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1、开 始i=1, S=0S=S+i1输出 S结 束否是第 3 题图i2013 2015年广东高考数学理科猜题卷答案（20150531）数 学本试卷共 21 小题，满分150 分。考试用时120 分钟。一、选择题（本大题共8 小题，每题5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数z满足3i13 iz（i为虚数单位） ，则z的共轭复数是（）A3iB3iC3iD3i【本题评价】直接考察复数基本概念。【解析】31 3i13i i = 3+ iiz故选 D2已知函数1( )1f xx的定义域为M，( )ln(1)g xx的定义域为N则MN（）Ax |x-1 Bx|x 1
2、 Cx|-1 x1 D【本题评价】直接考察集合的基础知识与基本初等函数的定义域。【解析】1Mx x，1Nx x故选 C3如图给出的是计算1111352013L的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（）A1iiB1iiC2iiD2ii【本题评价】本题主要考查程序框图的知识，根据框图的流程运行的结果确定空白执行框内容。【解析】 因为分母为 1，3，5，7，9， 2013，所以应填入2ii故选 D4若变量xy，满足24023000 xyxyxy，则3zxy的最大值是（）A90 B80 C50 D40 【本题评价】本题考查线性规划知识（本知识点高考出现的概率较大），也考查了数形结合的解题思想方法【
3、解析】 画出可行域（如图） ，在(10,20)B点取最大值max1032050z答案：C5记等比数列na的前n项和为nS，若112a，22S，则4S（）A2 B6 C16 D20 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 222422俯视图侧视图正视图【本题评价】本题考察等比数列及其前n项和为nS的基础知识。【解析】221(1)221331qSqqq，422411(1)(1)22(1)2 102011qqSqqq故选 D
4、6已知椭圆222109xyaa与双曲线22143xy有相同的焦点 , 则a的值为（）A2B10C4 D10 【本题评价】本题考察椭圆、双曲线的几何性质等知识点。【解析】故选 C7已知某四棱锥的三视图，如右图。则此四棱锥的体积为（）A3 B4 C5 D6 【本题评价】本题考察三视图基础知识与棱锥体积公式（广东高考数学必考知识点）。【解析】 如图，四棱锥ABCDEEBDAC16243V故选 B8设向量),(21aaa，),(21bbb，定义一种向量积：),(),(),(22112121bababbaaba已知向量1 1( , )mu r，1 2(, )nr，点 P 在2yx的图象上运动， 点 Q
5、在( )yf x的图象上运动， 且满足nOPmOQ（其中 O 为坐标原点） ，则( )yf x在区间2 1, 上的最大值是（ ）A3B4C5D6【本题评价】新定义向量类型题。 （广东高考数学必考知识点）。【解析】 点 P在2yx的图象上运动，点Q 在( )yfx的图象上运动。所以，可设211(,)P x x，(,( )Q xfx则由nOPmOQ得，221111( ,( )(1,1)(,)( 1,2)(1,2)x f xx xxx，1211( )2xxf xx，即1211( )2xxxf x，又2( )2(1)f xx，即2( )23yf xxx，x2 1, ，1x时有，max( )(1)6f
6、xf故选 D名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 二、填空题（本大题共7 小题，分为必做题和选做题两部分每小题5 分，满分30 分）（一）必做题（第9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答）9从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 ( ) 【本题评价】本题考察古典概型等基础知识。【解析】 个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8，个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,
7、3,5,7,9，共45个；个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个别个位数为0的概率是51459答案：10已知( )2sin() (|)32f xx，若1x是它一条对称轴，则【本题评价】本题考察三角函数图像的性质。【解析】 由已知得32xkkZ，由1x代入得6kkZ，又|2，所以6答案：611二项展开式522xx中，含x项的系数为 （用数字作答）【本题评价】本题考察二项式定理。【解析】52535155221rrrrrrrrTCxCxx，令351r即2r，故含x项的系数为22352180C答案：8012曲线33yxax在点（ 1，m）处的切线方程为2yxn，则a （a m n， ，为常数
8、）【本题评价】本题考察导数概念及几何意义，考察切线方程求法。【解析】2232311yxaaa答案：113若12322( )log (1)2.，xexfxxx则(2)ff的值为【本题评价】本题考察分段函数、复合函数，指数、对数函数，函数的单调性等知识点。【解析】1 1(2)(1)22fffe答案：2（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14 （坐标系与参数方程选做题）直线l：2xtyt（t为参数）与以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系下的曲线C：2图像相交所得弦长为【本题评价】1参数方程与普通方程的互化；2普通方程与极坐标方程的互化名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
9、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 【解析】 试题分析：曲线C：2xtyt（t为参数）的直角坐标方程为20 xy，2在此直角坐标系下方程为：224xy，易得弦长为2 2答案：2215 （几何证明选讲选做题）如图2，在Rt ABC中，斜边12AB，直角边6AC，如果以 C 为圆心的圆与AB 相切于D，则C的半径长为【本题评价】本题考查解直角三角形、圆切线的性质。【解析】 连CD，则030BDCA，在Rt ADC中，sinCDACDAC, 363 32CD答案：3 3三、 解
10、答题（本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16 （本小题满分12 分）已知函数231( )sin 2cos22fxxxxR，（1）求函数( )fx的最小值和最小正周期；（2）设ABC的内角ABC， ，的对边分别为a b c， ，且3c，()0f C，若sin2sinBA，求ab，的值。【本题评价】本题考查倍角公式、和（差）角公式、简单已知值求角及正弦定理、余弦定理应用。【解析】 （1）31cos21()sin 2sin(2)12226xfxxx， 3 分则()fx的最小值是2，最小正周期是22T； 6 分（2）()sin(2)106f CC，则sin(2)106
11、C， 7 分0C,022C, 所以112666C，所以262C，3C， 9 分因为sin2sinBA，所以由正弦定理得2ba，10 分由余弦定理得2222cos3cabab，即2223cabab11 分由解得：1a，2b 12 分17 （本小题满分12 分）PM2 5 是指大气中直径小于或等于25 微米的颗粒物， 也称为可入肺颗粒物。我国 PM25标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM25 日均值在 35 微克 /立方米以下空气质量为一级；在35 微克/ 立方米75 微克/ 立方米之间空气质量为二级；在75 微克 / 立方米以上空气质量为超标某试点城市环保局从该市市区2015 年全年每天的PM
12、2 5 监测数据中随机的抽取 15 天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（1）从这 15 天的 PM2 5 日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（2）从这15 天的数据中任取三天数据，记表示抽到PM2 5 监测数据超标的天数，求的分布列；（3）以这 15 天的 PM2 5 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360 天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页
13、 - - - - - - - - - 【本题评价】本题考查茎叶图、概率、分布列、超几何分布、二项分布等。高度贴合广东高考理科概率统计题命题要求，既基础，又基本囊括概率统计中的重要概念。【解析】（ 1）记“从15 天的 PM25 日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，1251031545( )91CCP AC 4 分（ 2） 依 据 条 件 ，服 从 超 几 何 分 布 ：其 中15,5,3NMn，的 可 能 值 为0,1,2,3，其 分 布 列 为 ：35103150,1,2,3kkC CPkkC7 分9分（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为1
14、02153P，10 分一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则2(360,)3B23602403E，一年中平均有240 天的空气质量达到一级或二级。12 分18 （本小题满分14 分）在如图所示的几何体中，ABC是边长为2 的正三角形，1，AEAE平面 ABC ，平面BCD平面 ABC ，BD=CD ，且BDCD（1）若 AE=2，求证： AC 平面 BDE ；（2）若二面角ADEB 为 60 求 AE 的长。【本题评价】本题考查线面平行的推理及二面角、二面角大小求法。本题用空间向量解亦可。贴合广东高考理科立体几何命题要求。【解析】（ 1）分别取BCBABE，的中点MNP， ，, 连接DMMN
15、NPDP，, 则MNAC,NPAE, 且1=12NPAE，因为BDCD，2BC,M为BC的中点，所以DMBC,1DM，又因为平面BCD平面ABC，所以DM平面ABC 3 分又AE平面ABC, 所以DMAE，5 分所以DMNP，且DMNP, 因此四边形DMNP为平行四边形，所以MNDP，所以ACDP，又AC平面BDE，DP平面BDE，所以AC平面BDE7 分（或者建立空间直角坐标系，求出平面BDE的法向量1n，计算10ACuuu rn即证）（2）解法一 : 过M作MH垂直ED的延长线于H, 连接BH因为BCAM,BCDM, 所以BC平面DMAE,ED平面DMAE则有BCED所以ED平面BMH,B
16、H平面BMH, 所以EDBH所以MHB为二面角AEDB的平面角，即=60MHB10 分0123P249145912091291D B E C A B E D C A M H 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 在Rt BMH中，=1BM，则1=3MH ,2=3BH在Rt MHD中，6=3DH设1AEh，则23DEh,所以2633HEh，又2212BEh在Rt BHE中,222BEBHNE, 即2212h=222263
17、33h，解得6h，所以61AE 14 分解法二 : 由（ 1）知DM平面ABC，AMMB, 建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz设AEh，则0 0 0，M,1 0 0，B, 0 0 1，D03 0，A,03，Eh，1 0 1，BDu uu r,13，BEhu uu r设平面BDE的法向量1( , )x y zu u rn则110 ,0 ,BDBEuu u r u u ruu u r u u rnn所以030.，xzxyzh令1x, 所以11(1,1)3hu u rn，11 分又平面ADE的法向量2(1, 0,0)u u rn，所以12122122211cos,21113hu u r uu ru
18、 u ruu ruu ruu rn nnnnn，解得61h， 即61AE14 分19 （本小题满分14 分）数列 na 的前 n 项和为nS，2131(*)22nnSannnN（1）设nnban，证明：数列nb是等比数列；（2）求数列nnb的前n项和nT；（3）若12nnnca，22015211iiiiiccPcc求不超过P的最大整数的值。【本题评价】 本题考查递推式变形、等比数列、错位求和、裂项求和等知识点，难易度把握恰当，符合广东省高考数学数列题命题要求。【解析】 (1) 因为213122nnaSnn，所以 当1n时，121a，则112a，1 分 当2n时，21113(1)(1)122nn
19、aSnn，2 分所以121nnaan，即12()1nnanan，D y B E C A M(O) x z 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 所以11(2)2nnbbn，而11112ba，4 分所以数列nb是首项为12，公比为12的等比数列，所以12nnb 5 分（2）由(1) 得2nnnnb所以nnnnnT221.242322211432，1232221.24232212nnnnnT， 7 分- 得：nnnnT22
20、1.2121112， 8 分nnnnnnT222221121110 分（3）由 (1) 知12nnanncn 11 分221nnnncccc(1)111111(1)(1)1n nn nn nnn， 13 分所以22015211iiiiiccPcc111111111(1)(1)(1)(1)2015122334201420152015L，故不超过P的最大整数为201414 分20 （本小题满分14 分）如图，抛物线G:220()ypxp上一点2 4()A，（1）求抛物线G的方程；（2）设过点A与x轴垂直的直线为0l，过点A作一直线1l与G交于B点，2l是1l关于0l对称的直线，2l与抛物线G交于C
21、点当1l绕A点转动时，试求线段BC中点M的轨迹方程；点D是ABC的内心，当直线为1l的斜率2k时，求ABC的 内切圆D标准方程。【本题评价】 本题考查圆、圆的切线、三角形的内切圆、抛物线、二次方程、点到直线的距离等知识，有一定难度，是是否数学优等生的门槛，符合广东省高考数学解析几何题命题要求。【解析】（ 1）由2 4()A，代入220()ypx p得：4p抛物线G的方程280yxp() 2 分（2）设1l的方程：2(4)xy(0)，则2l的方程：2(4)xy(0)， 4 分由22(4)8xyyx，得2883216yxy，即2832160yy， 6 分所以48By，84By，2882Bx 7 分
22、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 同理48Cy，84Cy，2882Cx所以42BCMyyy28222BCMxxx所以M轨迹方程：4y（2x） 9 分直线为BC的斜率16116BCBCBCyykxx， 11 分当直线为1l的斜率2k，则12，221828( )2422BCMxxx，线为BC的方程4(4)yx，即0 xy线为1l的方程为20 xy， 12 分又D在0l上，可设(2)Dt，由内切圆半径4252ttr，解得
23、：2 106t， 13 分22 1062 10422 52 2222trABC的 内切圆D标准方程：22222 106252()() ()xy 14 分21 （本小题满分14 分）设函数21xfxxekx（其中kR） （1） 当1k时,求函数fx的单调区间和极值；（2） 证明：当0 +k，时，函数fx在 R 上有且只有一个零点【本题评价】 本题考查导数及其应用（求单调区间、证明函数不等式）为背景，第一、二问主要包含二次函数、方程、不等式的探究。第一问能动笔的同学多，但分析、运算无错误的很少；第二问难度较大，符合广东省高考数学压轴题的命题要求。【解析】（ 1）当 k=1 时, 2( )(1)xf
24、 xxex, ( )(1)2(2)xxxfxexexx e. 1 分当x变化时 ,fxfx的变化如下表 : 由表可知 , f(x)的增区间 (-,0), (ln2, +), 减区间为 (0, ln2). 极大值为 -1, 极小值为增增减名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2ln 22ln 22. 6 分（2）( )(1)22(2 )xxxxfxexekxxekxx ek. 当 x1 时, f(x)0, 所以 f(x)
25、在(-,1) 上无零点 , 故只需证明f(x)在1, + )上有且只有一个零点.，若0,2ek, 当 x 1时, ( )0fx, f(x)在1,+)上单调递增 , 22(0)10,(2)420ffekee, 所以 f(x)在1,+)上有且只有一个零点. 9 分若(,)2ek, 则( )1,ln2 ),(ln 2 ,)f xkk在上单调减 在上单调增, f(1)=-k0, 1212(1)(1)(1) kkf kkek kk ek. 令2( ),12tg tettk, ( )2 ,( )2,2,( )0,( )2,)ttg tet gtetgtg tQ在上单增 , 12 分2( )(2)40,( )2,).g tgeg t 在上单增2( )(2)40,(1)0g tgef k. 所以 f(x)在1,+)上有且只有一个零点. 综上得 :f(x)在 R上有且只有一个零点。 14 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -