和极大值都叫做极值. 备注：在这里讨论的函数极值都只是限定于定义域里的内点. 2.2 关于求二元函数极值的方法2.2.1 定理 7：如果函数,g x y 在000,Pxy处存在偏导数， 而且函数,g x y 在000,Pxy处取得极值，那么有00,0 xPxy，00,0yPxy. 我们就把000,Pxy叫做是,g x y 的稳定点 . 2.2.2 定理 8：如果二元函数,g x y 满足在000,Pxy点处的某邻域0U P 内具有二阶的偏导数且是连续的， 而且000,Pxy是,g x y 的稳定点，那
13、么当0gHP是正定的矩阵的时候，可以判定,g x y 在000,Pxy处取到极小值；当0gHP判定是负定的矩阵的时候，,g x y 在000,Pxy处可取到极大值；当0gHP是不定矩阵，,g x y 在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6 000,Pxy处不取得极值，其中00000 xxxygxyyygPgPHPgPgP. 定理8：如果二元函数,g x y 满足以上定理 8的条件，令0 xxAgP，0 xyBgP
14、 ，0yyCgP . (1)若20ACB，0A， 则,gxy在000,Pxy处可取到极小值，若20ACB，0A，则,g x y 在000,Pxy处可取到极大值 . (2)若20ACB，则,g x y 在000,Pxy处极值不能取到 . (3)若20ACB，则,g x y 在000,Pxy处能不能取到极值我们不能判断出来. 例5：讨论函数22,56106g x yxyxy是否存在极值 . 解因为260 xgx，10100ygy, 所以求得稳定点，000,3, 1Pxy，又因为02xxgP，010yygP，00 xygP，则2A，0B，10C，2200ACB，0A. 根据定理8得出,g x y 在
15、000,Pxy处极小值可以取到，并且3, 18g, 又因为,g x y 处处存在偏导数，所以000,3, 1Pxy为,g x y 的唯一极值点 . 总结：求二元函数极值的步骤a 首先求出偏导数,0 xgx y，,0ygx y，,xxgx y ，,xygx y ，,yygx y . b 然后解出所联立的方程组,0,0 xygx ygx y，求解出驻点000,Pxy.c 求出这个二元函数在所求点处00,xxAgxy，00,xyBgxy，00,yyCgxy的值及2BAC的符号，根据定理8来进一步分析出函数是不是有极值点. d把得到的点代人原函数即可得到我们所要的结果. 2. 2.3 拉格朗日乘数法名
16、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7 此种方法主要针对求条件极值的问题，即在条件组k（1x ，2x ，nx ）=0，k=1，2， m （ mn ）的限制下，求目标函数 y=g（1x ，2x ，nx ）的极值，在此我们只讨论2n的情形，也就是我们所熟悉的二元函数条件极值的问题. 方法：设目标函数为,g x y ， 约束条件为,0,0 x yx y， 若,g xy与,0 x y、,0 x y在区域内有连续的一阶导函数，
17、而且雅克比矩阵, x y的秩为 2，那么可以用拉格朗日乘数法求得极值. a. 构造出拉格朗日函数 , 1212, ,L x yg x yx yx y . b. 求解方程组120000LxLyLL，得出驻点即可，然后按照实际情形加以判断. 例6：已知一个椭圆方程2244xy和一条直线2490 xy，求出在这个椭圆上到这条直线的最近距离与最远的距离的点. 解把这个椭圆上所求得的点设为000,Pxy，则这个点000,Pxy到直线2490 xy的距离记做00124920dxy，那么所求的问题就转化成函数22200124920dxy在条件220044xy下最值的问题 , 令22220000001,249
18、4420G xyxyxy, 解方程组 , 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 8 00000000220012492051249805440 xyGxyxGxyyGxy，解得, 0112,2P，0212,2P，代人距离公式得 , 194 220d，294 220d, 因此, 0112,2P是所求得的最近距离的点，0212,2P是所求得的最远距离的点. 2.2.4 其它方法首先，把条件极值化为无条件极值，然后，再依据
19、一元函数求出极值的方法加以分析判定 .例7：求函数, ,g x y zxyz在1xy与21xyz下的极值 . 解由已知的两个条件可得222zx，22zy，把其代人目标函数, ,g x y zxyz中可以消去 x和y，可得5342zzg z，两边同时求导有，42456gzzz ，从而得到稳定点 , 10z，265z，365z，由于00g，而0120g，即3n为奇数，因此根据定理3可以得出，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - -
20、- - 9 , ,g x y zxyz在10z处不能取到极值 . 因为66412055g，所以， g z 在265z处取得极大值，从而有 , 6665255g. 又因为66412055g, 所以， g z 在365z处取得极小值，从而有 , 6665255g. 总结：由例 10可知，在一些题目中 , 如果可以把求多元函数极值的问题通过分析综合转化为我们比较熟悉的一元函数的问题，就可能会使我们所要求的问题变得简单容易很多，但在实际中 , 有些条件极值是不易转化成没有条件的极值来解决的，这时我们可以使用拉格朗日乘数法这个通用的办法. 3. 结束语在我们的生活中处处可遇到求极值的例子，但是关于求函数
21、极值的问题我们并没有什么套用的模式或者不变的方法，因此，我们要解决处理这一类问题， 就要学会分析综合，归纳总结，结合题目特点，灵活运用所学知识，牢记公式、定理以及一些重要结论，融会贯通，只有这样我们才能达到学习的效果. 参考文献：1 华东师范大学数学系. 数学分析 （上） （第三版） M. 北京：高等教育出版社,2001 年.142-144. 2 陈慧珍 . 关于一元函数的极值问题J.武汉交通管理干部学院学报，1994年， 4（3):65-69. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
22、- - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 10 3 宋团强 . 利用多种方法求极值J.河南教育学院学报,2002 年12月 ,ll（ 4）:38-42. 4 梁存利 . 高等数学考研中有关函数极值和最值问题的求解方法J.考试周刊 , 2009 年2(48):5-15. 5 冯长亮 . 判断一元函数极值点的一个定理J.菏泽师专学报，1991年， 3（11） :12-16. 6 万淑香 . 关于一元函数极值问题的研究J.邢台学院学报，2006年12月， 21（4）:8-10. 7 马小霞 , 沈高峰 . 分段函数极值定理的改进J.新乡学院学报 ,2010 年8月， 27
23、（ 4）:120-136. 8 华东师范大学数学系. 数学分析 （下） （第三版） M. 北京： 高等教育出版社,2001 年 .136-140. 9 齐新社，包敬民，杨东升. 多元函数条件极值的几种求解方法J.高等数学研究，2009年3月，12（2） ：79-86. 10 吉艳霞 . 求函数极值问题的方法探讨J.运城学院学报，2006年 10月， 5（24）:168-172. Several methods for the extreme of the function Name: Leng Nana Student Number : 200740510612 Advisor: Jing K
24、e Abstract: the extreme of the function is one of the very important properties of the function. In our daily life may also have wide applications. A lot of practical problems eventually all can be down to the problems of the extreme of the function.This paper mainly summarizes some judgmental and s
25、olving methods of the extreme of the unary function and binary function , which making the process of the calculation concise, and presents some related examples.Keywords: the extreme of the function sufficient conditions method of multiplier 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -