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1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学 ( 理科) 一、 选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知02a，复数z的实部为a，虚部为 1，则z的取值范围是（C ）A(15)，B(13)，C(15)，D(13)，【解析】12az，而20a，即5112a，51z2记等差数列na的前n项和为nS，若112a，420S，则6S（D ）A16 B24 C36 D48 【解析】20624dS，3d，故481536dS3某校共有学生2000 名，各年级男、女生人数如表1已知在全校学生中随机抽取1 名，抽到二年级女生的概率是0
2、.19现用分层抽样的方法在全校抽取64 名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C ）A24 B18 C16 D12 表 1 【解析】 依题意我们知道二年级的女生有380 人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为1682644若变量xy，满足24025000 xyxyxy，则32zxy的最大值是（C ）A90 B80 C70 D40 【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C. 5将正三棱柱截去三个角（如图1 所示ABC， ，分别是GHI三边的中点）得到几何体如图 2，则该几何体按图2 所示方向的侧视图（或称左视图）为
3、（A ）一年级二年级三年级女生373 xy男生377 370 zE F D I A H G B C E F D A B C 侧视图 1 图 2 B E AB E BB E CB E D名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 开始1in 整除 a? 是输入mn，结束am i输出ai，1ii图 3 否【解析】解题时在图2 的右边放扇墙 (心中有墙 ),可得答案A. 6已知命题:p所有有理数都是实数，命题:q正数的对数都是负数
4、，则下列命题中为真命题的是（D ）A()pqBpqC()()pqD()()pq【解析】不难判断命题p为真命题， 命题q为假命题， 从而上述叙述中只有()()pq为真命题7设aR，若函数3axyex，xR有大于零的极值点，则（B ）A3aB3aC13aD13a【解析】( )3axfxae，若函数在xR上有大于零的极值点，即( )30axfxae有正根。当有( )30axfxae成立时 ,显然有0a,此时13ln()xaa，由0 x我们马上就能得到参数a的范围为3a. 8在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F若ACu uu ra，BDuu u r
5、b，则AFu uu r（B ）A1142abB2133abC1124abD1233ab【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出:1: 2DF FC,然后利用向量的加减法则易得答案B. 二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分（一）必做题（912 题）9阅读图3 的程序框图，若输入4m，6n，则输出a，i（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“:” ）【解析】要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍数 12，即此时有3i。10已知26(1)kx（k是正整数）的展开式中，8x的系数小于1
6、20，则k【解析】26(1)kx按二项式定理展开的通项为22166()rrrrrrTCkxC k x，我们知道8x的系数为444615C kk，即415120k，也即48k，而k是正整数，故k只能取 1。11经过圆2220 xxy的圆心C，且与直线0 xy垂直的直线方程是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 【解析】易知点C 为( 1,0)，而直线与0 xy垂直，我们设待求的直线的方程为yxb，将点 C的坐标代入马上就
7、能求出参数b的值为1b，故待求的直线的方程为10 xy。12已知函数( )(sincos )sinf xxxx，xR，则( )fx的最小正周期是【解析】21 cos21( )sinsincossin222xf xxxxx,此时可得函数的最小正周期22T。二、选做题（1315 题，考生只能从中选做两题）13 （坐标系与参数方程选做题）已知曲线12CC，的极坐标方程分别为cos3，4cos0 02，则曲线1C与2C交点的极坐标为【解析】我们通过联立解方程组cos3(0,0)4cos2解得2 36,即两曲线的交点为(2 3,)6。14 （不等式选讲选做题）已知aR，若关于x的方程2104xxaa有实
8、根，则a的取值范围是【解析】方程即2110,44aaxx,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数a的取值范围为10,415 （几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，2PAAC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，1PB，则圆O的半径R【解析】依题意，我们知道PBAPAC:, 由相似三角形的性质我们有2PAPBRAB, 即22221322 1PA ABRPB?。三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤16 （本小题满分13 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
9、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 已知函数( )sin()(0 0 )f xAxA，xR的最大值是1，其图像经过点 13 2M，（ 1） 求( )fx的解析式； （2） 已知02， 且3( )5f，12()13f， 求()f的值【解析】（1）依题意有1A，则( )sin()f xx，将点1(, )3 2M代入得1sin()32，而0，536，2，故( )sin()cos2f xxx；（2）依题意有312cos,cos513，而,(0,)2，2234125sin1 ( ),sin1 ()551313，3124556()c
10、os()coscossinsin51351365f。17 （本小题满分13 分）随机抽取某厂的某种产品200 件，经质检，其中有一等品126 件、二等品50 件、三等品 20 件、次品4 件已知生产1 件一、二、三等品获得的利润分别为6 万元、 2 万元、 1万元，而1 件次品亏损2 万元设 1 件产品的利润（单位：万元）为（ 1）求的分布列；（2）求 1 件产品的平均利润（即的数学期望） ；（3）经技术革新后， 仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%如果此时要求1 件产品的平均利润不小于4.73 万元，则三等品率最多是多少？【解析】的所有可能取值有6， 2， 1，-2；1
11、26(6)0.63200P，50(2)0.25200P20(1)0.1200P，4(2)0.02200P故的分布列为：6 2 1 -2 P0.63 0.25 0.1 0.02 （ 2）60.632 0.251 0.1( 2)0.024.34E名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - A y x O B G F F1图 4 （ 3）设技术革新后的三等品率为x，则此时 1 件产品的平均利润为( )60.72(10.70.01)
12、( 2)0.014.76(00.29)E xxxx依题意，( )4.73E x，即4.764.73x，解得0.03x所以三等品率最多为3%18 （本小题满分14 分）设0b，椭圆方程为222212xybb，抛物线方程为28()xyb如图 4 所示，过点(02)Fb，作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设AB，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）【解析】（1）由28()xyb得218y
13、xb，当2yb得4x，G 点的坐标为(4,2)b，14yx，4|1xy，过点 G 的切线方程为(2)4ybx即2yxb，令0y得2xb，1F点的坐标为(2,0)b，由椭圆方程得1F点的坐标为( ,0)b，2bb即1b，即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy和28(1)xy；（ 2）Q过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P, 以PAB为直角的Rt ABP只有一个，同理以PBA为直角的Rt ABP只有一个。若以APB为直角，设P点坐标为21( ,1)8xx，A、B两点的坐标分别为(2,0)和(2,0)，222421152(1)108644PA PBxxxxuu u r uu u rg。关于2x的二
14、次方程有一大于零的解，x有两解，即以APB为直角的Rt ABP有两个，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。19 （本小题满分14 分）设kR， 函数111( )11xxf xxx， ，( )( )F xfxkx，xR， 试讨论函数( )F x的单调性【解析】1,1,1( )( )1,1,kxxxF xf xkxxkxx21,1,(1)( )1,1,21kxxFxkxx对于
15、1( )(1)1F xkx xx，当0k时，函数( )F x在(,1)上是增函数；当0k时，函数( )F x在1(,1)k上是减函数，在1(1,1)k上是增函数；对于1( )(1)21F xk xx，当0k时，函数( )F x在1,上是减函数；当0k时，函数( )F x在211,14k上是减函数，在211,4k上是增函数。20 （本小题满分14 分）如图 5 所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形， 其中BD是圆的直径，60ABDo，45BDCo，PD垂直底面ABCD，2 2PDR，EF，分别是PBCD，上的点，且PEDFEBFC，过点E作BC的平行线交PC于G（1）求
16、BD与平面ABP所成角的正弦值；（2）证明：EFG是直角三角形；（3）当12PEEB时，求EFG的面积【解析】（1）在Rt BAD中，60ABDoQ，,3ABR ADR而 PD 垂直底面ABCD ，2222(2 2 )( 3 )11PAPDADRRR2222(2 2 )(2 )2 3PBPDBDRRR, F C P G E A B 图 5 D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 在PAB中，222PAABPB, 即P
17、AB为以PAB为直角的直角三角形。设点D到面PAB的距离为H, 由PABDDPABVV有PA AB HAB AD PDgggg, 即32 22 661111AD PDRRHRPARgg66sin11HBD; (2)/ /,PEPGEGBCEBGC, 而PEDFEBFC, 即,/ /PGDFGFPDGCDC, GFBC，GFEG,EFG是直角三角形；（ 3）12PEEB时13EGPEBCPB,23GFCFPDCD, 即11222422cos45,2 2333333EGBCRR GFPDRR, EFG的面积211242422339EFGSEG GFRRRg21 （本小题满分12 分）设pq，为实数
18、，是方程20 xpxq的两个实根，数列nx满足1xp，22xpq，12nnnxpxqx（3 4n，） （1）证明：p，q；（2）求数列nx的通项公式；（3）若1p，14q，求nx的前n项和nS【解析】（1）由求根公式，不妨设，得2244,22ppqppq224422ppqppqp，224422ppqppqq名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - （ 2）设112()nnnnxsxt xsx，则12()nnnxst xst
19、x，由12nnnxpxqx得stpstq，消去t，得20spsq，s是方程20 xpxq的根，由题意可知，12,ss当时，此时方程组stpstq的解记为1212sstt或112(),nnnnxxxx112(),nnnnxxxx即11nnxt x、21nnxt x分别是公比为1s、2s的等比数列，由等比数列性质可得2121()nnnxxxx,2121()nnnxxxx, 两式相减，得2212121()()()nnnxxxxx221,Q xpq xp，222x，1x22221()gnnnxx，22221()gnnnxx1()nnnx，即1nnnx，11nnnx当时，即方程20 xpxq有重根，24
20、0pq，即2()40stst，得2()0,stst，不妨设st，由可知2121()nnnxxxx，Q，2121()nnnnxxxx即1nnnxx，等式两边同时除以n，得111nnnnxx，即111nnnnxx数列nnx是以 1 为公差的等差数列，12(1) 111nnxxnnn,nnnxn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 综上所述，11,(),()nnnnnxn（ 3）把1p，14q代入20 xpxq，得2104xx，解得1211( )( )22gnnnxn232311111111()()( ).()( )2 ( )3 ( ).()22222222nnnSnggg23111111( )( )2 ( )3 ().( )22222nnnggg11111( )2( )( )222nnnn13(3)( )2nn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -